大学物理学(第三版)课后习题答案

1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示.当人以%(m-s-)

的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.

图1-4

解：设人到船之间绳的长度为人此时绳与水面成。角，由图可知

/2=/72+52

将上式对时间，求导，得

山d/

根据速度的定义，并注意到/,s是随，减少的,

d/ds

ds1dliv

即匕“=---=-----=-v=——0

dr5drsncos。

或

将看台再对/求导，即得船的加速度

1-6一质点作直线运动，其加速度为a=4+3tm-s-2,开始运动时，x=5m,v=0,求该质点在/

=IOs时的速度和位置.

解：*.*a=—=4+3，

dr

别离变量，得dv=(4+3r)d/

2

积分，得v=4t+-t+c]

2

由题知，/=(),v0=0,・・・G=0

故v=4/+-/2

2

dr3

又因为v=—=4r+-r2

dr2

别离变量，dx=(4r+-r2)df

2

积分得X=272+-/3+C

2■2

由题知r=0,x0=5,Z.c2=5

故x=2r2+-z3+5

2

所以r=l()s时

1-10以初速度%=20nrs”抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角,

求：（1）球轨道最高点的曲率半径为：（2）落地处的曲率半径/?2・

（亮示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系）

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.

题1-10图

⑴在最高点，

P\

vf(20xcos60°)?

«i

=10m

⑵在落地点，

v2=v0=20m-s

而an.=gxcos60"

(20)2

=80m

10xcos60°

-

1-13一船以速率v,=30km-鼠沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2=40km-h'

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？

解：(1)大船看小艇，那么有七依题意作速度矢量图如题1T3图(a)

(b)

题1-13图

由图可知-1

v2l==50kmh

口3

方向北偏西0=arctan—=arctan-=36.87°

匕4

⑵小船看大船，那么有户口二目一弓，依题意作出速度矢量图如题1T3图(b),同上法，得

2-2一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面(倾角为。)上以初速度叫运动，％的方向与斜面底边

的水平线平行，如下图，求这质点的运动轨道.

解：物体置于斜面上受到重力机g,斜面支持力N.建立坐标：取m方向为X轴，平行斜而与X釉垂

⑷当t=/时，其速度为

即速度减至1，0的1.

e

2-10一颗子弹由枪口射出时速率为％m・s-1当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

分（a-R）N（a,。为常数），其中/以秒为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹

走完枪筒全长所需时间：（2）求子弹所受的冲量.（3）求子弹的质量.

解：（1）由题意，子弹到枪口时，有

尸二（〃一次）二o,得/二q

b

⑵子弹所受的冲量

将，二q代入，得

b

⑶由动量定理可求得子弹的质量

2/3以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次

时，能将小钉击入木板内1cm,问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.

解：以木板上界面为坐标原点，向内为>坐标正向，如题2-13图，那么铁钉所受阻力为

题2T3图

第一锤外力的功为A

A=Jj'dy=[-fdy=£ky^y=g①

式中广是铁锤作用于钉上的力，/是木板作用于钉上的力，在d/f0时，/'=-/.

设第二锤外力的功为那么同理，有

由题意，有

Ik

2

A2=,4=A(—mv)=5③

即-kyl-

2--22

所以，%=6

于是钉子第二次能进入的深度为

2-15一根劲度系数为尤的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为心的轻弹簧8，8的下端

一重物C,。的质量为M,如题2-15图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势

能之比.

触：弹簧A、6及重物C受力如题2T5图所示平衡时，有

题2-15图

又入=3

所以静止时两弹簧伸长量之比为

弹性势能之比为

2-17由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为/叫和"4的滑块组成

如题277图所示装置，弹簧的劲度系数为左，自然长度等于水平距离3C,〃％与桌面间的摩擦系数为〃，

最初叫静止于4点，AB=BC=h,绳已拉直，现令滑块落下叫，求它下落到B处时的速率.

解:取3点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，那么由功能原理，有

式中△/为弹簧在A点时比原长的伸长量，那么

联立上述两式，得

题2-17图

2-19质量为M的大木块具有w径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示.质量为阳的小立方体从

曲面的顶端滑卜，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱

离大木块时的速度.

解：机从〃上下滑的过程中,机械能守恒，以，地球为系统,以最低点为重力势能零点,那么

有

又下滑过程，动量守恒，以〃?，M为系统那么在机脱离M瞬间，水平方向有

联立，以上两式，得

习题八

8-1电量都是i7的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问：

⑴在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都

到达平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?⑵这

种平衡与三角形的边长有无关系？

解：如题8-1图示

(1)以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：/为负电荷

解得正-圣

(2)与三角形边长无关.

题8-1图题8-2图

8-2两小球的质量都是〃z,都用长为/的细绳挂在同一点，它们带有

相同电量，静止时两线夹角为2。，如题8-2图所示.设小球的半径和

线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量.

解：如题8-2图示

解得4=2/sine14%)mgtas夕

8-3根据点电荷场强公式E=3,当被考察的场点距源点电荷很近

4友仆厂

(r-O)时，那么场强一8,这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解：人丁J务仅对点电荷成立，当--0时，带电体不能再视为点电

4兀4厂

荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑

电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.

8-4在真空中有A,8两平行板，相对距离为小板面积为S,其带电

量分别为七和“.那么这两板之间有相互作用力/,有人说尸上，

4在

又有人说，因为尸隹，七二v，所以片Q.试问这两种说法对吗？

£QSqS

为什么？/到底应等于多少？

解:题中的两种说法均不对.第一种说法中杷两带电板视为点电荷是

不对的，第二种说法把合场强芯=二看成是一个带电板在另一带电板

处的场强也是不对的.正确解容许为一个板的电场为后=工，另一

板受它的作用力/=这是两板间相互作用的电场力.

24s2%S

8-5一电偶极子的电矩为「=〃，场点到偶极子中心0点的距离为〜

矢量产与，的夹角为氏（见题8-5图），Mr»Z.试证〃点的场强£在厂方

向上的分量已和垂直于「的分量E,分别为

_“cos。_psin。

5

r2痛0，，,°4^37or

证:如题8-5所示，将"分解为与「平行的分量psin。和垂直于r的分量

psin。.

r»/

，场点尸在「方向场强分量

垂直于「方向，即，方向场强分量

题8-5图题8-6图

8-6长/=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度

2=5.0x10-90nfi的正电荷.试求：(1)在导线的延长线上与导线B

端相距%=5.0cm处尸点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中

点相距4二5.0cm处。点的场强.

解：如题8-6图所示

⑴在带电直线上取线元1，其上电量四在p点产生场强为

用/=15cm,2=5.0xl0^Cm-1,a=12.5cm代入得

J=6.74xl()2NC一方向水平向右

(2)同理d4=—匚4V方向如题8-6图所示

~4兀4x'+d；

由于对称性jd4=0,即&只有y分量，

..]痴I

・4兀统/+d；旧+仇

-1

1^2=5.0x10^Cem,/=15cm,d2=5cm代入得

4=%=14.96x1()2NC。方向沿》轴正向

8一7一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为汨求环心处。点

的场强.

解：如8-7图在圆上取

题8-7图

位/=2d/=R&@,它在。点产生场强大小为

笔方向沿半径向外

那么d£v=dEsinq)=---sin喝。

4TI%R

积分纥=工品小如心最

；.E=EK=-^—,方向沿x轴正向.

2软£小

8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为/,总电量为g.(1)求这正

方形轴线上离中心为厂处的场强E；(2)证明：在->>/处，它相当于点

电荷“产生的场强E.

解:如8-8图示，正方形一条边上电荷里在p点产生物强d片方向如图,

4

大小为

d现在垂直于平面上的分量dE±=d昂cos£

题8-8图

由于对称性，P点场强沿0P方向，大小为

8-9(1)点电荷“立于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场

中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立

方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*⑶如题

8-9(3)图所示，在点电荷9的电场中取半径为R的圆平面.4在该平面

轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量.Q=arctad)

x

解：⑴由高斯定理任小言

立方体六个面，当夕在立方体中心时，每个面上电通量相等

，各面电通量中-4

6%

⑵电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2〃的立方体，使4处于边长2〃

的立方体中心，那么边长2〃的正方形上电通量中

6%

对于边长〃的正方形，如果它不包含〃所在的顶点，那么①一詈―，

如果它包含4所在顶点那么①”0.

如题8-9(a)图所示.题8-9(3)图WJ

题8-9(a)图题8-9(b)图题8-9(c)图

⑶;通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为痴”的球

冠面的电通量，球冠面积*

•，①"/s一夕口工

4兀(R2+1)2/J.2+千2

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

8-10均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2Xio-5C-m-3

求距球心5cm,8cm,12cm各点的场强.

解：高斯定理，后-dS=王,E4TU-2=21

当厂=5cm时，＞q=(),左=0

r=8cm时,〃与(J-扇

p-(r3-^)、

E=—----；—«3.48xl04NC-',方向沿半径向外.

4兀4广

厂=12cm时，=(%；-4)

p—[r^一肃)

E=—---------°4.10x1(VNCT沿半径向外.

4兀加广

8-11半径为与和此(公>&)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分

别带有电量4和-4,试求：⑴Y&；(2)R,<r<R2;(3)/*>此处各

点的场强.

解：高斯定理拄.d晨孕

取同轴圆柱形高斯面，侧面积S=2“/

那么£E・d5=E27tH

对(1)/<&>4=0,>=0

(2)&<r<R?£q=/A

・・・E=4沿径向向外广“

2兀£。/°\%

(3)r>R2=0

••E=0

题8-12图

A"

8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为力和

外,试求空间各处场强.

解：如题872图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为③与

。2，

两面间，后二，一(5—b,)万巴面夕卜，E=(cr,*6)历

2%2/-

“面外，后二」—(?十,而

2%

五:垂直于两平面由6面指为内面.

8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为0,假设在球内挖

去一块半径为的小球体，如题8-13图所示.试求：两球心。与。

点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的.

解:将此带电体看作带正电夕的均匀球与带电-0的均匀小球的组合，

见题8T3图(a).

(1)+夕球在o点产生电场鼠=o,

一

球在。点产生电场及―70。

・•・。点电场Mod'\

3%d

-TU\'p

⑵“在。产生电场鼠，=^--.00'

4兀4d

“球在0,产生电场品，=0

o,点电场瓦=£)

题8T3图(a)题8-13图(b)

⑶设空腔任一点。相对o的位矢为尸，相对。点位矢为尸(如题

873(b)图)

那么及,=与，

一?，

3%

，腔内场强是均匀的.

8-14一电偶极子由打l.OXl(r6c的两个异号点电荷组成，两电荷

距离d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0X10%・C।的外电场中，求外

电场作用于电偶极子上的最大力矩.

解：V电偶极子日在外场E中受力矩

==q区代入数字

8-15两点电荷/=L5X1(TC,%=3.0义10一匕相距『42cm,要把它们

之间的距离变为G=25cm,需作多少功？

解：4=「户5=「^4=皿(，一，)

M几4兀/广4兀£。r\r2

外力需作的功4=-4=-6.55xlO-6J

题8-16图

8-16如题8T6图所示，在A,B两点处放有电量分别为+心-夕的点

电荷，A3间距离为2R,现将另一正试验点电荷夕。从。点经过半圆弧

移到。点，求移动过程中电场力作的功.

解：如题8T6图示

q“q

・・A=q0(Uo-Uc)=

%R

8-17如题8T7图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为之的正电

荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心。点处的

场强和电势.

解：（1）由于电荷均匀分布与对称性，A8和CQ段电荷在。点产生的场

强互相抵消，取d/=Rd，

那么dq=2Rd。产生。点而如图，由于对称性，。点场强沿），轴负方向

题8T7图

----x---Ls「in•(,--)万-、sin—.乃J1

4兀以R22

⑵"电荷在。点产生电势，以心=0

同理C。产生U,=上一In2

4兀％

半圆环产生”二工-

4兀4R4%

，1112+上-

——a4%。

8-18一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2X10~・s"的匀速率作

圆周运动.求带电直线上的线电荷密度.（电子质量加。=9.IX10⑹kg,

电子电量厂1.60X1019C）

解:设均匀带电直线电荷密度为4,在电子轨道处场强

电子受力大小F”〃二白

♦eAv2

••-------=m—

2兀r

得"空包贮=12.5x10』C.n「

e

8-19空气可以承受的场强的最大值为片30kV・cml超过这个数值时

空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器，极板间距离为

j=0.5cm,求此电容器可承受的最高电压.

解：平行板电容器内部近似为均匀电场

/.t/=£d=1.5xl04V

8-20根据场强左与电势u的关系后,求以下电场的场强：（1）

点电荷9的电场；（2）总电量为"半径为A的均匀带电圆环轴上一点;

*（3）偶极子〃=夕/的〃>>/处（见题8-20图）.

P（r.e）

/

解：（1）点电荷u=———"6——题8-20图

，人一半钎为，.方向单位矢量.

or4兀£（）「一

⑵总电量打半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势

♦云_HU-qx；

一嬴正严

⑶偶极子”/在〃>>/处的一点电势

上6U“cos。

•♦♦Er=----=-------7

dr2nsQr

8-21证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板（题8-21图）来说,

⑴相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；（2）相

背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同.

证：如题8-21图所示，设两导体院8的四个平面均匀带电的电荷

AB

(S)

d(I二二二二D

。2。3。4

p

面密度依次为O'],%,~-

题8-21图

⑴那么取与平面垂直且底面分别在4、B内部的闭合柱面为高斯面

时，有

cr2+<73=0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反：

⑵在A内部任取一点P,那么其场强为零，并且它是由四个均匀带

电平面产生的场强叠加而成的，即

又•.>(T2+(T3=0

••(7]=(T,

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同.

8-22三个平行金属板A,B和c的面积都是200cnKA和8相距4.0mm,

A与c相距2.0mm.B,C都接地，如题8-22图所示.如果使A板带正

电3.OX1(TC,略去边缘效应，问8板和C板上的感应电荷各是多少?

以地的电势为零，那么A板的电势是多少？

解:如题8-22图示，令4板左侧面电荷面密度为内，右侧面电荷面密

度为g

题8-22图

=%8d八8

且6+内啜

,一0

IfU=~(y।S==—2x107C

-

qB=—(T2S=—lxIOC

(2)UA=EAC6AC=2d*=2.3x1()3V

£Q

8-23两个半径分别为与和此［与＜小)的同心薄金属球壳，现给内球

壳带电气，试计算：

⑴外球壳上的电荷分布及电势大小；

⑵先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷

分布及电势；

*⑶再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的

改变量.

解：(1)内球带电“；球壳内外表带电那么为-小外外表带电为+外

且均匀分布，其电势

题8-23图

⑵外壳接地时，外外表电荷“入地，外外表不带电，内外表电荷仍

为-q.所以球壳电势由内球+乡与内外表M产生：

(3)设此时内球壳带电量为那么外壳内外表带电量为-/,外壳外

外表带电量为(电荷守恒)，此时内球壳也势为零，且

得/4q

K2

外球壳上电势

8-24半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相

距为d=3R处有一点电荷+小试求：金属球上的感应电荷的电量.

解：如题8-24图所示，设金属球感应电荷为“，那么球接地时电势

%=0

8-24图

由电势叠加原理有：

得人；

8-25有三个大小相同的金属小球，小球1,2带有等量同号电荷，相距

甚远，其间的库仑力为F。.试求：

⑴用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去，小球1,2

之间的库仑力；

⑵小球3依次交替接触小球1,2很屡次后移去，小球1,2之间的库

仑力.

解：由题意知片广上

4兀々产

⑴小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电0=3，

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电＜=%

4

3

।itq2c

・.•此时小球1与小球2间相互作用力—="

⑵小球3依次交替接触小球1、2很屡次后，每个小球带电量均为

22

一q—qA

，小球1、2间的作用力5=—=：玲

4兀名厂9

*8-26如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S,相距为

d,分别维持电势UJU,UjO不变.现把一块带有电量4的导体薄片

平行地放在两极板正中间，片的面积也是S,片的厚度略去不计.求

导体薄片的电势.

解:依次设A,C,8从上到下的6个外表的面电荷密度分别为6,%,

%，a，%,%如下图.由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持外,=。

可得以下6个方程

题8-26图

解得力=。6=箓

ND

所以C8间电场邑二里二匕+古

%d2%S

注意：因为C片带电，所以假设。片不带电，显然〃

8-27在半径为用的金属球之外包有一层外半径为6的均匀电介质球

壳，介质相对介电常数为乙，金属球带电0・试求：

（1）电介质内、外的场强；

⑵电介质层内、外的电势；

⑶金属球的电势.

解:利用有介质时的高斯定理停短=27

⑴介质内因＜厂＜七）场强人名&=产1；

4兀厂4兀

介质外（一＜凡）场强人号以=事

4兀厂4兀斗广

（2）介质外（-＞与）电势u=J；嬴t=#-

介质内（凡＜/＜七）电势

{/=「左内位+『嬴.西⑶金属球的电势u暇显.近+「用卜・西

8-28如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电

常数为3的电介质.试求：在有电介质局部和无电介质局部极板上自

由电荷面密度的比值.

解:如题8-28图所示,充满电介质局部场强为瓦，真空局部场弓虽为后,

自由电荷面密度分别为外与巧

由，力.d«=Z＜/o彳导A=6，D?=cr2

而=々E],。2=依后

♦o"D'

■■——二——=8r

题8-28图题8-29图

8一29两个同轴的圆柱面，长度均为/,半径分另U为弋和&（及2＞与），且

/＞＞此-0两柱面之间充有介电常数£的均匀电介质.当两圆柱面分别

带等量异号电荷Q和-。时，求：

⑴在半径厂处（与＜「＜此=,厚度为dr,长为/的圆柱薄壳中任一点

的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；

⑵电介质中的总电场能量；

⑶圆柱形电容器的电容.

解:取半径为厂的同轴圆柱面⑸

那么坏.#=2.仍

当（a＜广＜小）时，£q=Q

⑴电场能量密度吁a=苧市

1£8兀2夕2/2

薄壳中dW=vvdu=——g,227rrdrl=0”

&2夕2/2而人/

⑵电介质中总电场能量w=]dW=r"=Qln8

JuJ/?,4兀功/471HR1

⑶电容：・・・卬=宜

2C

.厂。_271d

••c=—=-------

2W\n(RJR})

*8-30金属球壳A和3的中心相距为-4和3原来都不带电.现在A的

中心放一点电荷％,在3的中心放一点电荷私，如题8-30图所示.试

求：

(1)/对生作用的库仑力，阴有无加速度；

⑵去掉金属壳B,求/作用在处上的库仑力，此时私有无加速度.

解：(1)小作用在％的库仑力仍满足库仑定律，即

但外处于金属球壳中心，它受合♦力•为零，没有加速度.

⑵去掉金属壳3,%作用在％上的库仑力仍是尸=/—华，但此时生

4兀%广

受合力不为零，有加速度.

题8-30图题8-31图

8-31如题8-31图所示,・〃20//F.上电

G=025F,C2=0.15AF,C=0.G

压为50V.求：uAB.

解：电容G上电量

电容c2与c3并联c23=c2+g

其上电荷03=Qi

・_。23_G5_25x50

•♦u）=--------=------------=----------------

6123。2335

8-32G和J两电容器分另IJ标明“200pF、500V〃和“300pF、900V〃,

把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000V的电压，

是否会击穿？

解：（1）G与c2串联后电容

⑵串联后电压比

"=G=H而q+u,=iooo

12

U2C,2

/.t/,=600V,力=400V

即电容G电压超过耐压值会击穿，然后G也击穿.

8-33将两个电容器c和a充电到相等的电压u以后切断电源，再将每

一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联.试求：

⑴每个电容器的最终电荷；

⑵电场能量的损失.

解：如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为e%

题8-33图

/+%=/0一夕20二°|。一。2〃

那么鱼=G£k

%。2〃2

U\=U?

解得⑴/=半泻〃%二半泻U

⑵电场能量损失

8-34半径为叫=2.0cni的导体球，外套有•同心的导体球壳，壳的内、

外半径分别为此=4.0cm和%=5.0cm,当内球带电荷°二3.0X10KC

时，求：

⑴整个电场储存的能量；

⑵如果将导体壳接地，计算储存的能量；

⑶此电容器的电容值.

解:如图，内球带电。,外球壳内外表带电-°,外外表带电。

题8-34图

⑴在,•＜与和R2＜r＜R3区域

在《＜厂＜七时耳=Qr.

4花广

…时人声

4兀4厂

，在N＜厂＜此区域

在厂＞&区域

总能量W=W1+W,=-^-(-——-+—)

128兀4R&R；

⑵导体壳接地时，只有与＜「＜凡时后=上1,W-0

4兀4广

O?11

W=W.=*—(----------)=I.01xl04J

8兀4R1R2

⑶电容器电容C=W=4/*-《)

Q-RR?

习题九

9-1在同一磁感应线上，各点片的数值是否都相等?为何不把作用于运

动电荷的磁力方向定义为磁感应强度月的方向？

解：在同一磁感应线上，各点月的数值一般不相等.因为磁场作用于

运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度月的方向有关，而且与电荷速

度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力

方向定义为月的方向.

9-2（1）在没有电流的空间区域里，如果磁感应线B।

是平行直线，磁感应强度月的大小在沿磁感应线和a

垂直它的方向上是否可能变化（即磁场是否一定是殖1

均匀的）？_

⑵假设存在电流，上述结论是否还对？

解：（1）不可能变化，即磁场一定是均匀的.

如图作闭合回路时〃可证明区=瓦

⑵假设存在电流，上述结论不对.如无限大均匀带电平面两侧之磁

力线是平行直线，但方方向相反，即月尸瓦.

9-3用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场？

答：不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是

稳恒电流，安培环路定理并不适用.

9-4在载流长螺线管的情况下,我们导出其内部8=4。〃/,外面B=0,

所以在载流螺线管

外面环绕一周（见题9-4图）的环路积分

%.•d/=0

但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为

上瓦卜•=

这是为什么？

解:我们导出%=〃。山建外=。有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于

螺线管轴线.这时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是

J=A）^/=0,与（瓦卜.d'/OT'O是不矛盾的.但这是导线横截面

积为零，螺距为零的理想模型.实际上以上假设并不真实存在，所

以使得穿过L的电流为/,因此实际螺线管假设是无限长时，只是以

的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量少=皿,「为管外一点

2加

到螺线管轴的距离.

题9-4图

9-5如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域

中没有磁场?如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场？

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区

域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场

力与磁场力抵消所致.如果它发生偏转乜不能肯定那个区域存在着

磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转.

9-6磁感应强度8=2.0Wb•m2的均匀磁场，方向沿工轴正方向，

如题9-6图所示.试求：（1）通过图中心〃面的磁通量；（2）通过图中

人阶面的磁通量；（3）通过图中回4面的磁通量.

解：如题9-6图所示

⑴通过"〃面积S1的磁通是

⑵通过WC面积邑的磁通量

⑶通过a雨面积S3的磁通量

.=月S=2X().3X().5xcosG=2x().3x().5x-=0.24Wb(或曰一0.24Wb)

题9-7图一4.哈)

9-7如题9-7图所示，AN、co为长直导线，与c为圆心在。点的一段圆

弧形导线，其半径为R.假设通以电流/,求。点的磁感应强度.

解：如题9-7图所示，。点磁场由43、Rc、co三局部电流产生.其

中

A3产生片=0

CD产生B一”,方向垂直向里

-12/?

f

段产生反二也4(sin9O0-sin60')=M(l-也)，方向_L向里

4〃2.2

2

J综=4+生+层=然(1-4+夕，方向J•向里・

2成26

9-8在真空中，有两根互相平行的无限长直导线乙和人,相距0.1m,

通有方向相反的电流，/尸20八，/2=10A,如题9-8图所示.A,8两点

与导线在同平面内.这两点与导线4的距离均为5.0cm.试求A,B

两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置.

Zi=20A

Z2=10A

题9~8图

解：如题9-8图所示，瓦方向垂直纸面向里

⑵设月=0在人外侧距离4为「处

那么———必=0

2万。.十0.1）2m.

解得r=0.1m

9-9如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A,B两点,

并在很远处与电源相连.圆环的粗细均匀，求环中心。的磁感应强度.

解：如题9-9图所示，圆心。点磁场由直电流As和碗及两段圆弧上

电流与所产生，但Aoo和38在O点产生的磁场为零。且

人二电阻R?二9

77"电阻R|-2n-0•

人产生5方向J_纸面向外

_4（/（21一。）

产生反方向JL纸面向里

・用_/1（2乃一0）_

■■------------------1

B2120

有为=瓦十瓦=0

9-10在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下

地有电流/二5.0A通过，电流分布均匀,如题9To图所示.试求圆柱

轴线任一点P处的磁感应强度.

e-B*题9-10图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向

都在圆柱截面上，取坐标如题9-10图所示，取宽为出的一无限长直

电流d/='d/,在轴上尸点产生此与R垂直，大小为

•・■氏士嘿普蠕sin*n(勺/3.T

月=6.37x10-5：1

9-11氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径4=0.52X10，^的轨道上

作匀速圆周运动，速率产2.2Xl(Tcm・sT.求电子在轨道中心所产生的磁感应

强度和电子磁矩的值.

解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

如题9-11图，方向垂直向里，大小为

电子磁矩匕在图中也是垂直向里，大小为

题9-11图题9-12图

9-12两平行长直导线相距d=40cni,每根导线载有电流/尸，2=20A,如

题9-12图所示.求：

⑴两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度;

⑵通过图中斜线所示面积的磁通量.(wlOcm,/=25cm).

解：⑴%=上今+上今=4x21方向J.纸面向外

2*)2%)

⑵取面元dS=/dr

9/3一根很长的铜导线载有电流1OA,设电流均匀分布.在导线内部作

一平面S,如题9-13图所示.试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度

方向取长为1m的一段作计算).铜的磁导率〃=〃。.

解：由安培环路定律求距圆导线轴为「处的磁感应强度

题

9-13图

磁通量中,”=］从用=纽=10-6Wb

J(s)J。2成24乃

9-14设题9-14图中两导线中的电流均为8A,对图示的三条闭合曲线

分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和.并讨论：

⑴在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度占的大小是否相等？

⑵在闭合曲线c上各点的月是否为零?为什么？

解：pdZ=8MO

⑴在各条闭合曲线上，各点月的大小不相等.

⑵在闭合曲线。上各点月不为零.只是2的环路积分为零而非每点

月二0.

题9-14图题9-15图

9-15题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、

外半径分别为明好导体内载有沿轴线方向的电流/,且,均匀地分

布在管的横截面上.设导体的磁导率试证明导体内部各点

（〃<「<〃）的磁感应强度的大小由下式给出：

解：取闭合回路/=271r（a<r<b）

那么｛月.（17=B271r

■氏

・•-2/rr（b2-a2）

9-16一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为Q和一同轴的导

体圆管（内、外半径分别

为〃，C）构成，如题9T6图所示.使用时，电流/从一导体流去，从另

一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：（1）导

体圆柱内（-Vo）,（2）两导体之间（。〈厂<〃），⑶导体圆筒内（〃<

「Vc）以及⑷电缆外（->c）各点处磁感应强度的大小

解：£月&=旧

..［产

（1）r<aB271r=u（］—-

R2

（2）a<r<bB271r=

（3）b<r<cB271r="//0/—------+//0/

C-b~

（4）r>cBlm'=0

R

题9T6图题9T7图

9-17在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为

「的长直圆柱形空腔，两轴间距离为明且横截面如题9T7图所

示.现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电

流方向与管的轴线平行.求：

(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小；

⑵空心局部轴线上的磁感应强度的大小.

解：空间各点磁场可看作半径为R,电流力均匀分布在横截面上的圆

柱导体和半径为,•电流-/2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之

和.

⑴圆柱轴线上的。点泮的大小：

电流6产生的片=。，阻流-人产生的磁场

-R―M2

02皿R?一户)

⑵空心局部轴线上。，点3的大小:

电流右产生的用=0,

电流/产生的右旦々

2乃(R?--)

••=2万面_，)

题9-18图

9-18如题9T8图所示，长直电流"附近有一等腰直角三角形线框,

通以电流小二者

共面.求△"C的各边所受的磁力.

解：FAH=\\dlxB

尸"八〃的=*方向垂直A8向左

271d1.71(1

鼠=J》d7x月方向垂直4c向下，大小为

同理心方向垂直8。向上，大小

・.・d/=上

cos45

...七二广上里色_=叫1上

J02acos45°及兀d

B

9-19在磁感应强度为月的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一

段载流弯曲导线，电流为/,如题9-19图所示.求其所受的安培力.

解：在曲线上取此

那么成乂月

•・・d7与月夹角＜〃，与＞=［不变，月是均匀的.

2

•一广〃一pb——~~*一

・・工/，=Jjd/xB=/(Jd/)xB=MZ?xB

方向_L向上，大小%=BIab

D.

题9-20图z：

9-20如题9-20图所示，在长直导线A8内通以电流/120A,在矩形线圈

C。瓦'中通有电流，2=10A,45与线圈共面，且C。，石F都与AB平

行.«=9.0cm,/?=20.Ocm,d=i,0cm,求：

⑴导线"的磁场对矩形线圈每边所作用的力；

⑵矩形线圈所受合力和合力矩.

解：（1）%方向垂直CD向左，大小

同理心方向垂直在向右，大小

心方向垂直b向上，大小为

户初方向垂直石。向下，大小为

-5

FED=FCF=9.2X10N

（2）合力F=&FFE+%+%方向向左，大小为

合力矩而=2「月

・.,线圈与导线共面

・♦・PJIB

M-0.

B

题9-21图

9-21边长为/=0.Im的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T的均匀

磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电

流/二10A,求：

(1)线圈每边所受的安培力；

(2)对。0,轴的磁力矩大小；

⑶从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功.

解：(1)Fhc=IlxB=O

%="x月方向，纸面向夕卜，大小为

月=底片方向JL纸面向里,大小

⑵P-£

后x月沿9方向，大小为

⑶磁力功A=/g-/)

♦0.=0①、『B

1-4

22

/.A=/—4/B=4.33XI0-J

9-22一正方形线圈，由细导线做成，边长为“，共有N匝，可以绕通

过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动.现在线圈中通有电流/,

并把线圈放在均匀的水平外磁场月中，线圈对其转轴的转动惯量为人

求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T.

解：设微振动时线圈振动角度为。(0=<P„,B>),那么

由转动定律J^-=-NIa2Bs\n0、-NIa2B6

即d-0NkrB八八

-dt-2+----J---0=0

，振动角频率(!)=

周期

9-23—长直导线通有电流\=20A,旁边放一导线外，其中通有电流

/2=10A,且两者共面，如题9-23图所示.求导线他所受作用力对。点

的力矩.

解：在M上取dr,它受力

d户向上，大小为

d1对。点力矩dM=『