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文档简介

2025届吉林省白山市第七中学高三第六次模拟考试数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}满足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-12.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的焦距为8,一条渐近线方程为,则C为()A. B.C. D.3.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.4.如图所示,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A. B. C. D.5.已知复数满足,则()A. B. C. D.6.已知函数,若时,恒成立,则实数的值为()A. B. C. D.7.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.508.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.9.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.10.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对;再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数估计的值,那么可以估计的值约为()A. B. C. D.11.已知集合,集合,则()A. B. C. D.12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其方程为.给出下列四个结论:①曲线有四条对称轴;②曲线上的点到原点的最大距离为;③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为;④四叶草面积小于.其中,所有正确结论的序号是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.14.某市高三理科学生有名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布,已知,若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析,则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.15.若,则__________.16.在中,内角所对的边分别是.若,,则__,面积的最大值为___.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一:每满100元减20元;方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款7折8折9折原价(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?18.(12分)已知首项为2的数列满足.(1)证明:数列是等差数列.(2)令,求数列的前项和.19.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.20.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:月份56789101112研发费用(百万元)2361021131518产品销量(万台)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根据数据可知与之间存在线性相关关系,求出与的线性回归方程(系数精确到0.01);(Ⅱ)该公司制定了如下奖励制度:以(单位:万台)表示日销售,当时,不设奖;当时,每位员工每日奖励200元;当时,每位员工每日奖励300元;当时,每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售(万台)服从正态分布(其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一),请你估计每位员工该月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:,,,,参考公式:相关系数,其回归直线中的,若随机变量服从正态分布,则,.21.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程;(2)已知点、的极坐标分别为和,直线与曲线相交于,两点,射线与曲线相交于点,射线与曲线相交于点,求的值.22.(10分)的内角的对边分别为,且.(1)求;(2)若,点为边的中点,且,求的面积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析:因为an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考点:数列的通项公式.2、A【解析】

由题意求得c与的值,结合隐含条件列式求得a2,b2,则答案可求.【详解】由题意,2c=8,则c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴双曲线C的方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,属于基础题.3、C【解析】

将函数解析式化简,并求得,根据当时可得的值域;由函数在上单调递减可得的值域,结合存在性成立问题满足的集合关系,即可求得的取值范围.【详解】依题意,则,当时,,故函数在上单调递增,当时,;而函数在上单调递减,故,则只需,故,解得,故实数的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用,恒成立与存在性成立问题的综合应用,属于中档题.4、B【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥,且是有三条棱互相垂直的三棱锥,根据几何体的各面面积可得最大面的面积.【详解】解:分析题意可知,如下图所示,该几何体为一个正方体中的三棱锥,最大面的表面边长为的等边三角形,故其面积为,故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题.5、A【解析】

由复数的运算法则计算.【详解】因为,所以故选:A.【点睛】本题考查复数的运算.属于简单题.6、D【解析】

通过分析函数与的图象,得到两函数必须有相同的零点,解方程组即得解.【详解】如图所示,函数与的图象,因为时,恒成立,于是两函数必须有相同的零点,所以,解得.故选:D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7、C【解析】

先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.8、D【解析】

由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.9、D【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.10、D【解析】

由试验结果知对0~1之间的均匀随机数,满足,面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对,满足条件的面积,由几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,即可估计的值.【详解】解:根据题意知,名同学取对都小于的正实数对,即,对应区域为边长为的正方形,其面积为,若两个正实数能与构成钝角三角形三边,则有,其面积;则有,解得故选:.【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形,可以直接解出可行域的面积;求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.11、C【解析】

求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【详解】解:∵,,∴,故选:C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.12、C【解析】

①利用之间的代换判断出对称轴的条数;②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值;③将面积转化为的关系式,然后根据基本不等式求解出最大值;④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系,从而判断出面积是否小于.【详解】①:当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;综上可知:有四条对称轴,故正确;②:因为,所以,所以,所以,取等号时,所以最大距离为,故错误;③:设任意一点,所以围成的矩形面积为,因为,所以,所以,取等号时,所以围成矩形面积的最大值为,故正确;④:由②可知,所以四叶草包含在圆的内部,因为圆的面积为:,所以四叶草的面积小于,故正确.故选:C.【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用,其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用,难度较难.分析方程所表示曲线的对称性,可通过替换方程中去分析证明.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.14、【解析】

由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率,乘以可得.【详解】解:,所以应从分以上的试卷中抽取份.故答案为:.【点睛】本题考查正态分布曲线,属于基础题.15、【解析】

因为,由二倍角公式得到,故得到.故答案为.16、1【解析】

由正弦定理,结合,,可求出;由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为,所以由正弦定理可得,所以;所以,当,即时,三角形面积最大.故答案为(1).1(2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题,熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解,属于基础题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)选择方案二更为划算【解析】

(1)计算顾客获得7折优惠的概率,获得8折优惠的概率,相加得到答案.(2)选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,计算概率得到数学期望,比较大小得到答案.【详解】(1)该顾客获得7折优惠的概率,该顾客获得8折优惠的概率,故该顾客获得7折或8折优惠的概率.(2)若选择方案一,则付款金额为.若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,,则.因为,所以选择方案二更为划算.【点睛】本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.18、(1)见解析;(2)【解析】

(1)由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论;(2)由(1)可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可.【详解】(1)证明:因为,所以,所以,从而,因为,所以,故数列是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知,则,因为,所以,则.【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.19、(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2)【解析】

(1)消去参数,可得曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可求解.(2)解法1:设直线的倾斜角为,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,求得,再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:设直线的极坐标方程为,分别代入曲线,的极坐标方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数,可得曲线的直角坐标方程为,即,则曲线的极坐标方程为,即,又因为曲线的极坐标方程为,即,根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1:设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数,),把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,,,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.解法2:设直线的极坐标方程为),代入曲线的极坐标方程,得,,把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:,,即,,曲线的参,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程点互化,以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.20、(Ⅰ)(Ⅱ)7839.3元【解析】

(Ⅰ)由题意计算x、y的平均值,进而由公式求出回归系数b和a,即可写出回归直线

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