新教材适用2024-2025学年高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义素养作业新人教A版必修第一册

第一章1.1第1课时A组·基础自测一、选择题1．下列各组对象能组成一个集合的是(C)①某中学高一年级全部聪慧的学生；②周长为10cm的三角形；③全部不小于3的正整数；④eq\r(3)的全部近似值．A．①② B．③④C．②③ D．①③[解析]①④不符合集合中元素的确定性．故选C．2．已知集合S中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC肯定不是(D)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形[解析]因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不行能是等腰三角形，故选D.3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．4．由实数x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(x2)所组成的集合，其含有元素的个数最多为(A)A．2 B．3C．4 D．5[解析]∵eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(x2)＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．5．假如集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(B)A．2 B．2或4C．4 D．0[解析]∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，∴6－a∉A，故a＝2或4.二、填空题6．设A表示“中国全部省会城市”组成的集合，则深圳_∉_A，广州_∈_A(填“∈”或“∉”)．[解析]深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．7．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)_∈_P(填“∈”或“∉”)．[解析]直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满意关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.8．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是_k≠±1_.[解析]由集合元素的互异性可知，k2≠1，所以k≠±1.三、解答题9．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[解析]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．[解析]因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则不满意集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上知，x＝1，y＝0.B组·实力提升一、选择题1．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(B)A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[解析]因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满意互异性，对m的全部取值进行一一检验可得m＝3，故选B.2．(多选题)集合A有且只有2个元素构成，且满意“a∈A且4－a∈A，a∈N*且4－a∈N*”，则实数a的值可以是(AC)A．1 B．2C．3 D．4[解析]因为a∈A且4－a∈A，a∈N*且4－a∈N*，若a＝1，则4－a＝3，此时A满意要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A含1个元素不满意要求．若a＝3，则4－a＝1，此时A满意要求；若a＝4，则4－a＝0∉N*，此时A不满意要求，故选AC．3．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(xy,|xy|)可能的取值组成的集合为A，则下列推断错误的是(ACD)A．3∈A，－1∉A B．3∈A，－1∈AC．3∉A，－1∈A D．3∉A，－1∉A[解析]当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1.所以3∈A，－1∈A．故选ACD.二、填空题4．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B是小于eq\r(11)的全部实数的集合，则2eq\r(3)_∉_B,1＋eq\r(2)_∈_B；(2)设集合C是满意方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3_∉_C,5_∈_C；(3)设集合D是满意方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1_∉_D，(－1,1)_∈_D.[解析](1)∵2eq\r(3)＝eq\r(12)>eq\r(11)，∴2eq\r(3)∉B；∵(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2)<3＋2×4＝11，∴1＋eq\r(2)<eq\r(11)，∴1＋eq\r(2)∈B.(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C．(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，但－1是数，∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.5．若eq\f(1－a,1＋a)∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为－1±eq\r(2)_.[解析]由题意，得eq\f(1－a,1＋a)＝a，∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±eq\r(2).三、解答题6．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的全部元素；若不能，请说明理由．[解析](1)因为－2是集合A中的元素，所以－2＝a－3或－2＝2a－1.若－2＝a－3，则a＝1，此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；若－2＝2a－1，则a＝－eq\f(1,2)，此时集合A中含有两个元素－eq\f(7,2)，－2，符合要求．综上所述，满意题意的实数a的值为1或－eq\f(1,2).(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，明显不满意集合中元素的互异性；当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5明显不满意集合中元素的互异性．综上，－5不能为集合A中的元素．C组·创新拓展设集合S中的元素x＝m＋neq\r(2)，m，n∈Z.(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？(2)对S中的随意两个元素x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S?[解析](1)a是集合S中的元素，因为a＝a＋0×eq\r(2)∈S.(2)不妨设x1＝m＋neq\r(2)，x2＝p＋qeq\r(2)，m，n，p，q∈Z.则x1＋x2＝(m＋neq\r(2))＋(p＋qeq\r(2))＝(m＋p)＋(n＋q)eq