新教材适用2025版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第1讲概率核心考点1随机事件的关系古典概型教师用书

第1讲概率高频考点高考预料随机事务、古典概型概率模型多考查独立事务、条件概率、n重伯努利试验、互斥事务和对立事务、而全概率公式、二项分布与正态分布则是新高考的热点，多以选择填空的形式出现.条件概率与全概率n重伯努利试验与二项分布正态分布1.(2024·全国甲卷文科)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本领件总数n＝Ceq\o\al(2,4)＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本领件个数m＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故选D.2.(2024·全国乙卷文科)某学校举办作文竞赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题打算作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(A)A.eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)【解析】某学校举办作文竞赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题打算作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本领件总数n＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本领件个数m＝Aeq\o\al(2,6)＝30，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).故选A.3.(2024·全国甲卷理科)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(A)A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1【解析】依据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事务A，报乒乓球俱乐部为事务B，则P(A)＝eq\f(50,70)＝eq\f(5,7)，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的有50＋60－70＝40人，则P(AB)＝eq\f(40,70)＝eq\f(4,7)，则P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(4,7),\f(5,7))＝0.8.故选A.4.(2024·全国新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有Ceq\o\al(2,7)＝21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，故所求概率P＝eq\f(21－7,21)＝eq\f(2,3).故选D.5.(2024·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(C)A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)【解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，15种状况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种状况，故概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故选C.6.(多选)(2024·全国新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号须要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)(ABD)A．采纳单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B．采纳三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C．采纳三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采纳三次传输方案译码为0的概率大于采纳单次传输方案译码为0的概率【解析】采纳单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为：(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；采纳三次传输方案，若发送1，依次收到1,0,1的概率为：(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；采纳三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：Ceq\o\al(2,3)β(1－β)2＋(1－β)3，故C错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P1＝Ceq\o\al(2,3)α(1－α)2＋(1－α)3，单次传输发送0译码为0的概率P2＝1－α，P2－P1＝(1－α)－Ceq\o\al(2,3)α(1－α)2－(1－α)3＝(1－α)[1－Ceq\o\al(2,3)α(1－α)－(1－α)2]＝(1－α)(2α2－α)＝(1－α)·α(2α－1)，当0＜α＜0.5时，P2－P1＜0，故P2＜P1，故D正确．故选ABD.7.(2024·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为eq\f(6,35).【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12个，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).8.(2024·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为eq\f(3,10).【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为Ceq\o\al(3,5)＝10，甲、乙都入选的方法数为Ceq\o\al(1,3)＝3，所以甲、乙都入选的概率P＝eq\f(3,10).9.(2024·全国新高考Ⅱ卷)已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝0.14eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(7,50))).【解析】因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.核心考点1随机事务的关系、古典概型核心学问·精归纳1.概率的性质性质1：对随意的事务A，都有P(A)≥0；性质2：必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：假如事务A与事务B互斥，那么P(A∪B)＝_P(A)＋P(B)__；性质4：假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_1－P(B)__；性质5：假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于随意事务A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事务，有P(A∪B)＝_P(A)＋P(B)－P(A∩B)__.2.古典概型一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事务A包含其中的k个样本点，则定义事务A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事务A和样本空间Ω包含的样本点个数．多维题组·明技法角度1：随机事务的关系1.(2024·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事务是(D)A．至少有一本政治与都是数学B．至少有一本政治与都是政治C．至少有一本政治与至少有一本数学D．恰有1本政治与恰有2本政治【解析】从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，至少有一本政治和都是数学是对立事务，故A错误；至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事务，故B错误；至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事务，故C错误；恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事务，故D正确．故选D.2.(2024·徐汇区校级三模)某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参与围棋竞赛，事务“至少有1名男生”与事务“至少有1名女生”(D)A．是对立事务B．都是不行能事务C．是互斥事务但不是对立事务D．不是互斥事务【解析】事务“至少有1名男生”与事务“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事务既不是对立事务也不是互斥事务．故选D.角度2：古典概型的计算3.(2024·青岛模拟)将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为(C)A.eq\f(4,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)【解析】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,2)＝15种，其中2个黄球不相邻的有Ceq\o\al(2,5)＝10种，所以所求事务的概率为eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).故选C.4.(2024·射洪市校级模拟)形如413或314的数称为“波浪数”，即十位数字比两边的数字都小．已知由1,2,3,4构成的无重复数字的三位数共24个，则从中任取一数恰为“波浪数”的概率为(B)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(5,8)【解析】若三位数中间的数字为1，则有Aeq\o\al(2,3)＝6个，若三位数中间的数字为2，则有Aeq\o\al(2,2)＝2个，即“波浪数”共有6＋2＝8个；所以从中任取一数恰为“波浪数”的概率P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).故选B.方法技巧·精提炼古典概型中样本点个数的探求方法1．列举法：适合的样本点个数较少且易一一列举的问题；2．树状图法：适用于较为困难的问题中样本点个数的探究，尤其是有序问题；3．排列、组合法：在求解一些较为困难的问题时，可利用排列、组合学问求出样本点个数．加固训练·促提高1.(2024·宜宾模拟)抛掷一枚质地匀称的骰子一次，事务1表示“骰子向上的点数为奇数”，事务2表示“骰子向上的点数为偶数”，事务3表示“骰子向上的点数大于3”，事务4表示“骰子向上的点数小于3”则(B)A．事务1与事务3互斥B．事务1与事务2互为对立事务C．事务2与事务3互斥D．事务3与事务4互为对立事务【解析】由题意可得事务1表示{1,3,5}，事务2表示{2,4,6}，事务3表示{4,5,6}，事务4表示{1,2}，所以事务1与事务2为对立事务，事务1与事务3不互斥，事务2与事务3不互斥，事务3与事务4互斥不对立，故选项A，C，D错误，选项B正确．故选B.2.(2024·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徴、羽．假如从这五个音阶中任取两