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文档简介

第十章10.110.1.3A组·素养自测一、选择题1.下列不是古典概型的是(C)A.从10名同学中,选出3人参与数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B.同时掷两颗质地匀称的骰子,点数和大于7的概率C.抛掷一枚匀称硬币首次出现正面为止D.8个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率[解析]C不满意有限性.2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采纳随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以三个随机数为一组,代表三次投篮结果,经随机模拟产生了如下12组随机数:137960197925271815952683829436730257,据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(A)A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,12) D.eq\f(5,8)[解析]依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有:137,271,436共3个,所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P=eq\f(3,12)=eq\f(1,4).3.(2024·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[解析]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有21种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P=eq\f(21-7,21)=eq\f(2,3).4.(2024·威海高一期末)一次下乡送医活动中,某医院要派医生A1,A2,A3和护士B1,B2,B3分成3组到农村参与活动,每组1名医生和1名护士,则医生A1不和护士B1分到同一组的概率为(C)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)[解析]由题意,不同分组有:(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2)共6种,医生A1不和护士B1分到同一组有4种,则所求概率为eq\f(4,6)=eq\f(2,3).5.已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事务A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事务B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,则(CD)A.事务A与事务B的样本点数分别为12,8B.事务A,B间的关系为A⊆BC.事务A∪B发生的概率为eq\f(11,20)D.事务A∩B发生的概率为eq\f(2,5)[解析]解:由题用(a,b)表示甲罐、乙罐中取小球标号的状况,则全部的状况有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共20种,其中满意事务A的结果有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11种,其中满意事务B的结果有:(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共8种,故选项A错误;因为事务B的结果均在事务A中包含,故B⊆A,故选项B错误;因为A∪B=A,所以A∪B的结果数有11种,所以P(A∪B)=eq\f(11,20),故选项C正确;因为A∩B=B,所以A∩B的结果数有8种,故P(A∩B)=eq\f(8,20)=eq\f(2,5),故选项D正确.二、填空题6.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为eq\f(2,3).[解析]设数学书为A、B,语文书为C,则不同的排法共有(A,B,C),(A,C,B),(B,C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)共6种排列方法,其中2本数学书相邻的状况有4种状况,故所求概率为P=eq\f(4,6)=eq\f(2,3).7.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是eq\f(1,2).[解析]设3件正品为A,B,C,1件次品为D,从中不放回地任取2件,试验的样本空间Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6个.其中恰有1件是次品的样本点有:AD,BD,CD,共3个,故P=eq\f(3,6)=eq\f(1,2).8.小明同学的QQ密码是由0.1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数,由于长时间未登录QQ,小明遗忘了密码的最终一个数字,假如小明登录QQ时密码的最终一个数字随意选取,则恰好能登录的概率是eq\f(1,10).[解析]只考虑最终一位数字即可,从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最终一位数字有10种可能,选对只有一种可能,所以选对的概率是eq\f(1,10).三、解答题9.袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球,3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,构成有序数对(x,y),其中x为第一次取到的小球上的数字,y为其次次取到的小球上的数字.将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5,求下列事务的概率:(1)A=“第一次摸到红球”;(2)B=“其次次摸到红球”;(3)AB=“两次都摸到红球”.[解析](1)摸出球的状况如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种状况,其中事务A包含(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),有8种状况,故P(A)=eq\f(8,20)=eq\f(2,5).(2)事务B包含(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),有8种状况,所以P(B)=eq\f(8,20)=eq\f(2,5).(3)事务AB包含(1,2),(2,1),有2种状况,所以P(AB)=eq\f(2,20)=eq\f(1,10).10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.嘉奖规则如下:①若xy≤3,则嘉奖玩具一个;②若xy≥8,则嘉奖水杯一个;③其余状况嘉奖饮料一瓶.假设转盘质地匀称,四个区域划分匀称.小亮打算参与此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.[解析]用数对(x,y)表示儿童参与活动先后记录的数,则基本领件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本领件总数n=16.(1)记“xy≤3”为事务A,则事务A包含的基本领件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=eq\f(5,16),即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事务B,“3<xy<8”为事务C.则事务B包含的基本领件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)=eq\f(6,16)=eq\f(3,8).事务C包含的基本领件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=eq\f(5,16),因为eq\f(3,8)>eq\f(5,16),所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.B组·素养提升一、选择题1.有3个爱好小组,甲、乙两位同学各自参与其中一个小组,每位同学参与各个小组的可能性相同,则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)[解析]记三个爱好小组分别为1、2、3,甲参与1组记为“甲1”,则基本领件为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9个.记事务A为“甲、乙两位同学参与同一个爱好小组”,其中事务A有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3个,因此P(A)=eq\f(3,9)=eq\f(1,3).2.若a∈A且a-1∉A,a+1∉A,则称a为集合A的孤立元素.若集合M=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,2,3,4,5,6)),集合N为集合M的三元子集,则集合N中的元素都是孤立元素的概率为(C)A.eq\f(3,20) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,7)[解析]集合M={1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,4,5},{1,4,6},{1,5,6},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},共20个.满意集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5},{1,3,6},{1,4,6},{2,4,6},一共4种.由古典概率模型公式,可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P=eq\f(4,20)=eq\f(1,5).故选C.3.齐王有上等、中等、下等马各一匹,田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场竞赛,若有优势的马肯定获胜,则齐王的马获胜的概率为(C)A.eq\f(4,9) B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3) D.eq\f(7,9)[解析]设齐王的上等、中等、下等马分别为A、B、C,田忌的上等、中等、下等马分别为a、b、c,现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场竞赛,样本点有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a)(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),共9种,齐王的马获胜包含的样本点有(A,a),(A,b),(A,c),(B,b),(B,c),(C,c),共6种,所以齐王的马获胜的概率P=eq\f(6,9)=eq\f(2,3),故选C.二、填空题4.一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球,先后两次从袋中不放回的各取一球.则第一次取出的是白球,且其次次取出的是黑球的概率为eq\f(3,10).[解析]设三个黑球编号分别为A1,A2,A3,两个白球编号分别为B1,B2,先后两次从袋中不放回的各取一球.基本状况有:(A1A2),(A1A3),(A1B1),(A1B2),(A2A3),(A2B1),(A2B2),(A3B1),(A3B2),(B1B2),(A2A1),(A3A1),(B1A1),(B2A1),(A3A2),(B1A2),(B2A2),(B1A3),(B2A3),(B2B1),共20种;其中,第一次取出的是白球,且其次次取出的是黑球的状况有6种;故所求概率P=eq\f(6,20)=eq\f(3,10).5.第14届国际数学教化大会(ICME-14)于2024年7月12日至18日在上海举办,已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会,则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为eq\f(6,25).[解析]因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法,即(12,13,14),(13,14,15),(14,15,16),(15,16,17),(16,17,18),所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本领件数为25,其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有:张老师选(12,13,14),李老师选(15,16,17)或(16,17,18),张老师选(13,14,15),李老师选(16,17,18),张老师选(15,16,17),李老师选(12,13,14),张老师选(16,17,18),李老师选(12,13,14)或(13,14,15),即事务两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本领件,所以事务两位老师所选的日期恰好都不相同的概率P=eq\f(6,25).三、解答题6.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件.(1)若每次取后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)若每次取后放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.[解析](1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本点有6个,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.总的事务个数为6,而且可以认为这些样本点是等可能的.设事务A=“取出的两件中恰有一件次品”,所以A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},所以n(A)=4,从而P(A)=eq\f(nA,nΩ)=eq\f(4,6)=eq\f(2,3).(2)有放回地连续取出两件,其全部可能的结果为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b),共9个样本点组

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