深度调研有效迁移细化与比较-以“商中间有0 小数除法”为例

小学生数学学习中有两类问题需要注意，一是由于旧知巩固不扎实出现的老问题，称之为“老病根”；二是经验迁移不得力出现的新问题，这些可统称为“并发症”。两类问题互有联系，并且在学生的练习中反复出现。“老病根”根除不了，“并发症”就会连续出现。深刻调查学生出错的原因并对症下药很有必要，教师要准确把握学生的学情，预判可能出现的思维障碍，抓住学困点，辨清出错类型，并探究出针对性强的方法、策略和路径，提高学生的数学学习力[1]。一、问题和困惑人教版小学数学四年级下册的小数除法中涉及到商中间有0的问题。与商末尾有0的问题相比，学生更容易在商中间有0的计算中出错，有的弄不清算理，有的糊涂于算法，有的是整数除法中遗留下来的问题。还有的学生因为多了个小数点，碰到“商中间有0小数除法”就头疼，过往的经验无法有效迁移，数位上稍不注意就会出错，就会引发新问题。二、调查与分析没有调查，就没有发言权。整体解决“老病根”与“并发症”，必须建立在学生真实学情的前测上，以便后续对策有依据，有针对性。我们选择四年一班与四年二班共90名学生进行前测。商中间有0整数除法的正确率远远大于商中间有0的小数除法（见表1）。表1商中间有0的整数除法与小数除法前测表统计那么，出现如此明显差异的现象根源是什么呢？是学生粗心大意，还是算理与算法的迁移不够呢？为此我们进一步深入到一些细节之中进行调研，抽取了部分学生的竖式计算草稿，发现商中间漏0的学生比比皆是。探究学生如此竖式计算背后的原因很有必要。于是，我们从问卷测试过渡到深入访谈，从更细微的层面梳理学生出错的原因。访谈分三步走（见表2）。表2“商中间有0小数除法”访谈一览表访谈中得知，优等生的想法中最重要的一个概念是“除法平均分”。他们做过太多“把算式按商的位数分一分”的试题。这样的试题实际上就是强调商是几位数的问题，即商是几位数是有规律可循的，不能因为小数点的介入而少一位或者多一位。相比较而言，学困生的想法是错误的。显然，“够了才能分”不是除法（包括整数除法与小数除法）的本质属性。事实上，除法的本质是平均分，每次把余数的计数单位变小合并到下一个数位继续分，“商中为什么会有0”是与平均分有关系的。对于那些本身对除法核心概念理解不透彻的学困生而言，“老病根”自然会延续到“并发症”中。“够了才能分”这种观念导致的就是“被除数一定要大于除数”。这样的惯性思维“害人不浅”——学生碰到“被除数比除数小”时就觉得茫然无措，很容易做出错误的判断或计算。我们还访谈了那些喜欢估算的学生。商中间有0的整数除法与小数除法，之所以前者正确率高，是因为整数除法中学生将估算运用得特别熟稔，但在小数除法中，估算不顶用了，稍不小心就会出错。比如面对2568÷24，估算能力较强的学生一眼可以看出最高位在百位，如果学生忘记了中间补0，那么17这样的结果与估算相差太大，学生肯定会回头检查，最终通过补0形成正确答案。但是面对16.2÷15这道题，理所应当添加0也罢，粗心大意漏掉0也罢，不影响估算的结果，由此出现大面积的错题成为常态。可见，小数点的出现，对学生的惯性思维形成冲击，增加了运算的复杂性，引发了新问题，“老病根”与“并发症”同时存在。在分析学情的基础上，我们进一步分析教材。教材的编排蕴涵着极强的结构性和逻辑性，它由一个个知识点按照一定的知识序列排列组成[2]。但是教材毕竟是静态的，而且因为篇幅限制，诸多逻辑空白并未呈现出来，而这需要教师去发掘并填补。如果教师疏于这方面的探究，也有可能会给学生造成误解及负面影响。比如，下图中的内容就需要教师左右勾连，进行细微意义上的甄别及引领。很多学生看到12.6÷12的竖式后，误以为第二步中的60是一次性移下来的，这也是“不够就移”思维定势的体现。如果教师不用心强调，不通过更多的练习进行举一反三或者举三反一，那么学生就会把这种误解迁移到其他试题的计算之中，由此错题的出现也就不足为怪了。三、策略与思考既然造成错误的根源是多方面的，那么，重新审视学生与教材以及重构教学的新框架就是大有必要的；既然“老病根”是因为整数除法学得不扎实所导致，那么以跨单元与整体教学的姿态回到过去重温旧知，进行有意义的迁移、细化与比较，剔除学生思维中僵化与定势因子，就更是必要的。（一）迁移：算理、算法一脉相承所谓“迁移”，即在新旧知识联接点对学生加以点拨，即培养学生的知识迁移能力[3]。学生迁移力的提升不是一蹴而就的，需要由此及彼的追问、换位思考的逆问，需要前后贯通、勾连，进行更深处的沿径探源。真正高质量的迁移必须是“有根”的，即把已有的方法、经验运用到未知的学习中，正所谓：“由根生干，由干生枝。”就除法的本质属性而言，所谓的平均分，就是竖式中分到哪一位，商就写在哪一位上面，哪一位不够商1，就在那位上商0。这一点，无论是整数除法还是小数除法，都是不变的，这样的算理、算法是一脉相承的。所以，如果学生对此理解不透彻，教师就应该通过复习旧知，通过一些试题的训练再次强化除法的意义。教师出示两道整数除法算式：①912÷3，②1260÷2，组织学生自主完成计算，并说说商中间的0是怎么来的。优等生可能会很快回答出来，但学困生则知其然而不知所以然。因此，教师直接出示以下竖式图帮助学生理解之所以写0的原因。上图既有较为细致的过程，又有简化后的过程，简洁明了。通过对比，学生厘清了其算理与算法，明白了商中间0的来历。这为学生学习小数除法起到承上作用。接下来，出示算式12.6÷12，从整数除法过渡到小数除法，形成承上启下——学生自然而然地迁移运用整除除法的方法去解决小数除法问题。这里迁移发挥的是正迁移作用，而非负迁移，因为学生做到了两者之间算理、算法上的一脉相承。但仅仅这样是不够的。完成12.6÷12一题后，教师进一步追问：“假如把小数点继续往左移一位，结果会如何呢？”请仔细观察下图中的三个竖式。通过更为细微的对比，大部分学生已经发现了三个算式的相同之处，那就是不论什么“位”上的0，哪怕计数单位不同，但其产生的过程和方法是永远不变的——凡是某个数位上的数不够商时就补0。这是除法的本质意义，是解决任何题型都绕不开的。这样的举一反三，促使学生完成了有意义的迁移，其效果事半功倍。（二）细化：改变“不够就移”的做法1.细化板书，消除负面影响上文中那个学生误以为第二步中的60是一次性移下来的。教材竖式过于简单，对于学困生而言，会造成理解障碍。为此，我们“由粗到细”，进一步细化板书，将原来简单的一个竖式变为能够充分显示其细微过程的三个竖式。可以利用大屏幕动态演示其细微的过程。教师引领学生用醒目的颜色划出其中关键的步骤及重点，尤其表示出哪个数移下来了，厘清哪个地方是商0还是移0。当学生理解到这两点后，对所谓的“先商0而后移0”的理解就显得水到渠成。2.细化过程，破除思维定势数学学习中的思维定势既有好处，又有坏处。尤其是学生对数学核心概念理解不透的情况下，其负面作用更大。“不够就移”这样的思维定势就是这样，就是造成学生漏0现象的原因。因此，想方设法破除定势，帮助学生形成理性与科学思维，应该成为解决小数除法中“老病根”与“并发症”的一个重点。我们的做法是细化教学环节，引领学生针对最后一个竖式对如下三个问题进行充分讨论，最终达成共识。一是“商中0来自何方又去向何处”的讨论。教师鼓励学生自由表达，在此基础上，剔除不成熟的说法。以下是两种比较理想的说法：生1：我认为商中0是这样来的：6移下来是为了细分，分成6个0.1，而这是不够分成12份的。既然不够分，那么其分的结果就应该为0。生2：关于0将去向何处，我是这么理解的：既然6个0.1平均分成12份最后的结果是0个0.1，按照0乘以任何数都是0的法则，我们只能理解为没分走，所以这里的0可以省略。二是“竖式中的60可以一起移下来吗”的讨论。针对“可以移下来”与“不能移下来”，教师组织两方学生进行辩论。一种意见认为既然结果是不变的，那么完全可以移下来；另一种意见认为不能一起移下来，应该先移6，接着移0。其理由是十分位与百分位不同，直接移动的结果会造成中间的0没有补上，少了平均分0.6的这一步。毕竟，商中的0意味着十分位而非百分位。一位一位向下平均分，看似啰嗦，但必须遵守，这正是数学学科必须讲究严谨精神的象征。三是“如果商中这个0不补会造成何种影响”的讨论。通过讨论，学生理解到仅仅漏了一个0，5个0.01就变成5个0.1，1.05与1.5可是完全不一样的结果。可见，0所引起的数位之差，不可小觑。如此，通过上述三个问题的讨论，学生对“不够就移”有了更深刻的认识：不是随意就移，而是在补0的基础上才移；学生也理解到，有些竖式省略了分0.6的过程，但头脑中不能省略，做题时不能怕麻烦，尽量写清每一步，关注到每步先后顺利，这样就能够避免错误，有效杜绝作业中的失误现象。（三）比较：明晰“加与不加”的区别比较中寻方法，比较中找规律。以比较为手段的思维方式，既是打破思维定势的需要，又是解决“老病根”与“并发症”的需要。商中间有0的小数除法教学中，教师有意识地把漏掉0或者不应有0却补上了0的错题呈现出来，同时呈现正确竖式，两两比较，引领学生明晰“加与不加”的区别，必能更好地帮助学生厘清相关概念，加深正确解题步骤的印象，提高学生的整体解题能力。分析中，教师发问：“这个竖式的商中间为什么不能补0？”引领学生看一看商中的数位与下面的数位是不是有错位，是否有对应分的过程，学生