新教材适用2024-2025学年高中数学第1章数列2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列素养作业北师大版选择性必修第二册

第一章§22.1第1课时A组·基础自测一、选择题1．假如2，a，b，c,10成等差数列，那么c－a＝(C)A．1 B．2C．4 D．8[解析]设等差数列的公差为d，则10－2＝4d，解得d＝2，所以c－a＝2d＝4，故选C．2．已知在等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(C)A．4－2n B．2n－4C．6－2n D．2n－6[解析]由等差数列的通项公式得an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.3．已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1,2a＋1，则此数列的通项公式为(C)A．an＝2n－5 B．an＝2n－3C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1[解析]∵a－1，a＋1,2a＋1是等差数列{an}的前三项，∴a＋1－(a－1)＝2a＋1－(a＋1)，∴a＝2，∴{an}的首项a1＝1，公差d＝2，∴通项公式an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.4．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于(B)A．1 B．3C．5 D．6[解析]设{an}的首项为a1，公差为d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＋a1＋10d＝24，,a1＋3d＝3，))解得d＝3.5．(多选)下列命题中正确的是(BCD)A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2肯定成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2肯定成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差数列[解析]对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错；对于B，取a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，B正确，对于C，因为a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确．对于D，取a＝b＝c≠0，则eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，D正确．二、填空题6．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则an＝_－2n＋3__.[解析]设公差为d，由题意，得a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.7．在数列{an}中，a1＝3，且对随意大于1的正整数n，点(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直线x－y－eq\r(3)＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝_3n2__.[解析]∵点(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直线x－y－eq\r(3)＝0上，∴eq\r(an)－eq\r(an－1)－eq\r(3)＝0，即eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)(n≥2)．则数列{eq\r(an)}是以eq\r(3)为首项，eq\r(3)为公差的等差数列，∴eq\r(an)＝eq\r(3)＋eq\r(3)(n－1)＝eq\r(3)n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为eq\f(67,66)升．[解析]设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答题9．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项．[解析](1)证明：因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝eq\f(1,3n－2).B组·实力提升一、选择题1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为(A)A．52 B．51C．50 D．49[解析]由已知{an}满意2an＋1－2an＝1，即an＋1－an＝eq\f(1,2)，又由a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为eq\f(1,2)的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×eq\f(1,2)＝52.2．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端起先的其次尺的质量是(B)A．eq\f(7,3)斤 B．eq\f(7,2)斤C．eq\f(5,2)斤 D．3斤[解析]依题意，金箠由粗到细各尺质量依次构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－eq\f(1,2)，所以a2＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).3．(多选)在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差数列，公差为d，则(ABD)A．a4＝eq\f(1,2) B．a3＝1C．d＝eq\f(1,4) D．d＝eq\f(1,6)[解析]设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的公差为d，则eq\f(1,a6＋1)－eq\f(1,a2＋1)＝4d，代入数据可得d＝eq\f(1,6).因此eq\f(1,a4＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋2d＝eq\f(2,3)，故a4＝eq\f(1,2)，eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2＋1)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，解得a3＝1.二、填空题4．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(n＋1,m＋1).[解析]设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；其次个数列共(n＋2)项，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1)，∴eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).5．已知数列{an}满意an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为_an＝2n－1__.[解析]由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．∴数列{an}是等差数列．又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.三、解答题6．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在数列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列，并求x95的值．[解析]因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).C组·创新拓展(多选)在数列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的推断正确的是(BCD)A．若{an}是等方差数列，则{an}肯定是等差数列B．若{an}是等方差数列，则{an}可能是等差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{an}是等方差数列，则{a2n}也是等方差数列[解析]an＝eq\r(n)，则aeq\o\al(2,n)＝n，{an}是等方差数列，但{an}不是等差数列，A错误；若an＝a，则aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝0，{an}是等方差数列，{an}也是等差数列，B正确；an＝(－1)n，则aeq\o\al(2,n)＝1，aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n