2024-2025学年上学期上海高一数学期末典型卷2

第1页（共1页）2024-2025学年上学期上海高一数学期末典型卷2一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）（2019•江苏模拟）已知集合A＝{1，3}，B＝{﹣1，0，3}，则A∩B＝．2．（3分）（2016秋•长阳县校级期末）已知5x＝3，，则2x﹣y的值为．3．（3分）（2020秋•峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是台．4．（3分）（2019秋•浦东新区校级期末）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为．5．（3分）命题“每个二次函数的图象都开口向下”的否定为．6．（3分）（2021•浙江开学）已知幂函数f（x）＝xα满足f（3），则该幂函数的定义域为．7．（3分）（2023秋•济宁月考）已知指数函数y＝f（x）的图象经过点（3，27），则f（2log32）＝．8．（3分）（2019秋•赤峰期末）若函数，则f（f（1））＝．9．（3分）（2020•宁德模拟）已知函数若存在实数m，使得方程f（x）﹣m＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．10．（3分）若关于x的不等式|3x+4|+|3x﹣2|＜a的解集为∅，则实数a的取值范围为．11．（3分）（2023秋•浦东新区校级期中）记号min{a，b}表示a，b中取较小的数，如min{1，2}＝1，已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，，若对任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），则实数t的取值范围是．12．（3分）（2020秋•海淀区校级期末）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）（2021•饶阳县校级模拟）已知x＞0，y＞0，a≥1，若a•（）y+log2x＝log8y3+2﹣x，则（）A．ln|1+x﹣3y|＜0 B．ln|1+x﹣3y|≤0 C．ln（1+3y﹣x）＞0 D．ln（1+3y﹣x）≥014．（3分）（2023秋•玉州区校级月考）函数y＝﹣x2+x+2的零点是（）A．x＝﹣1或x＝2 B．﹣1，2 C．x＝1或x＝﹣2 D．1，﹣215．（3分）（2021秋•佛山期末）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出VL用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（）A．5 B．10 C．15 D．2016．（3分）（2024•历城区校级模拟）已知函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且在[0，+∞）上单调递减，对于实数a，b，则“a2＜b2”是“f（a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件三．解答题（共5小题，满分52分）17．（8分）（2023•吉安一模）已a，b，c均为正数，且a+b+c＝4，证明：（1）；（2）．18．（10分）（2016•上海）对于函数f（x），g（x），记集合Df＞g＝{x|f（x）＞g（x）}．（1）设f（x）＝2|x|，g（x）＝x+3，求Df＞g；（2）设f1（x）＝x﹣1，，h（x）＝0，如果．求实数a的取值范围．19．（10分）（2020秋•平房区校级期末）进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展．同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P（t）（P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数）其中P0为t＝0时的污染物数量．若过滤5h后还剩余90%的污染物．（1）求常数k的值．（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间（精确到1h．参考数据：ln0.2≈﹣1.61，ln0.3≈﹣1.20，ln0.4≈﹣0.92，ln0.5≈﹣0.69，ln0.9≈﹣0.11）20．（10分）（2023秋•青浦区期末）已知函数y＝f（x），其中．（1）当k≥1时，证明：函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0]上是严格减函数；（2）讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）（2023•黄浦区校级三模）定义如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y＝f（x）和y＝g（x）具有C关系．（1）判断函数f（x）＝log2（8x2）和x是否具有C关系；（2）若函数f（x）＝a和g（x）＝﹣x﹣1不具有C关系，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）在区间（0，π）上具有C关系，求实数m的取值范围．

2024-2025学年上学期上海高一数学期末典型卷2参考答案与试题解析一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）（2019•江苏模拟）已知集合A＝{1，3}，B＝{﹣1，0，3}，则A∩B＝{3}．【考点】求集合的交集．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{﹣1，0，3}，∴A∩B＝{3}．故答案为：{3}．【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（3分）（2016秋•长阳县校级期末）已知5x＝3，，则2x﹣y的值为2．【考点】对数的运算性质．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵5x＝3，∴x＝log53．又，则2x﹣y＝2log53log525＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）（2020秋•峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是150台．【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．【解答】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，又因为总收入为：25x，总支出为：3000+20x﹣0.1x2∴25x≥3000+20x﹣0.1•x2解得：x≥150或x≤﹣200又x∈（0，240）∴x≥150故答案为：150．【点评】本题考查的是函数模型的选择与应用问题．在解答的过程当中充分体现了审题在应用问题中的重要性，关键时将问题转化为一元二次不等式．4．（3分）（2019秋•浦东新区校级期末）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为2．【考点】有理数指数幂及根式．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】设3a＝12b＝6ab＝k，把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：设3a＝12b＝6ab＝k，∴a＝log3k，b＝log12k，ab＝log6k，∴2logk6，又∵，∴，∴，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是中档题．5．（3分）命题“每个二次函数的图象都开口向下”的否定为有的二次函数的图象开口不向下．【考点】命题的否定．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】有的二次函数的图象开口不向下．【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，求解即可．【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，“每个二次函数的图象都开口向下”的否定为：有的二次函数的图象开口不向下．故答案为：有的二次函数的图象开口不向下．【点评】本题考查了全称量词命题的否定问题，是基础题．6．（3分）（2021•浙江开学）已知幂函数f（x）＝xα满足f（3），则该幂函数的定义域为（0，+∞）．【考点】求幂函数的定义域．【专题】方程思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（0，+∞）．【分析】根据幂函数f（x）＝xα满足f（3），可求出α，然后根据偶次方根被开发数大于等于0，分式分母不等于0，求法f（x）的定义域．【解答】解：因为幂函数f（x）＝xα满足f（3），所以f（3）＝3α，解得α，所以f（x），该幂函数的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查了幂函数的定义域，考查了运算求解能力，属于基础题．7．（3分）（2023秋•济宁月考）已知指数函数y＝f（x）的图象经过点（3，27），则f（2log32）＝4．【考点】指数函数的值域；指数函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】4．【分析】设f（x）＝ax，然后根据f（x）的图象过点（3，27）即可求出a的值，然后根据对数的运算即可求出答案．【解答】解：设f（x）＝ax，f（x）的图象经过点（3，27），∴a3＝27，∴a＝3，∴f（x）＝3x，∴．故答案为：4．【点评】本题考查了指数函数的定义，对数的运算性质，是基础题．8．（3分）（2019秋•赤峰期末）若函数，则f（f（1））＝﹣1．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】推导出f（1）＝1﹣3＝﹣2，从而f（f（1））＝f（﹣2）＝sin（）＝﹣sin，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（1）＝1﹣3＝﹣2，f（f（1））＝f（﹣2）＝sin（）＝﹣sin1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（3分）（2020•宁德模拟）已知函数若存在实数m，使得方程f（x）﹣m＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．【考点】由方程根的分布求解函数或参数．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】先画出函数y＝log2x和函数y＝x2﹣2x+1的图象，易求两个函数的交点坐标为（1，0）和（2，1），利用数形结合法观察图象，即可求出a的取值范围．【解答】解：画出函数y＝log2x和函数y＝x2﹣2x+1的图象，如图所示：，两个函数有两个交点，坐标为（1，0）和（2，1），∵存在实数m，使得方程f（x）﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴观察图象可知，当0＜a＜1时符合题意．当1＜a＜2时符合题意，∴a的取值范围是：（0，1）∪（1，2），故答案为：（0，1）∪（1，2）．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，利用数形结合法，作图是关键，是中档题．10．（3分）若关于x的不等式|3x+4|+|3x﹣2|＜a的解集为∅，则实数a的取值范围为（﹣∞，6]．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（﹣∞，6]【分析】由绝对值三角不等式可得|3x+4|+|3x﹣2|的最小值，由不等式的解集为空集，即可得a的取值范围．【解答】解：由绝对值三角不等式可得|3x+4|+|3x﹣2|≥|（3x+4）﹣（3x﹣2）|＝6，若关于x的不等式|3x+4|+|3x﹣2|＜a的解集为∅，则a≤6，即实数a的取值范围为（﹣∞，6]．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，属于基础题．11．（3分）（2023秋•浦东新区校级期中）记号min{a，b}表示a，b中取较小的数，如min{1，2}＝1，已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，，若对任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），则实数t的取值范围是．【考点】函数的奇偶性．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】．【分析】根据题意求出f（x）解析式，然后画出f（x）的图象，再由对任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），可得将f（x）的图象向右平移2个单位后，图象在y＝f（x）的非下方，结合图象得4t2﹣（﹣4t2）≤2且t≠0，从而可求得结果．【解答】解：因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，当x＞0时，由，解得，所以f（x），因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以当x＜0时，，当时，由f（x）＝0，得x＝4t2，当时，由f（x）＝0，得x＝﹣4t2，作出函数f（x）的图象如图所示，因为对任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），所以将f（x）的图象向右平移2个单位后，图象在y＝f（x）的非下方，所以4t2﹣（﹣4t2）≤2且t≠0，解得，且t≠0，即实数t的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．12．（3分）（2020秋•海淀区校级期末）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）（2021•饶阳县校级模拟）已知x＞0，y＞0，a≥1，若a•（）y+log2x＝log8y3+2﹣x，则（）A．ln|1+x﹣3y|＜0 B．ln|1+x﹣3y|≤0 C．ln（1+3y﹣x）＞0 D．ln（1+3y﹣x）≥0【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】先利用指数、对数运算对已知式子进行变形，然后利用放缩法得到不等关系，最后构造函数，借助其单调性进行求解．【解答】解：由题意可知，a•（）3y+log2x＝log2y，∴，令f（x），则f（x）＜f（3y），易知f（x）在（0，+∞）上为增函数，由f（x）＜f（3y）得：x＜3y，∴3y﹣x＞0，∴1+3y﹣x＞1，∴ln（1+3y﹣x）＞ln1＝0，故选：C．【点评】本题主要考查了指数、对数的运算性质，考查了构造函数的思想，同时考查了学生的逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．14．（3分）（2023秋•玉州区校级月考）函数y＝﹣x2+x+2的零点是（）A．x＝﹣1或x＝2 B．﹣1，2 C．x＝1或x＝﹣2 D．1，﹣2【考点】求解函数零点所在区间．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，解方程即可．【解答】解：令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝2．故选：B．【点评】本题考查函数的零点的求法，是基础题．15．（3分）（2021秋•佛山期末）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出VL用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据题意可得第二次稀释后，桶中药液含量为40﹣V，所以40﹣V60%V，从而解出V的取值范围，得到V的最小值．【解答】解：第一次稀释后，桶中药液含量为40﹣V，第二次稀释后，桶中药液含量为40﹣V，∵第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，∴40﹣V60%×40，化简得V2﹣90V+800≤0，解得10≤V≤80，∴V的最小值为10，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了解一元二次不等式，属于基础题．16．（3分）（2024•历城区校级模拟）已知函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且在[0，+∞）上单调递减，对于实数a，b，则“a2＜b2”是“f（a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】抽象函数的周期性；充分条件与必要条件；由函数的单调性求解函数或参数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，分析f（x）的奇偶性，结合函数的单调性分析“a2＜b2”和“f（a）＞f（b）”的关系，综合可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，则f（x）为偶函数，若a2＜b2，则有|a|＜|b|，而f（x）在[0，+∞）上单调递减，则f（|a|）＞f（|b|），又由f（x）为偶函数，则有f（a）＞f（b），反之，若f（a）＞f（b），f（x）为偶函数，则有f（|a|）＞f（|b|），又由f（x）在[0，+∞）上单调递减，则有|a|＜|b|，变形可得a2＜b2，故“a2＜b2”是“f（a）＞f（b）”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．三．解答题（共5小题，满分52分）17．（8分）（2023•吉安一模）已a，b，c均为正数，且a+b+c＝4，证明：（1）；（2）．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；转化法；推理和证明；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式，即可证明结论；（2）构造基本不等式，即可证明结论．【解答】证明：（1）由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，即，∴；（2）∵a+b+c＝4，∴，，当且仅当时等号成立，∴．【点评】本题考查不等式的证明，考查转化思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．18．（10分）（2016•上海）对于函数f（x），g（x），记集合Df＞g＝{x|f（x）＞g（x）}．（1）设f（x）＝2|x|，g（x）＝x+3，求Df＞g；（2）设f1（x）＝x﹣1，，h（x）＝0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【专题】压轴题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；集合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R上恒成立，分类讨论，即可求出a的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得Df＞g＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）方法一：，，由，则在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，t＞0，t2+t+a＞0，解得t或t，（a＜0）又t＞0，所以，∴综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．【点评】本题考查了新定义和恒成立的问题，培养了学生的运算能力，分析分析问题的能力，转换能力，属于难题．19．（10分）（2020秋•平房区校级期末）进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展．同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P（t）（P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数）其中P0为t＝0时的污染物数量．若过滤5h后还剩余90%的污染物．（1）求常数k的值．（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间（精确到1h．参考数据：ln0.2≈﹣1.61，ln0.3≈﹣1.20，ln0.4≈﹣0.92，ln0.5≈﹣0.69，ln0.9≈﹣0.11）【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意可得e﹣5k＝0.9，两边取对数可得k的值；（2）令e﹣kt＝0.4，即0.4，两边取对数即可求出t的值．【解答】解：（1）由题意可知P0e﹣5k＝0.9P0，故e﹣5k＝0.9，两边取对数可得：﹣5k＝ln0.9，即k0.022．（2）令P0e﹣kt＝0.4P0，e﹣kt＝0.4，故0.4，即0.4，∴log0.90.4，∴t42．∴污染物减少到40%至少需要42小时．【点评】本题考查了函数值的计算，考查对数的运算性质，属于中档题．20．（10分）（2023秋•青浦区期末）已知函数y＝f（x），其中．（1）当k≥1时，证明：函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0]上是严格减函数；（2）讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】函数的奇偶性；由函数的单调性求解函数或参数．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】（1）详见解答过程；（2）k＝1时，f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，k≠1时，函数f（x）是非奇非偶函数．【分析】（1）任意取x1x2∈（﹣x，0]，且x1＞x2，k≥1，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（2）结合函数奇偶性的定义，检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断．【解答】（1）证明：任意取x1x2∈（﹣x，0]，且x1＞x2，k≥1，所以0，01≤k，则f（x1）﹣f（x2）（）（）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以数y＝f（x）在区间（﹣∞，0]上是严格减函数；（2）解：函数定义域为R，∵，∴f（x）不是奇函数，∵f（﹣x）2x﹣1，f（x）1，当k＝1时，f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，当k≠1时，函数f（x）是非奇非偶函数．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于中档题．21．（14分）（2023•黄浦区校级三模）定义如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y＝f（x）和y＝g（x）具有C关系．（1）判断函数f（x）＝log2（8x2）和x是否具有C关系；（2）若函数f（x）＝a和g（x）＝﹣x﹣1不具有C关系，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）在区间（0，π）上具有C关系，求实数m的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】压轴题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（1）f（x），g（x）具有C关系；（2）（﹣∞，2）；（3）（﹣∞，﹣1）．【分析】（1）即判断当x＞0时，f（x）＝﹣g（x）是否有解；（2）即当x≥1时，f（x）＝﹣g（x）没解，求a的范围；（3）即研究当xex＝﹣msinx在（0，π）上有解时，求m的范围，可分离参数求解．【解答】解：（1）由已知得，化简得log2x＝﹣3，解得，故此时函数y＝f（x）和y＝g（x）具有C关系；（2）由已知得ax+1在[1，+∞）上无解，x＝1显然不满足上式，故2（当且仅当x＝3时取等号），故时，原方程无解，即函数y＝f（x）和y＝g（x）不具有C关系，即所求a的范围是（﹣∞，2）；（3）由已知得xex＝﹣msinx（m＜0）在（0，π）上有解，即﹣m在（0，π）上有解，令h（x），x∈（0，π），h′（x），x∈（0，π），再令φ（x）＝（x+1）sinx﹣xcosx＝x（sinx﹣cosx）+sinx，当x时，sinx＞cosx，且sinx＞0，故此时h′（x）＞0，当时，易知x→0时，φ（x）→0，此时φ′（x）＝sinx+x（sinx+cosx）＞0，故φ（x）在（0，）上递增，故φ（x）＞0在（0，）上恒成立，即h′（x）＞0在（0，π）上恒成立，故h（x）在（0，π）单调递增，而1，且x→π时，h（x）→+∞，故h（x）＞1，即﹣m＞1，解得m＜﹣1即为所求，故所求m的范围是（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查新定义问题，函数零点的存在性问题，以及利用二阶导数导数研究函数的单调性，进而解决函数值域问题的思路，属于较难的题目．

考点卡片1．集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．2．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．3．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．命题的否定【知识点的认识】命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；“一定不是”的否定是“一定是”．【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．5．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有，解得2＜x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x＜2．综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．6．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：0⇔f（x）•g（x）＞0；0⇔f（x）•g（x）＜0；0⇔；0⇔．7．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．8．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．9．抽象函数的周期性【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．10．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．已知函数f（x）．求f（f（f（）））的值；解：，，，故f（f（f（）））．11．求幂函数的定义域【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质．幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y＝xa，定义域与指数a的取值有关．【解题方法点拨】﹣当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（﹣∞，+∞）．﹣当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．﹣当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（﹣∞，+∞）．【命题方向】常见题型包括直接求解幂函数的定义域，结合具体题目条件分析定义域．若幂函数f（x）图象经过点P（2，），则其定义域为_____．解：设f（x）＝xα，幂函数f（x）图象经过点P（2，），则，解得，故f（x），x＞0，故函数f（x）的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．12．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1）（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aC、3D、\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正确；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正确；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．13．指数函数的值域【知识点的认识】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x，x在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．14．指数函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y的图象关于y轴对称．【解题方法点拨】利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．15．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；logalogaM．16．求解函数零点所在区间【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．函数的零点所在区间为（）A.B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因为函数，在（0，+∞）上为单调递增函数，又因为f（e）＝10，f（e2）＝20，所以f（x）的零点位于（e，e2）．故选：C．17．由方程根的分布求解函数或参数【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】通过已知方程根的分布情况，反向求解函数的表达式或参数值．常见题型包括通过根的分布情况求解二次函数、多项式函数、分段函数的参数值．已知关于x的方程4x+（a+2）•2x+3＝0在x∈（﹣∞，0]上有解，则实数a的取值范围是_____．解：令t＝2x，∵x∈（﹣∞，0]，∴0＜t≤1，∴关于x的方程4x+（a+2）•2x+3＝0在x∈（﹣∞，0]上有解，即y＝a+2与g（t）在（0，1]上有交点，g（t）（t）在（0，1]上单调递增，且g（1）＝﹣4，∴a+2≤﹣4，解得a≤﹣6，故答案为：（﹣∞，﹣6]．18．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．19．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．20．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．yx2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%x，A中，函数y＝0.025x，易知满足