初三（数学）专题18圆的对称性专项讲练-附历年中考真题训练解析

专题18圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形.

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同

时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意隹度，都能够与本身重合，这

是圆特有的旋转不变性.

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、

弦心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有广泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也古代的美索不达米亚人最先开始

制造圆轮.日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了

深深的烙印.

例题与求解

【例1】在半径为1的。O中，弦AB,AC的长分别为6和立，则NBAC度数为.

（黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注A8与AC有不同位置关系.

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问

题的解决.

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB,CD,EF.如果A8+CD=EF,那么A8+C。

与E尸的大小关系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD>EF

C.AB+CLXEFD.AB+CD与EF的大小关系不能确定

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考.

【例3】(1)如图I,已知多边形4BO石。是由边长为2的等边三角形4BC和正方形BOEC组成，

00过A,D,E三点,求。0的半径.

(2)如图2,若多边形A8DEC是由等腰△48C和矩形8DEC组成，AB=AC=BD=2,。。过A,D,

E三点，问。0的半径是否改变？

(《时代学习报》数学文化节试题)

解题思路：对于⑴，给出不同解法：对于⑵，。的半径不改变，解法类似⑴.

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个

从形式到结果依然完美的图形.

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.

［例4］如图，已知圆内接△A8C中，AB>AC,D为84c的中点，DELAB于E.求证：

(天津市竞赛试题)

解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法.同样，圆也为解决直

线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等

或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.

【例5】在△ABC中，M是A8上一点，且AM2+BM2+CM2=24M+2BM+2cM—3.若P是线段AC

上的一个动点，。。是过P，M,C三点的圆，过P作PO〃A8交。。于点O.

（1）求证：M是AB的中点；

（2）求P0的长.（江苏省竞赛试题）

解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM,BM,CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，

促成圆周角与弧、弦之间的转化.

【例6】已知A。是。0的直径，AB,AC是弦，且48=AC.

⑴如图1,求证：直径4。平分NB4C；

⑵如图2,若弦8c经过半径04的中点£尸是CD的中点，G是尸8的中点，。。的半径为1,

求弦FG的长；

⑶如图3,在⑵中若弦8C经过半径0A的中点E,P为劣弧上一动点，连结出，PB,PD,PF,

PA+PF

求证:的定值.

PB+PD

（武汉市调考试题）

解题思路：对于⑶，先证明以=NO尸尸=30°,NBP£>=60°,这是解题的基础，由此可导出下列解

题突破口的不同思路：①由N3%==NOPF=30°,构建直角三角形；②构造以+P凡P8+PO相关线段；

③取8。的中点M,连结PM,联想常规命题；等等.

本例实质是借用了下列问题：

⑴如图1,PA+PB=6PH；⑵如图2,PA+PB=PH,

Ct

⑶进一步，如图3,若NAPB=a,尸”平分NAPB,贝！M+PB=2PHcos一为定

2

pp

值.

能力训练

A级

I.圆的半径为5cm,其内接梯形的两底分别为6cm和8cm,则梯形的面积为.cm2.

2.如图，残破的轮片上,弓形的弦A8长是40cm,高CO是5cm,原轮片的直径是.cm.

第2题图

3.如图，已知CO为半圆的直径，88_1_8于8.设N4OB=a,则丝•心n3=_______.

BD2

（黑龙江省中考试题）

4.如图，在中，ZC=90°,AC=J5,BC=\,若BC=1,若以。为圆心，C8的长为半径

的圆交A8于P,则AP=.（江苏省宿迁市中考试题）

5.如图，AB是半圆。的直径，点P从点O出发，沿04—A8—80的路径运动一周.设OP长为

5,运动时间为3则下列图形能大致地刻画S与f之间的关系是（）

6.如图，在以。为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,。两点，AB=10cm,CD=6cm,

那么AC的长为（）

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

（第8题图）

7.如图，48为。0的直径，C。是弦.若AB=10cm,CD=8cm,那么A,B两点到直线CO的距离

之和为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

8.如图，半径为2的。。中，弦48与弦CD垂直相交于点尸，连结。P.若。P=l,求AB?＞。。?

的值.（黑龙江盾竞赛试题）

9.如图，AM是。。的直径，过。。上一点B作BN_LAM于N,其延长线交。。于点C,弦CO交

4M于点E.

（1）如果CO_LAB,求证：EN=NM；

（2）如果弦C。交AB于点凡且CD=4B,求证：CE?=EF・ED；

⑶如果弦CD,AB的延长线交于点F,且CD=AB,那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

（重庆市中考试题）

（第9题图）

10.如图，00的内接四边形中，"是5c的中点，于点求证：BH=

2

CAB-AC).

（河南省竞赛试题）

H,C

（第10题图）

11.⑴如图1,圆内接△ABC中，AB=BC=CA,OD,O七为。。的半径：OOLBC于点凡OE1AC

于点G.求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△4BC面积的一.

3

⑵如图2,若NOOE保持120°角度不变，求证：当NOOE绕着。点旋转时，由两条半径和AABC

的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的

3

图1图2

12.如图，正方形A8CO的顶点4，。和正方形JKLM的顶点K,L在一个以5为半径的。。上,

点J,M在线段上.若正方形A8CD的边长为6,求正方形JKLM的边长.

（上海市竞赛试题）

B级

1.如图，AB是。。的直径，。。是弦，过A,8两点作CO的垂线，垂足分别为E,F.若AB=10,

AE=3,BF=5,则EC二.

AC

E（7------，DF

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

2.如图，把正三角形A8C的外接圆对折，使点A落在的中点4上，若8c=5,则折痕在△ABC

内的部分OE长为.（宁波市中考试题）

3.如图，已知。。的半径为R,C,。是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°,的度

数为36。.动点尸在A8上，则CP+PO的最小值为.

（陕西省竞赛试题）

4.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）

后由八55^17

A.>/2B.----C.-D.-------

2416

5.如图，AB是半圆。的直径，C是半圆圆周上一点,M是AC的中点，于N,则有（

）

3V3

C.MN=-ACD.MN=—AC

53

（武汉市选拔赛试题）

6.已知，AB为。。的直径，。为AC的中点，于点E,且OE=3.求AC的长度.

7.如图，已知四边形A8CD内接于直径为3的00；对角线4c是直径，对角线AC和8。的交点

为P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形4BCO的周长.

（全国初中数学联赛试题）

8.如图，已知点A,B,C,。顺次在。。上，AI3—BD,BMLACTM.求证：AM-DC+CM.

（江苏省竞赛试题）

（第8题图）

9.如图，在直角坐体系中，点B,C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的

圆与48的延长线交于点O,CO=AO,如果AB=10,AO>8。,且4。,80是x的二次方程/+履+48=0

的两个根.

⑴求点D的坐标；

（2）若点P在直径AC上，且AP二』AC,判断点（-2,10）