新教材适用2024-2025学年高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数学案新人教A版选择性必修第二册

5．2.2导数的四则运算法则5．2.3简洁复合函数的导数课程标准1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简洁函数的导数．2．能求简洁的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．学法解读1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．(数学运算)2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(逻辑推理、数学运算)3．利用导数的运算法则解决有关问题．(数学抽象、数学运算)4．了解复合函数的概念．(数学抽象)5．理解复合函数的求导法则，并能求简洁的复合函数的导数．(逻辑推理、数学运算)6．能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题．(数学抽象、数学运算)学问点1导数的四则运算法则符号表达文字叙述[f(x)±g(x)]′＝_f_′(x)±g′(x)__两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)[f(x)g(x)]′＝_f_′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上其次个函数，加上第一个函数乘上其次个函数的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子上函数的导数乘分母上的函数减去分子上的函数乘分母上函数的导数，再除以分母上函数的平方练一练：(多选题)下列求导运算正确的是(ACD)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq\f(1－x,ex)B．(x2cosx)′＝－2xsinxC．(3x)′＝3xln3D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)＋\f(3,x3)))′＝－eq\f(4,x3)－eq\f(9,x4)[解析]对于选项A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq\f(x′ex－(ex)′x,(ex)2)＝eq\f(1－x,ex)，∴A正确；对于选项B，(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，∴B错误；对于选项C，(3x)′＝3xln3，∴C正确；对于选项D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)＋\f(3,x3)))′＝－4x－3－9x－4＝－eq\f(4,x3)－eq\f(9,x4)，∴D正确．故选ACD.学问点2复合函数的导数(1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，假如通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)求导法则：对于复合函数y＝f(g(x))，＝，即y对x的导数等于_y对u__的导数与_u对x__的导数的乘积．想一想：复合函数的求导问题，关键在于分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，选好中间变量．求解时要留意什么？提示：(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时留意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．练一练：引入中间变量，并指出下列函数是由怎样的函数复合而成的．(1)y＝(3x＋1)10；(2)y＝esinx；(3)y＝ln(2x－1)．[解析](1)引入中间变量u＝3x＋1，则函数是由y＝u10与u＝3x＋1复合而成的．(2)引入中间变量u＝sinx，则函数是y＝eu与u＝sinx复合而成的．(3)引入中间变量u＝2x－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))，则函数是由y＝lnu与u＝2x－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))复合而成的．题型探究题型一利用导数的运算法则求函数的导数典例1(1)函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的导数f′(x)＝(A)A．1－eq\f(1,x2) B．1－eq\f(1,x)C．1＋eq\f(1,x2) D．1＋eq\f(1,x)(2)函数y＝x2sinx的导数为(D)A．y′＝2x＋cosx B．y′＝x2cosxC．y′＝2xcosx D．y′＝2xsinx＋x2cosx(3)函数y＝eq\f(cosx,x)的导数是(C)A．y′＝－eq\f(sinx,x2) B．y′＝－sinxC．y′＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2) D．y′＝－eq\f(xcosx＋cosx,x2)[解析](1)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2).(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(x(cosx)′－cosx·x′,x2)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).[规律方法]应用导数的四则运算法则的思路方法及留意事项(1)熟记导数的四则运算法则，尤其是积、商的求导法则．(2)应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的状况下，应尽量少用甚至不用积或商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形等学问对函数进行化简，然后再求导，这样可以削减运算量，提高运算速度，避开出错．(3)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．对点训练❶(1)已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值为(D)A.eq\f(π,2) B．1C．－1 D．0(2)(2024·福建南安侨光中学高三月考)已知f(x)＝e2023＋x·lnx，则f′(1)＝(A)A．1 B．e2023＋1C．e2023－1 D．e2023(3)求下列函数的导数：①y＝x3－x2－x＋3；②y＝x3ex.[解析](1)因为f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，故选D.(2)∵f(x)＝e2023＋x·lnx，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝ln1＋1＝1.(3)①y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1.②y′＝3x2ex＋x3ex.题型二复合函数的导数典例2求下列函数的导数：(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(5)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).[解析](1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)设y＝eu，u＝x－1，则＝eu·1＝ex－1.(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,(2x＋1)ln2).(4)设y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，则＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).(5)设y＝，u＝1－2x，则·(1－2x)′＝×(－2)＝.[规律方法]求复合函数导数的步骤对点训练❷求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x2))；(2)y＝esinx；(3)y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).[解析](1)y＝，设，u＝1－2x2，则＝·(－4x)＝.(2)设u＝sinx，y＝eu，y′＝eu，u′＝cosx，∴y′＝esinx·cosx.(3)由题意得y＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))),2)，设t＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))，u＝4x＋eq\f(2π,3)，则t＝cosu，则＝－4sinu＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).故y′x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).题型三导数四则运算法则的应用典例3(1)曲线y＝xlnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(B)A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．2(2)设点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的随意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是(D)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π))[解析](1)设曲线y＝xlnx在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．∵y′＝lnx＋1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝eq\f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，即曲线y＝xlnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是eq\f(\r(2),2).(2)由y′＝3x2－eq\r(3)，易知y′≥－eq\r(3)，即tanα≥－eq\r(3).∴0≤α<eq\f(π,2)或eq\f(2,3)π≤α<π.[规律方法]导数公式和导数的运算法则是导数应用的基础．高考中常常涉及导数计算问题，一般以导数的运算法则、基本初等函数的导数公式表为工具，与其他学问联系在一起考查，既可以以选择题、填空题的形式单独考查导数的计算，也常以解答题的某一问的形式，结合其他学问进行考查．对点训练❸日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时改变率是(D)A．－40元/t B．－10元/tC．10元/t D．40元/t[解析]净化费用的瞬时改变率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)，所以c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4000,100－x)))′＝eq\f(4000,(100－x)2).又因为c′(90)＝eq\f(4000,(100－90)2)＝40，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时改变率是40元/t.题型四复合函数的导数的应用典例4(1)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满意关系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并说明它的实际意义．(2)求曲线y＝eq\f(1,\r(x2－3x))在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))处的切线方程．[解析](1)函数y＝s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))是由函数f(z)＝3·sinz和函数z＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)复合而成的，其中z是中间变量．由导数公式表可得f′(z)＝3cosz，φ′(t)＝eq\f(π,12).再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(z)φ′(t)＝3cosz·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6))).将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．它表示当t＝18时，潮水的高度上升速度为eq\f(π,8)m/h.∴曲线y＝eq\f(1,\r(x2－3x))在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))处的切线斜率为k＝y′|x＝4＝·(2×4－3)＝－eq\f(5,16).∴曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))处的切线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,16)(x－4)，即5x＋16y－28＝0.[规律方法]本例(2)不要将函数y＝eq\f(1,\r(x2－3x))看作是由y＝eq\f(1,u)，u＝eq\r(v)，v＝x2－3x三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．对点训练❹(1)若可导函数f(x)满意f′(3)＝9，则f(3x2)在x＝1处的导数值为_54__.(2)求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线相互垂直．[解析](1)∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)，∴f(3x2)在x＝1处的导数值为6×1×f′(3)＝54.(2)证明：联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为(3,2)．C1在第一象限的部分对应的函数解析式为y＝eq\r(x2－5)，于是有y′＝[(x2－5)eq\f(1,2)]′＝eq\f((x2－5)′,2\r(x2－5))＝eq\f(x,\r(x2－5))，∴k1＝y′|x＝3＝eq\f(3,2).C2在第一象限的部分对应的函数解析式为y＝eq\r(8－\f(4,9)x2).∴y′＝eq\f(－\f(8,9)x,2\r(8－\f(4,9)x2))＝－eq\f(2x,3\r(18－x2)).∴k2＝y′|x＝3＝－eq\f(2,3).∵k1·k2＝－1，∴两切线相互垂直．易错警示对复合函数的求导不完全而致误在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层起先，由外及里，一层层地求导，最终要把中间变量变成自变量的函数．典例5函数y＝xe1－2x的导数为y′＝_(1－2x)e1－2x__.[错解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.[点评]错解中对e1－2x求导数，没有根据复合函数的求导法则