北师大版八年级下册数学第三次月考试题及答案

第第页北师大版八年级下册数学第三次月考试卷一、单选题1．下列各式变形中，是因式分解的是()A．a2﹣2ab+b2﹣1＝(a﹣b)2﹣1B．2x2+2x＝2x2(1+)C．(x+2)(x﹣2)＝x2﹣4D．x4﹣1＝(x2+1)(x+1)(x﹣1)2．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A． B． C． D．4．观察图形，可以得出不等式组ax+b>0cx+d<0A．x＜﹣1 B．x＜4 C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜45．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A． B． C． D．6．下列各分式中，最简分式是()A． B． C． D．7．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形,则这样的点C有()A．6个 B．7个 C．8个 D．9个8．已知0≤a–b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是()A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C．≤a≤ D．≤a≤9．下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．10．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为（）A． B．C． D．二、填空题11．因式分解：9a3b﹣ab＝_____．12．已知当x=2时，分式的值为0；当x=1时，分式无意义．则a－b=．13．如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于____________cm．14．若是完全平方式，则___．15．如图，在△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝2，则扇形BDE的面积为______．16．若m+n＝1，mn＝2，则的值为_____．17．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是_____．18．若分式方程式无解，则m的值为___．19．已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，则点Q的坐标是___．20．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为___．三、解答题21．计算与化简：（1）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．（2）解方程：（3）化简求值：，其中．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．（1）按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．23．在2016年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．(1)求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？(2)已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．24．阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程ax−a经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于x的分式方程，得x=a+4．由题意可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠4，即a+4≠4才行．（1）请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x的方程mx−325．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE．(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．26．因为，，…，，所以++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．解答下列问题：（1）在和式+++…中，第九项是；第n项是．（2）解方程．27．“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力不低于140吨.(1)请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；(2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么?28．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．参考答案1．D【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A．a2﹣2ab+b2﹣1=（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B．2x2+2x=2x2（1）中不是整式，故B错误；C．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4是整式乘法，故C错误；D．x4﹣1=（x2+1）（x2﹣1）=（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意B不是整式的积，A、C不是积的形式．2．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第1个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此错误；第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此错误；第3个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此错误；第4个和第5个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故2个正确；故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．D【解析】【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．【详解】A.a2+（-b）2=a2+b2，不能使用；B.5m2-20mn=5m（m-4n），不能使用；C.-x2-y2=-（x2+y2），不能使用；D.-x2+25=（5-x）（5+x），可以使用平方差公式．故选：D．【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)是解答本题的关键.4．A【解析】【分析】根据直线y=ax+b交x轴于点（4，0），直线y=cx+d交x轴于点（-1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．【详解】解：∵直线y=ax+b交x轴于点（4，0），∴ax+b＞0的解集为：x＜4，∵直线y=cx+d交x轴于点（-1，0），∴cx+d＜0的解集为：x＜-1，∴不等式组ax+b>0cx+d<0故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是正确根据图象解题．5．D【解析】试题解析：当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠0，故选D．考点：分式有意义的条件．6．C【解析】【分析】根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.【详解】=，不是最简分式；=y-x，不是最简分式；是最简分式；==，不是最简分式.故选C.【点睛】此题主要考查了最简分式的概念，看分式的分子分母有没有能约分的公因式是解题关键.7．A【解析】【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【详解】如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．8．C【解析】【分析】联立不等式得到不等式组，利用消元法去掉b即可得到a的取值范围.【详解】解：0≤a－b≤1，①1≤a＋b≤4，②①＋②，得1≤2a≤5，解得：≤a≤.故选C.【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.9．C．【解析】试题解析：A、a扩展了10倍，a2没有扩展，故A错误；B、符号变化错误，分子上应为-x-1，故B错误；C、正确；D、约分后符号有误，应为b-a，故D错误．故选C．考点：分式的基本性质．10．B【解析】【分析】设小组原有x人，根据题意可得，出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，列方程即可．【详解】设小组原有x人,可得：故选B.【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.11．ab（3a+1）（3a-1）．【解析】试题分析：原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．试题解析：原式=ab（9a2-1）=ab（3a+1）（3a-1）．考点:提公因式法与公式法的综合运用．12．－4【解析】【分析】根据当x=2时，分式的值为0，当x=1时，分式无意义，可知当x=2时，分子x+a=0，当x=1时，分母2x-b=0，从而可以求得a、b的值，本题得以解决．【详解】∵当x=2时，分式的值为0；∴2+a=0,∴a=-2;∵当x=1时，分式无意义,∴2-b=0,∴b=2;∴a-b=-2-2=-4.【点睛】本题考查了分式的值为0和分式无意义的条件.本题考查了分式的值为0的条件，当分子等于0，且分母不等于0时，分式的值才等于0，这两个条件必须同时成立.分式无意义时分式的分母等于0.13．2【解析】试题分析：由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC=5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长．解：∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴NA=NB，又∵△BCN的周长是5cm，∴BC+BN+NC=5cm，∴BC+AN+NC=5cm，而AC=AN+NC=3cm，∴BC=2cm．故答案为2．考点：线段垂直平分线的性质．14．【解析】【分析】利用完全平方公式的题中判断即可求出m的值．【详解】是完全平方式，，故答案为：【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．．【解析】【分析】解答时根据扇形面积公式带入数值进行计算即可得到答案【详解】扇形面积：S=在△ABC中，D为BC的中点BD=DCBD长为半径画一弧交AC于E点BD=DE∠A＝60°，∠B＝100°∠C＝20°=∠DEC∠BDE=∠C+∠DEC=40°=aBC＝2r=1S=故答案为【点睛】此题重点考察学生对扇形面积公式的理解，正确选择面积公式是解题的关键16．【解析】17．x＞﹣2．【解析】【分析】根据函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-2，-5），然后根据图象即可得到不等式

3x+b＞ax-3的解集．【详解】解：∵函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-2，-5），∴不等式

3x+b＞ax-3的解集是x＞-2，故答案为：x＞-2．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，熟练掌握是解题的关键.18．1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x-2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．【详解】去分母得：x-1=m+2x-4，∵分式方程式无解，∴x-2=0，解得：x=2.把x=2代入得：2-1=m+4-4，解得：m=1，故答案为：1．【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．19．（0，3）．【解析】【分析】根据平面直角坐标系找出N关于y轴的对称点N′位置，连接MN′，根据轴对称确定最短路线问题交点即为△MNQ的周长最小的点Q的位置，根据MD和N′D确定△MDN′是等腰直角三角形，进而求得△QON′是等腰直角三角形，即可求得OQ的长．【详解】作点N关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于点Q，则此时△MNQ的周长最小，理由：∵点N的坐标是（3，0），∴点N′的坐标是（-3，0），过点M作MD⊥x轴，垂足为点D∵点M的坐标是（1，4）∴N′D=MD=4∴∠MN′D=45°，∴N′O=OQ=3，即点Q的坐标是（0，3）．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，轴对称确定最短路线问题，根据已知得出C点位置是解题关键．20．【解析】【分析】显然直接求BD不好入手，那么就将问题进行转化．注意到△ACD为等腰Rt△，于是以AB为腰向左作等腰Rt△ABE，则易证△ABD与△AEC相似，相似比为，从而只需求出EC即可，此时∠EBC=135°，于是过E作EF⊥BC于F，则△EFB也为等腰Rt△，算出EF、BF，进而算出EC，问题迎刃而解．【详解】以AB为腰作等腰Rt△ABE，连接EC，∵△ADC为等腰Rt△，∴，∠EAB=∠DAC=45°，∴∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，∴∠EAC=∠DAB，∴△EAC∽△BAD，∴，作EF⊥BC交BC延长线于F，∵∠ABC=45°，∠EBA=90°，∴∠EBF=45°，∴△EFB为等腰Rt△，∴EF=FB=EB=AB=7，∴EC==25，∴BD=EC=．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点，有一定难度．正确作出辅助线是本题的难点．21．（1）≤x＜4，在数轴上表示见解析；（2）原方程无解；（3）﹣2；【解析】【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求出x的值，代入公分母进行检验即可；（3）先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．【详解】（1），由①得，x≥，由②得，x＜4，故不等式组的解集为：≤x＜4，在数轴上表示为：；（2）方程两边同时乘以（x+2）（x-2）得，（x-2）2=（x+2）2+16，去括号得，x2+4-4x=x2+4+4x+16，移项得，x2-x2-4x-4x=4+16-4，合并同类项得，-8x=16，x的系数化为1得，x=-2．把x=-2代入（x+2）（x-2）得，（-2+2）（-2-2）=0，故x=-2是原分式方程的增根，原方程无解；（3）原式====，当x=时，原式==-2．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．22．（1）①见解析；②见解析；（2）2π．【解析】【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；（2）根据弧长公式计算．【详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A2B2C2为所作；（2）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．23．(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意和第（1）问中的结果可以分别求得三种方式的费用，从而可以解答本题．【详解】（1）设甲车单独完成任务需要x天，则乙车单独完成任务需要2x天，

（1x+12x）×10=1

解得，x=15

∴2x=30

即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；

（2）设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天（a-1500）元，

[a+（a-1500）]×10=65000

解得，a=4000

∴a-1500=2500

当单独租甲车时，租金为：15×4000=60000，

当单独租乙车时，租金为：30×2500=75000，【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．（1）小哲；分式的分母不为0；（2）m≥﹣6且m≠﹣3．【解析】【分析】（1）根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．【详解】解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；故答案为：小哲；分式的分母不为0；（2）去分母得：m+x=2x﹣6，解得：x=m+6，由分式方程的解为非负数，得到m+6≥0，且m+6≠3，解得：m≥﹣6且m≠﹣3．【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式及解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式及解分式方程.25．(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)AC＝CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC＝CE﹣CD，理由见解析；(3)补图见解析；AC＝CD﹣CE．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质证明△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD＝CE，就可以得出AC＝CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD＝CE，就可以得出AC＝CD﹣CE．【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE．∵BC＝BD+CD，AC＝BC，∴AC＝CE+CD；(2)AC＝CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC＝CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD＝CE∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，∴AC＝CE﹣CD；(3)补全图形(如图)AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC＝CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD＝CE．∵BC＝CD﹣BD，∴BC＝CD﹣CE，∴AC＝CD﹣CE．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．26．（1）第九项为；第n项是；（2）x＝0是分式方程的解．【解析】【分析】（1）归纳总结得到第九项，确定出第n项即可；（2）方程利用拆项法变形，计算即可求出解．【详解】（1）第九项为；第n项是；（2）方程整理得：，整理得：，即，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．（1）共有4种方案，具体方案见解析；（2）购买A型设备2台、B型设备8台时费用最少.【解析】【分析】（1）设该景区购买A种设备为x台、则B种设备购买（10-x）台，其中0≤x≤10，根据购买的设备日处理能力不低于140吨，列不等式，求出解集后再根据x的范围以及x为整数即可确定出具体方案；（2）针对（1）中的方案逐一进行计算即可做出判断.【详解】（1）设该景区购买设计A型设备为x台、则B型设备购买（10-x）台，其中0≤x≤10，由题意得：12x+15（10－x）≥140，解得x≤103∵0≤x≤10，且x是整数，∴x＝3，2，1，0，∴B型相应的台数分别为7，8，9，10，∴共有4种方案：方案一：A型设备3台、B型设备7台；方案二：A型设备2台、B型设备8台；方案三：A型设备1台、B