内蒙古阿拉善2025届高考考前模拟数学试题含解析

内蒙古阿拉善2025届高考考前模拟数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，若复数满足，则（）A． B． C． D．2．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A． B．4 C． D．23．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5．已知集合，则()A． B．C． D．6．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（）．A．1 B．1 C．3 D．48．记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（）A． B． C． D．9．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．10．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A．1 B． C． D．11．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）A． B． C． D．12．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）A． B． C．8 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．14．在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则_____．15．在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点，的面积为3，则的值是______.16．若在上单调递减，则的取值范围是_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.20．（12分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21．（12分）在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标，直线的参数方程为（为参数），与交于，两点．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设点；若、、成等比数列，求的值22．（10分）已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.详解：由题设有，故，故选A.点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.2、D【解析】

由得，又，两式相除即可解出．【详解】解：由得，又，∴，∴，或，又正项等比数列得，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．3、D【解析】

先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由，，可得或，又所以.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.4、D【解析】双曲线的渐近线方程是，所以，即，，即，，故选D.5、B【解析】

先由得或，再计算即可.【详解】由得或，，,又，.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.6、D【解析】

设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7、C【解析】

由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若为的外心，则，平面,可得,即，①正确;若为等边三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②错误;若，设与平面所成角为可得，设到平面的距离为由可得即有，当且仅当取等号.可得的最大值为，即的范围为，③正确；取中点，的中点，连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上，而，可得④正确；所以正确的是：①③④故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.8、C【解析】

由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.【详解】因为，，所以解得，所以，所以，，，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.9、A【解析】

根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，若有且仅有3个零点，则等价为有且仅有3个根，即与有三个不同的交点，作出函数和的图象如图，当a=1时，与有无数多个交点，当直线经过点时，即，时，与有两个交点，当直线经过点时，即时，与有三个交点，要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，即，故选：A．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.10、D【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．11、B【解析】

先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【详解】由，所以其共轭复数.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.12、C【解析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，则，，设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：，则当且仅当时，取等号.故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【详解】由题，得，又复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.14、【解析】

以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】解：连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：设得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,．故答案为：．【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.15、【解析】

对求导，再根据点的坐标可得切线方程，令，可得点横坐标，由的面积为3，求解即得.【详解】由题，，切线斜率，则切线方程为，令，解得，又的面积为3，，解得.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线，难度不大.16、【解析】

由题意可得导数在恒成立，解出即可．【详解】解：由题意，，当时，显然，符合题意；当时，在恒成立，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．【详解】解：（1）或或解得或或无解综上不等式的解集为．（2）时，，即所以只需在时恒成立即可令，由解析式得在上是增函数，∴当时，即【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．18、（1）见解析；（2）【解析】

(1)取的中点，结合三角形中位线和长度关系，为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论；(2)以，，为，，轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；【详解】（1）取的中点，连结，因为为中点，，，所以，，∴为平行四边形，所以，又因为，所以；（2）由题及（1）易知，，两两垂直，所以以，，为，，轴建立空间直角坐标系,则，，，，，，易知面的法向量为设面的法向量为则可得所以,如图可知二面角为锐角，所以余弦值为【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.19、（1）（2）.【解析】

（1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得.【详解】（1）由题，向量，，则.（2），.，，整理得，化简得，即，，，，即.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.20、（1）答案见解析．（2）【解析】

（1）根据题意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以为原点建立直角坐标系，求出面的法向量为，的法向量为，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）由由因为是正四棱锥，故于是，由余弦定理，在中，设再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以为原点建立直角坐标系，如图：则设面的法向量为，的法向量为则，取于是，二面角的余弦值为：【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.21、(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；(2)【解析】

(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)把的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得，，可得到，根据因为，，成等比数列，列出方程，即可求解．【详解】(1)由题意，曲线的极坐标方程可化为，又由，可得曲线的直角坐标方程为，由直线的参数方程为（为参数），消去参数，得，即直线的普通方程为；(2)把的参数方程代入抛物线方程中，得，由，设方程的两根分别为，，则，，可得，．所以，，．因为，，成等比数列，所以，即，则，解得解得或（舍），所以实数.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参