新教材适用2024-2025学年高中数学第7章随机变量及其分布7.5正态分布学案新人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布学习目标1．通过误差模型，了解听从正态分布的随机变量．2．通过详细实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．3．了解正态分布的均值、方差及其含义．4．会依据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．核心素养1．通过学习正态分布，培育数学抽象和直观想象素养．2．借助“3σ”原则解题，提升数学运算素养．学问点1正态分布(1)正态密度函数，刻画随机误差的函数f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f((x－μ)2,2σ2)，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．对随意的x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的上方，x轴和曲线之间的区域为面积_1__，我们称f(x)为正态密度函数．(2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．(3)正态分布：①定义：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X听从正态分布；②记作：X～N(μ，σ2)；③特例：当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X听从_标准正态__分布．想一想：若X～N(μ，σ2)，怎样表示上图中阴影A，B的面积？提示：阴影A的面积P(X≤x)；阴影B的面积P(a≤X≤b)．练一练：(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(BCD)A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交B．曲线关于直线x＝μ对称C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形态D．曲线与x轴之间的面积为1[解析]正态密度曲线与x轴恒久不相交，A错，其余均正确．学问点2正态曲线的特点(1)曲线是单峰的，它关于直线_x＝μ__对称．(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近于_x轴__.想一想：μ，σ取值不同对正态曲线有何影响？提示：当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的改变而沿x轴平移；当μ取定值时，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦小”，表示随机变量x的分布比较集中，当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量x分布比较分散．练一练：正态曲线函数f(x)＝eq\f(1,3\r(2π))e－eq\f((x－1)2,18)，x∈R的图象是图中的(D)[解析]因为正态曲线函数f(x)关于直线x＝1对称，故选D.学问点3X～N(μ，σ2)在区间[μ－kσ，μ＋kσ](k∈N*)上的概率(1)概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_0.997_3__.(2)3σ原则：通常认为听从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值．练一练：关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(D)A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事务B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事务C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事务D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事务[解析]因为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，所以P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.9973＝0.0027.所以随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事务．题|型|探|究题型一正态分布和正态曲线的性质典例1(1)已知三个正态密度函数φi(x)＝eq\f(1,σi\r(2π))e－eq\f((x－μi)2,2σ2i)(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3C．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3(2)如图是一条正态曲线，试依据该图象写出相应正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．[解析](2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是正态密度函数解析式是f(x)＝eq\f(1,2\r(π))e－eq\f((x－20)2,4)，x∈R.总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.[规律方法]由正态曲线确定均值与方差的方法正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形态与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形态与位置．①对称轴是直线x＝μ，②σ的值由x＝μ时的函数值计算，即用f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))求得σ的值．对点训练❶(1)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态曲线如图所示．下列结论中正确的是(C)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对随意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对随意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)(2)(多选)已知X～N(μ，σ2)，f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f((x－μ)2,2σ2)，x∈R，则(BCD)A．曲线y＝f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1B．函数f(x)的图象关于直线x＝μ对称C．P(X>μ－σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)D．函数F(x)＝P(X>x)在R上单调递减[解析](1)由正态曲线关于直线x＝μ对称，且σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，知μ1<μ2，σ1<σ2，故A、B均不正确；由P(X≤a)为x轴、直线x＝a及x≤a时的曲线所围成的面积知C正确，D错误．故选C.(2)曲线y＝f(x)与x轴围成的几何图形的面积等于1，所以A不正确；f(x＋μ)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x2,2σ2)，f(μ－x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x2,2σ2)，所以f(x＋μ)＝f(μ－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝μ对称，所以选项B正确；因为P(μ－σ<X<μ)＝P(μ<X<μ＋σ)，所以P(X>μ－σ)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)，所以选项C正确；由正态曲线可知，函数F(x)＝P(X>x)随x的增大而减小，是减函数，所以选项D正确．题型二利用正态分布的对称性求概率典例2设X～N(10,1)．(1)求证：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．[解析](1)证明：∵X～N(10,1)，∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．(2)∵P(X≤2)＋P(2<X≤10)＋P(10<X<18)＋P(X≥18)＝1，μ＝10，∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2<X≤10)＝P(10<X<18)，∴2a＋2P(10<X<18)＝1，即P(10<X<18)＝eq\f(1－2a,2)＝eq\f(1,2)－a.[规律方法]正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)留意概率值的求解转化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，则P(X<b)＝eq\f(1－P(μ－b<X<μ＋b),2).特殊提示：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．对点训练❷(1)已知随机变量ξ听从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝(C)A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977(2)设随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于(B)A．a B．1－aC．2a D．1－2a[解析](1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.(2)对称轴x＝2，∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a.题型三实际问题中的正态分布典例3(1)数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数X近似听从正态分布，且均值为110，标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率；(2)某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？[分析](3)推断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．[解析](1)由题意可知，分数X～N(110,202)，μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，因为P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以P(X≤μ－σ)＝0.1585，所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.1585＝0.8415.(2)由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4，0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.0027.而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不行能发生的小概率事务，依据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．[规律方法]解答正态分布的实际应用题的关注点(1)方法：转化法，把一般的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．(2)理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线与x轴之间的面积为1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．对点训练❸(1)已知某批零件的长度(单位：毫米)听从正态分布N(100,32)，从中随机抽取一件，其长度落在区间(103,106)内的概率为(B)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%(2)现有1000名学生参与数学测试，测试成果X(满分150分)听从正态分布N(100，σ2)，已知120分及以上的人数为160人，那么通过以上信息推想这次数学成果140分以上者人数约为(B)A．20 B．25C．30 D．40[解析](1)P(103<X<106)＝P(μ＋σ<ξ<μ＋2σ)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%.(2)因为成果X(满分150分)听从正态分布N(100，σ2)，又因为120分及以上的人数为160人，所以80分及以下的人数也为160人，所以P(80<X<120)＝eq\f(1000－160－160,1000)＝0.68.由此可知，σ＝20，即X～N(100,202)，所以P(60<X<140)≈0.95，故140分及以上的人数约为eq\f(1000－1000×0.95,2)＝25(人)．1．正态曲线函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f((x－μ)2,2σ2)，x∈R，其中μ>0的图象是下图中的(D)[解析]正态曲线函数的图象关于直线x＝μ>0对称，故选D.2．若X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是(B)A．95.45% B．99.73%C．4.55% D．0.27%[解析]由X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，知μ＝－2，σ＝eq\f(1,2)，∴P(－3.5<X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5<X≤－2＋3×0.5)＝0.9973.3．某物理量的测量结果听从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(D)A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D