福建省2025届高三高考模拟数学试题（含答案解析）

2024-2025学年高三毕业班高考模拟试题数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具体范围，再由集合运算求得.【详解】集合，集合，所以.故选：A.2.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.3.已知向量，若，则实数（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.【详解】，，由，则有，解得.故选：D.4.方程在内根的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先根据两角和差的正弦公式进行化简，整体替换得到方程的根；【详解】由题意，，即，可得或，解得或又因为，所以，故选：D.5.已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，直接利用圆台的体积公式求解即可.【详解】因为圆台上下底面半径分别为2cm和5cm，高为3cm，所以该圆台的体积为.故选：C6.对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（）A.或 B.或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】通过转换主参变量的方法来求得的取值范围.【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，整理得，令，则，解得或.故选：A7.在钝角中，，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解即可.【详解】由正弦定理得，所以，因为钝角中，，当为锐角时，，得，则，所以，则，所以；当为钝角时，，得，则，所以，则，所以；综上：．故选：C.8.当时，恒成立，则整数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先说明时不等式对恒成立，再说明时不等式对不成立，即可说明整数的最大值为.【详解】若，则对任意，由，知，故原不等式对x>1恒成立；若，则由，知，故原不等式对不成立.所以整数的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表X12345pmn若，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D.【详解】由可得：①，又因为，故C正确.所以，则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；,，故D错误.故选：AC.10.下列命题中正确的是（）A.函数的周期是B.函数的图像关于直线对称C.函数在上是减函数D.函数的最大值为【答案】AD【解析】【分析】A：根据正弦型函数的周期公式进行求解即可；B：根据余弦型函数对称性的性质进行判断即可C：利用导数的性质进行求解判断即可；D：根据诱导公式，结合余弦弦型函数单调性进行求解判断即可.【详解】A：由正弦型函数的周期公式可知：该函数的周期为，故本命题是真命题；B：，令：，，所以不是该函数的对称轴，因此本命题是假命题；C：，由，即，所以该函数在上是增函数，所以本命题是假命题；D：，显然该函数的最大值为，因此本命题是真命题，故选：AD11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（）A.双曲线的离心率B.为定值C.AB的最小值为3D.若直线与双曲线的渐近线交于、两点，点为的中点，（为坐标原点）的斜率为，则【答案】ABD【解析】【分析】利用点到直线的距离求出，可求出离心率，判断A，利用点到线距离结合在双曲线上证明为定值判断B，联立方程组解出交点坐标求出的距离的最小值判断C，对D选项，设、，则，由，两式相加和两式相减化简可得，，从而得到，可判断D.【详解】双曲线的渐近线方程为，圆与渐近线相切，则，即，所以，则，故A正确；由A选项可得双曲线的两条渐近线方程为，设为双曲线上任意一点，则，所以点到两渐近线的距离，，所以为定值，故B正确；过与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标，，解得交点，同理得，因为为双曲线右支上的动点，所以，则，故C错误；对D选项，设、，则，又、在双曲线的两条渐近线上，则，两式相减可得，即，两式相加可得，即，又，，所以，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________．【答案】【解析】【分析】先利用三角函数恒等变换将函数化为的形式，再由可得的两个零点为，再结合可求出函数的最小正周期，从而可求出，进而可求得结果.【详解】，由，得，得，因为是函数的两个零点，且，所以的最小正周期为，所以，得，所以，由，得，则，所以，得，所以，所以最小值与最大值之和为，故答案为：.13.已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于Ax1,y1，Bx2,y2两点，若，【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义分析可知为等腰直角三角形，且，，结合勾股定理列式求解即可.【详解】因为，则，，且，可知为等腰直角三角形，则，，且，即，整理可得，所以双曲线的离心率.故答案为：.14.已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意可知与的夹角为，从而根据正弦定理可得，再根据投影的定义表示出，最后对化简变形通过正弦函数的性质即可求解.【详解】因为平面向量，的夹角为，与的夹角为，所以与的夹角为，所以根据正弦定理可得，，所以，所以，因为，所以，所以在上的投影为，在上的投影为，所以因为，所以，所以，所以当时，取得最小值，且最小值为，当时，取得最大值，且最大值为，所以的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的综合问题，考查向量投影，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是根据向量投影的概念表示出，考查计算能力，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，．（1）求角B的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式，结合正弦函数单调性求出角B.（2）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求解即得.【小问1详解】在锐角中，，则，，于是，即，而，则，所以.【小问2详解】由（1）知，，由，得，由正弦定理得，而，则，，所以的取值范围是.16.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性质定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可用未知数表示出直线与平面所成的角的正弦值，计算即可得解.【小问1详解】连接、，由分别为的中点，则，又平面，平面，故平面，正四棱台中，且，则四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；【小问2详解】正四棱台中，上下底面中心的连线底面，底面为正方形，故，故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系，由，侧面与底面所成角为，则，则，，，假设在线段上存在点满足题设，则，设，则，，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，则，，即，因为直线与平面所成的角的正弦值为，故，解得或（舍），故，故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，此时线段的长为.17.小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了24元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得8元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）结合题意，由独立事件的乘法公式计算即可；（2）求出X的可能取值，分别计算其概率，列出分布列，再利用期望公式求出期望即可；【小问1详解】若A恰好获得8元红包，则结果为A未猜中，B未猜中，C猜中，故A恰好获得8元的概率为；【小问2详解】X的可能取值为0，8，12，24，则，，，，所以X的分布列为：X081224P数学期望为18.设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.（1）若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;（2）已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.（3）若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.【答案】（1）不是,证明见解析（2）真命题,证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可;（2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明;（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明;【小问1详解】令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”.【小问2详解】命题为真命题.因为,不妨令,因为是“平缓函数”,则,所以,故命题为真命题.【小问3详解】因为是以为周期的周期函数,不妨设,当时,因为函数是“平缓函数”,则;当时,不妨设,则,因为是以为周期的周期函数,则,因为函数是“平缓函数”,所以所以对任意的,均有,因为是以为周期的周期函数,所以对任意的,均有.【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明.19.点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．（1）求数列、的通项公式；（2）记点到直线（即直线）的距离为，（I）求证：；（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．【答案】（1），；（2）（I）证明见解析；（II）证明见解析，最小值为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列、的通项公式；（2）（I）求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出，再利用等比数