初升高数学最值专题PA+kPB型之阿氏圆问题 【教师版】

阿氏圆

课中讲解

模型来源

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满

足PA：PB=k(k^l),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个

轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

模型建立

如图1所示，的半径为R,点A、B都在。0外，P为。0上一动点,

2

已知R=-OB,

5

2

连接PA、PB,则当“PA+^PB”的值最小时，P点的位置如何确定?

2

解决办法：如图2,在线段0B上截取0C使0C=§R,则可说明^BPO

22

与APCO相似，贝1J有二PB二PC。故本题求“PA+=PB”的最小值可以转化为

“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点

共线时，“PA+PC”值最小。

技巧总结

计算PA+k・PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角

形

问题：在圆上找一点P使得%+攵・心的值最小，解决步骤具体如下：

1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,0B

OP

2.计算出这两条线段的长度比==%

0B

3.在OB上取一点C,便得变=4，即构造△POMsZ\BOP,则二=%,

OPPB

PC=k-PB

4.贝ij++之AC,当A、P、C三点共线时可得最小值

例1.已知NA0B=90°,0B=4,0A=6,(DC半径为2,P为圆上一动点.

(1)求AP+’BP的最小值为

2

⑵求京八利的最小值为---------

第（1）问解题基本步骤：构造△OPCs/XOBP,贝1」2PC=O匕P=oc"=攵（相似

BPOBOP

比）

①分别连接圆心。与系数不为1的线段BP的两端点，即OP,0B;

②计算嘉的值’则仁嘉号半径）

圆心到定点的距离

nr

③计算0C的长度，由缶=上得:OC=-OP（相彳以比X半径）

2

④连接AC,当A、P、C三点共线时，AP+-BP=AP+PC>AC

2

⑤计算AC的长度即为最小值.

例2.菱形A8CD边长为4,ZABC=60。，点E为边的中点，点尸为4）上一动点,

连接即、BF,并将ABE/沿BF翻折得△8£尸，连接£C,取£。的中点为点G,连接

DG,则2OG+■!■£（;最小值为质.

2一一

AD

【分析】过点DA作OH_LBC交8C的延长线于”，取8C的中点连接GM,在

MC上截取MQ,使得MQ=g,连接GQ,DG.利用相似三角形的性质证明

2

GQ=gcG=；CE,求出QD的长即可解决问题.

【解答】解：过点作。〃_L8C交的延长线于”，取8。的中点〃，连接GM,在

MC上截取M。，使得MQ=,，连接GQ,DG.

2

•.AE=EB=2,由翻折的性质可知，BE=BE=2,

•;CG=GE,CM=MB,.\GM=-BF=1,

2

\BM=MC=2,MQ=-t:.MG?=MQ.MC,...些=把

2MQMG

/GMQ=NGMC,/.bGMQ^ACMG,..—=—=-,

CGCM2

:.GQ=；GC=*E,

•.•四边形ABC。是菱形，.•.AB//CD,AB=CD=4f

ZDCH=ZABC=60°f

•.DH工CH,.・.C”=Scos600=2,DH=辰11=2场,

37

\QH=QC+CH=-+2=-,

22

二.QD=4DH?+QH?=J(2j5)2+g)2=率，

•「2DG+-CE,=2(DG+-CE,)=2(DG+GQ)..2DQ=>/97,

24

2OG+，C£的最小值为质.

2

故答案为质.

【点评】本题考查菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，两点之间线

段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化

的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

例3.(1)如图1,己知正方形ABC的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B

上的一个动点，求PD+-PC的最小值和PD--PC的最大值.

22

(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上

?2

的一个动点，那么尸O+-PC的最小值为：尸。-一尸。的最大值为

3-------31

(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,NB=60°,圆B的半径为2.点P

是圆B上的一个动点.那么如+5。的最小值为--------：9Tpe的最

大值为

【解答】解：(1)如图3中，在5c上取一点G,使得3G=4.

・・PB_6_3BC_9-3

•———9।・——，

BG42PB62

•.里=弛，•:/PBG=/PBC,

BGPB

:•△PBGs^CBP,

•PG=BG_=_2:.PG=2PC,

**PCPB3

图3

:・PD+2PC=DP+PG,

3

■:DP+PSDG,

・•・当。、G、P共线时，po+2pc的值最小，最小值为DG=d52n=

V106.

YPD-2LPC=PD-PSDG,

3

当点P在DG的延长线上时，尸。-工尸。的值最大，最大值为。G=

2

V106.

故答案为的面，V106

（2）如图4中，在上取一点G,使得BG=1,作。/_LBC于尸.

••PB—2—2BC—4—2

•而一1_，丽___________D

APB=BC>7ZPB/

BGPB//；

//

•PG=BG_=1/Z^7X></

PCPB2'I

.・・PG=LPC,\）

2图4

.・・PD+Lpc=DP+PG,

2

；DP+P金DG,・••当D、G、P共线时，PO+LPC的值最小，最小值为

2

DG,

在RtZkC。尸中，ZDCF=60°,CD=4,

：.DF=CD*sin60°=273，CF=2,

在RSGO厂中，^=7（2V3）2+（5）2=V37

•:PD-^PC=PD-PSDG,

2

当点产在0G的延长线上时，尸。-工PC的值最大（如图2中），最大值

2

为Z）G=V37.___

故答案为倔，V37-

过关检测

1.如图，点C坐标为(2,5),点A的坐标为(7,0),0c的半径为加，点B在。C

上一动点，R的最小值为.

OB+—AB

5

y

［答案］:5.

2.如图，在Rt^ABC中，Z1.如图，在RTZ\ABC中，NB=90°,

AB=CB=2,以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为应，点P为圆B上

的一动点，求”+苧所的最小值.

［答案］:V5.

3.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是00上一动点，则行

［答案］:2斯.

4.如图，等边△ABC的边长为6,内切圆记为。0,P是。。上一动点,

则2PB+PC的最小值为.

例4.(2018•七中育才校二诊)己知：如图1,抛物线y=E+for+c与4轴文于

8(3,0)两点，与y轴交于点C,点。为顶点.

(1)求抛物线解析式及点。的坐标；

(2)若直线/过点O,P为直线/上的动点，当以A、B、尸为顶点所作的直角三角形

有.且只有三个时，求直线/的解析式；

(3)如图2,足为。8的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE'旋转角为

a(00<a<90°),连接E8、E'C当E8+，EC取得最小值时，求直线8E与抛物线的交

2

【分析】(1)由抛物线的交点式可知抛物线的解析式为y=(x+lXx-3),通过整理可得

到抛物线的解析式，然后利用配方法可得到抛物线的定点坐标；

(2)过点A、8分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线/总是有交点的，即2个点。.以

45为直径的0G如果与直线/相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线/相切，就只有1个

点Q了，以为直径作0G,作。。与OG相切，则过。作QEJ_G。，先求得

点Q的坐标，于是可求得,的解析式，由图形的对称性可知点Q的坐标还可以是(1+百，-1),

然后可求得另一种情况；

(3)取M使OM=?，连接ME,接下来，证明△OA/ES^OEC,从而可得到

4

ME=LcE,故此当M、E、B在一条直线上时，有最小值，最后，依据勾股

22

定理求得MB的长度即可.

【解答】解：［D•・•抛物线y=f+bx+c与x轴交于5(3,0)两点,

y=(x+l)(x-3)=x2-2x-3.

y=x2-2x-3=(x-1)2-4,，抛物线的顶点坐标为(1,-4).

(2)过点A、8分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线/总是有交点的，即2个点Q.

以45为直径的0G如果与直线/相交，那么就有2个点Q：如果圆与直线/相切，就只

有1个点。了.

如图所示：以AB为直径作QG,作QD与0G相切，则QG_LQZ),过。作QE_LGO.

vA(-l,O),3(3,0),「.AB=4.:.QG=2.

又•.•DG=4,/.sinZGZ)C=1.sinNGQE=；,.•.GE=1,

:.QE=ylQG2-GE2=yf3..・•点Q的坐标为(1一石，-1).

k+b=-4

设/的解析式为y=+则,f-»解得：k=73,b=-4+\/3»

(\-s/3)k+b=-\

直线I的解析式为y=-y/3x+G-4.

由图形的对称性可知：当直线/经过点(1+75,-1)时，直线/与OG相切，则

k+b=-4

l>解得：k=邪,b=-4-\/3,

(\+y/3)k+b=-\

.••直线/的解析式为y=x/5x-4-B

综上所述，直线/的解析式为丁=-瓜+6一4或)，=居-4一档.

4

(3)如图所示：取M使OM=二，连接ME.

4

.OE二OC

=oaoM，

MF'OF'11

,,

又・・・NMOE=4EOC,:.XOMESROEC,：.—=rfL=l.；.ME=-CE.

CE1OC22

E,B+-E,C=BE,+ME,,

2

.,.当M、E'、4在一条直线上时，£B+」EC有最小值，

2

•/直线BE1的解析式为y=%-1，

直线8£马抛物线的交点坐标为（-3,

416

【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定知性质、锐角三角

函数等知识，解题的关键是确定出取得最小值的条件.

2

过关检测

1.如图，直线/:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、8两点，抛物线

y=ax2-2ax+a+4（。＜0）经过点B,交x轴正半轴于点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点

M的横坐标为胴，A4BM的面积为S,求S与切的函数表达式，并求出S的最大值及

此时动点M的坐标；

（3）将点A绕原点旋转得点4,连接ar、小v,在旋转过程中，一动点M从点8出

发,沿线段&T以每秒3个单位的速度运动到A,再沿线段ArC以每秒1个单位长度的

速度运动到。后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少?

【分析】(1)根据题意可以求得点8的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；

(2)根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含W的代数式表示出S,

然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；

(3)根据题意作出点”，然后利用三角形相似和勾股定理、两点之间线段最短即可求得/

的最小值.

【解答】解：⑴将x=0代入y=-3x+3,得y=3,.•.点B的坐标为(0,3),

,抛物线丁二北一2ar+a+4(a<0)经过点8,「.3=。+4,得。=一1,

••・抛物线的解析式为：丁=-丁+21+3；

(2)将y=0代入)，=-f+2x+3,得％=T,占=3,.•.点。的坐标为(3,0),

•.•点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点A7的横坐标为m,

0vv3,点M的坐标为+2m+3),

将丁=0代入)，=-3X+3,得x=l,.,.点A的坐标(1,0),

的面积为S,

°°°°c3x叫以(一〉+2川+3)1x3

,•°—。四边形。AM8一-^ABOM十^XOAM~^AAOB~~~十，

/1/省但C府一5m1,525

化徇，得5=--------=一一（zw一一）2+一，

2228

，当m=|时，S取得最大值，此时S=个，此时点M的坐标为（|,（）,

即S与m的函数表达式是S=一些二网,S的最大值是—，此时动点M的坐标是

2824

（3）如右图所示，取点〃的坐标为（0,-），连接HA，、OV,

ZHOA!=ZAOB,-=-,—=1,..AO/M's△3出，

OA!3083

，里=3,即丝=A，H,

A〃3

•/A,H+A,C..HC=

嫡

/.[・・;-----,

3

即点M在整个运动过程中用时最少是姬秒.

3

【点评】这是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、最短路径、三角形相似，待

定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，

作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答.

学习任务

1.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B,则所有符合奇=2伏>0且2=1）的点P会组成一个圆.这个

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标中，在x轴，），轴上分别有点C（利0）,0（0,〃），点

np

夕是平面内一动点，且OP=r,设士土=2,求PC+">D的最小值.

OD

图1图2

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在8上取点使得QW:O/>=OP:OD=Z；

第二步：证明"”=PM；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在8上取点M,使得。?=QP:OD=R,

又/POD=ZMOP,.-.AP9M-ADOP.

任务：

（1）将以上解答过程补充完整.

（2）如图2,在RtAABC中，NAC8=90°,4c=4,BC=3,D为AA8C内一动点，

满足CD=2,利用（1）中的结论，请直接写出4力+2A0的最小值.

3

【解答】解（1）在8上取点M,使得OM:OP=OP:OD=3

又，.,4POD=5OP,s.^OM-MX）P.:.MP:PD=k,:.MP=kPD,

:.PC+kPD=PC+MP,当+取最小值时，PC+M尸有最小值，即C,P,M

三点共线时有最小值,

22

利用勾股定理得CM=y]0C+0M=+(52=J加+42r2.

CD9O4

(2)•.•AC=加=4,—在。上取一点M,使得CM=±8=-，

BC333

图2

AQ+1BD的最小值为『+（々J=殍.

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股

定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想

思考问题，属于中考常考题型.

2.如图，在平面直角坐标系中，A（2,0）,8（0,2）,C（4,0）,D（3,2）,P是4

AOB外部第一象限内的一动点，且/BPA=135°,则2尸。+PC的最小值是多

少？

［答案］4收

3.如图，RtAABC,ZACB=90°fAC=BC=2f以。为顶点的正方形。。所

（C、D、E、尸四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CQ

=花，连接AF,BD

（1）求证：

（2）当正方形COEF有顶点在线段48上时，直接写出5Q+返AO的

2

值；

（3）直接写出正方形CQE”旋转过程中，BQ+返AD的最小值.

【解答】(1)证明：如图1中，

•.•四边形CDEF是正方形，

：.CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

・•・ZACF=/DCB,

*：AC=CBt

:•丛FCAQADCB(SAS).

图i

(2)解：①如图2中，当点O,E在48边上时,

a

：AC=BC=2fNACB=90°,

・・・AB=2正，

VCD1AB,

:・AD=BD=&,

・・・8。+与1。=亚+1.

②如图3中，当点E,尸在边AB上时.

BD=CF=y[2fAD=JBD2+AB2=S^，

••・3。+返4。=亚+第,

2

(3)如图4中.取AC的中点M.连接OM,

■:CD=®CM=1,CA=2,

:.B=CM・CA,

，型=里VZDCM=ZACD,

CACD

•••△OCMS/XACO,

.DM=CD=V2

**ADACT，

:・DM=®AD,

2

:.BD+返AD=BD+DM,

2

图4

・••当8,D,M共线时，80+返的值最小，

________2

最小值=7CB2+CM2=E

4.如图，抛物线＞=-/+瓜+。与直线.交于A(_4,-4),8(0,4)两点，直线

AC:y=—：x—6交y轴于点C.点E是直线上的动点，过点E作£F_Lx轴交AC

于点尸，交抛物线于点G.

(1)求抛物线y=-f+bx+c的表达式；

(2)连接G8,EO,当四边形GEO3是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点“，连接HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,

产，〃为顶点的四边形是矩形？求出此时点E,"的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，E”长为半径作圆，点"为OE上一动点，求

【解答】解：(1)•・•点A(T,T),3(0,4)在抛物线丁=x2\bx\c±,

b=-2o

,,抛物线的解析式为y=-d-2x+4；

c=4

(2)设直线AB的解析式为y="+〃过点A,B,

,=4,...「=2,.直线他的解析式为),=2X+4,

[-4k+M=-4[〃=4

设E(m,2m+4)>-2m+4),

■.•四边形G反用是平行四边形，，反；=。8=4,

/.-m2-2m+4-2/n-4=4,:.m=-2

.G(-2,4).

(3)①如图1,

由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4,.•.设E(a,2a+4),

,,直线=-gx-6,F(a,-^a-6),

设”(0,p)，

•.•以点4,E,F,”为顶点的四边形是矩形,

直线的解析式为y=2X+4,直线AC:y=-^x-6,

:.AB±AC,所为对角线，户与A”互相平分，

.-.a=-2,P=-\,"(-2,0).W(0,-l)；

②如图2,

由①知，次一2,0),”(0,-1),A(-4,-4),

:.EH=下,AE=28

设AE交0E1于G,取EG的中点P,:.PE=—

2f

连接PC交0E于M,连接EM,

心

PE\

:.EM=EH=y/5,

~ME~115~2

ME卡1PEME_I

•.ZPEM=ZMEA

AE2石2HE~~AE~2

PMME1

:&EMs^MEA..PM=-AM,

~AM~~AE~22

..-AM+CM的最小值=2。,

2

设点P(p,2〃+4),

E(-2,0),/.PE2=(p+2)2+(2p+4y=5(p+2)2,

PE=当，Kp+zyn?,或〃=-|(由于E(-2,0),所以舍去),

P(--,-1),

2

C(0,-6),二PC=J(-j)2+(-l+6)2=苧，

即：—AM+CM='5.

22

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的

性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，

解(1)的关键是掌握待定系数法，解(2)的关键是利用平行四边形的对边相

等建立方程求解，解(3)①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解

(3)②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目.

5.如图1,抛物线y=o^+(a+3)x+3(。工0)与工轴交于点A(4,0),与y轴交于点8,

在x轴上有一动点E(m,0)(0<w<4),过点E作x轴的垂线交直线仞于点汽，交抛物线

于点尸，过点尸作尸于点

(1)求。的值和直线的函数表达式；

(2)设APMN的周长为G，的周长为。2，若邑=色，求机的值；

C?5

(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为

2

a(00<a<90°),连接EA、EB,求EA+-EB的最小值.

3

【分析】(1)令y=0,求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出。，根据待定系数

法可以确定直线45解析式.

(2)由APNMs故NE,推出”=色，列出方程即可解决问题.

AN5

4

(3)在y轴上取一点“使得构造相似三角形，可以证明4"就是

E4+—E8的最小值.

3

【解答】解：(1)令y=0,则or2+3+3)x+3=0,.•.(x+l)(ov+3)=0,=或一巳，

a

aq

,抛物线,二⑪2+m+3)x+3(aH0)与x轴交于点A(4,0)，—=4,:.a=——.

a4

•/A(4,0),8(0,3),

3

设直线AB解析式为y=辰+匕，则已八，解得"=一鼠

4&+。=0,.

i[b=3

直线AB解析式为y=——x+3.

(2)如图1中,

A.AB,PE1OA,APMN=ZAEN,•;4PNM=NANE,

.PN6

:."NMSWE,''AN~~5

ANAE5

•.•NE7/OB,/.——=—,:.AN=-(4-fn),

ABOA4

••・抛物线解析式为y=-+%+3,

3，o

3933—m~+3mA

PN=——+—7〃+3-(—m+3)=——"I2+3m9-------=-,解得m=2或4,

4444|(4-/n)5

经检验x=4是分式方程的增根，/.m=2.

（3）如图2中，在），轴上取一点AT使得OAT=g,连接AAT,在A1T上取一点E使得

:。曰=OM'・OB,

3

M'E'OF2

:.丛M'OEs丛EOB,

BE'~~OB~3

.•.”£=28£,

3

22

.•.4E+—8E=AE+EAr=AAr,此时AE+—BE最小(两点间线段最短，A、“、E

33

共线时）,

令=刖.

最小值=AAT=4?+

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的

关键是构造相似三角形，找到线段W就是EA+2EB的最小值，属于中考压轴题.