福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题含答案及解析

龙岩市一级校联盟2024—2025学年第一学期半期考联考高二数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.2.公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（）A.9 B.16 C.22 D.253.已知数列，，，则（）A.8 B.16 C.24 D.644.从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取4件进行检验，抽出的4件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（）A. B. C. D.5.已知点关于直线对称的点在圆上，则（）A.1 B. C. D.6.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（）A21 B.13 C.12 D.157.已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（）A.圆关于轴的对称圆的方程为B.若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则C.若反射光线平分圆的周长，则反射光线所在直线的方程为D.若反射光线与圆交于，两点，则面积最大值为18.已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（）A.B.展开式的各项系数的和为C.展开式的各二项式系数的和为256D.展开式常数项为第5项10.传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（）A.7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840B.7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720C.7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480D.7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法11.已知圆和圆.其中正确的结论是（）A.当时，圆和圆有4条公切线B.若圆与圆相交，则的取值范围为C.若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为D.若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为____________________.13.已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________.14.在数列相邻的每两项中间插人这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次"平均拓展"，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”.已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，，则__________；依此类推，将数列1，3，5，，21经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知.（1）求的值；（2）求的值.16.已知的三个顶点的坐标分别是，，.（1）求的面积；（2）求外接圆的方程.17.已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.18已知圆和点.（1）点在圆上运动，且为线段ME的中点，求点的轨迹曲线的方程.（2）设为（1）中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为.（i）求的取值范围.（ii）试探究：在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.19.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，.（1）求.（2）证明：数列是等比数列.（3）求的个位数.

龙岩市一级校联盟2024—2025学年第一学期半期考联考高二数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再利用点斜式求直线方程.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因为直线过点，所以直线的方程为，整理有：故选：A2.公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（）A.9 B.16 C.22 D.25【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解.【详解】因为，所以，又，，所以或或或或或或或或，所以的值可能是，，，，.故选：.3.已知数列，，，则（）A.8 B.16 C.24 D.64【答案】D【解析】【分析】由可求得，进而求出，可求出.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以数列an为等比数列，（），所以.故选：D.4.从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取4件进行检验，抽出的4件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分步乘法计数原理，先抽次品，再抽正品，即可求解.【详解】由题意，8件新产品中有3件次品，件正品，先从3件次品中取出2件次品，有种抽法，再从件正品中取出2件正品，有种抽法，所以抽出的4件产品中恰好有2件次品的抽法种数为.故选：.5.已知点关于直线对称的点在圆上，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出关于直线对称的点的坐标代入圆求解即可.【详解】解：设对称的点，则，解得，所以，所以，所以.经检验符合题意.故选：C.6.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（）A.21 B.13 C.12 D.15【答案】A【解析】【分析】设级台阶的走法为，找出数列的递推公式，即可求解.【详解】设级台阶的走法为，则，，当时，，所以，，，，.故选：.7.已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（）A.圆关于轴的对称圆的方程为B.若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则C.若反射光线平分圆的周长，则反射光线所在直线的方程为D.若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为1【答案】C【解析】【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可；对于B由题意可反射光线过点，则，利用圆的性质求切线长即可；对于C，确定直线过点，，由两点式求直线方程即可；对于D，设，利用性质，把弦长、弦心距用表示，从而求出面积的最大值.【详解】对于A，圆的标准方程为：，圆心，半径，圆心关于轴的对称点为，半径为，所以圆关于轴的对称圆的方程为：，即，故A错误；关于B，点关于轴的对称点为，，根据已知条件有：，所以，故B错误；对于C，因为反射光线平分圆的周长，所以反射光线经过圆心，所以反射光线过，，所以反射光线的方程为，整理得：，故C正确；对于D，反射光线过点，若直线的斜率不存在，直线与圆相离，不合题意；所以直线斜率存在设为，所以直线的方程为：，整理有：，设，则圆心到直线的距离为，所以，所以，则当时，，故D错误.故选：C8.已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数列的递推关系构造出常数列，再求通项，然后分离参变量，再利用数列的单调性思想，研究不等式成立的条件.【详解】因为，所以，所以，即，所以数列是常数列，当时，，所以，即，因为，所以，令，所以，当时，，即，，，，，，为了满足不等式有且仅有4个解，则，此时有，，，.故选：.【点睛】方法点睛：通过数列递推关系构造出常数列，不等式恒成立或有解问题要用分离参变量方法，数列的单调性用作差或作商法来研究.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（）A.B.展开式的各项系数的和为C.展开式的各二项式系数的和为256D.展开式的常数项为第5项【答案】ACD【解析】【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和.【详解】解：因为的展开式的通项公式为，（），所以，即，解得（舍去），故A正确；所以（），当，即时为常数项,故D正确；所以展开式的各项系数的和为，故B错误；所以展开式各二项式系数的和为，故C正确.故选：ACD.10.传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（）A.7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840B.7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720C.7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480D.7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法【答案】AD【解析】【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数；B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数；C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数；D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数.【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有种方法，随后排列剩下4人，有种方法，则共有种方法，故A正确；B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列，有种方法，则共有种方法，故B错误；C选项，先排剩下5人，有种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中，有种方法，则共有种方法，故C错误；D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有种方法，随后安排训练，有种方法，则共有种方法，故D正确.故选：AD11.已知圆和圆.其中正确的结论是（）A.当时，圆和圆有4条公切线B.若圆与圆相交，则的取值范围为C.若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为D.若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或【答案】ABD【解析】【分析】对于，当时，由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，判断两圆的位置关系即可求解；对于，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围；对于，设Px1,y1，Qx2,y2，联立直线和圆的方程，可得的取值范围，由韦达定理代入即可求解；对于，设点，由可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，，即得到的坐标.【详解】对于，当时，，，，，，，所以，所以，因为，所以圆和圆外离，所以圆和圆有4条公切线，故正确；对于，，若圆与圆相交，则，解得，故正确；对于，若直线与圆交于，两点，设Px1,y1，Qx联立，得，所以，解得，，所以，因为，所以，故不正确；对于，设点，直线和的方程分别为，，即，，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以，化简得或，因为存在过点无穷多对互相垂直的直线和，所以关于的方程有无穷多解，从而有或，解得或，故正确.故选：.【点睛】关键点点睛：设点，由可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为____________________.【答案】【解析】【分析】判断两圆位置关系，再将两圆方程相减即得.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，于是，即圆相交，由消去二次项得，即，所以两圆的公共弦所在的直线方程为.故答案为：13.已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据题意直线方程可得，，分析可知，即可得结果.【详解】因为动直线过定点，动直线过定点，且，可知，即，所以.故答案为：1.14.在数列相邻的每两项中间插人这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次"平均拓展"，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”.已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，，则__________；依此类推，将数列1，3，5，，21经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知，分析每次构造后的值，总结规律求出；由分析可得，利用分组求和即可计算.【详解】设表示与之间的次平均拓展之和，所以数列bn对于而言，第一次构造得到1，2，3，其中，第二次构造得到1，，2，，3，其中，第三次构造得到1，，，，，3，其中，第四次构造得到1，，，，，，3，其中，由观察归纳，第次构造得到1，，，，3，则；因为经过次“平均拓展”得到的新数列的项分别为1，，，，3，，，，5，，7，，9，，，由，则，，则，，则，，所以数列bn的各项分别为，，，，所以，因，所以.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：经过次构造可得1，，，，3，则；数列bn每次构造后所添加的个数相同，即.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由展开式的通项计算即可；（2）利用赋值法计算即可.【小问1详解】二项式展开式的通项为，，因为，所以；【小问2详解】令，则，令，则，可得，因此.16.已知的三个顶点的坐标分别是，，.（1）求的面积；（2）求外接圆的方程.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）求出与点到直线的距离，再利用求解即可；（2）利用待定系数法设圆的一般方程，建立方程组，求出即可.【小问1详解】解：已知，，直线的斜率，则直线的方程为，点到直线的距离.又，所以的面积.【小问2详解】解：设外接圆的方程为，把点，，的坐标代入圆的方程，得,可得，经检验符合题意.所以圆的方程为.17.已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据与关系求an的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解bn的通项公式；（2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解.【小问1详解】数列an的前项和，当时，，当时，，因为也适合上式，所以，设数列bn的公比为，因为，所以，解得，又，所以；【小问2详解】由题意得，设数列的奇数项之和为，偶数项之和为，则，，所以，两式相减得，所以，故.18.已知圆和点.（1）点在圆上运动，且为线段ME的中点，求点的轨迹曲线的方程.（2）设为（1）中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为.（i）求的取值范围.（ii）试探究：在轴上是否存在定点（异