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文档简介
2025届河南省开封市重点中学高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若(),则()A.30 B. C. D.622.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面,已知这三人都不会违约且无两人同时到达,则甲第一个到、丙第三个到的概率是()A. B. C. D.5.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()A. B.C. D.6.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用,化简,得.设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为()A. B. C. D.7.已知数列的前项和为,且,,,则的通项公式()A. B. C. D.8.函数的定义域为()A. B. C. D.9.函数的部分图象大致为()A. B.C. D.10.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.11.已知为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,的充分条件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.12.在平行四边形中,若则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(AB14.已知函数,若关于的方程在定义域上有四个不同的解,则实数的取值范围是_______.15.动点到直线的距离和他到点距离相等,直线过且交点的轨迹于两点,则以为直径的圆必过_________.16.已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.18.(12分)已知三点在抛物线上.(Ⅰ)当点的坐标为时,若直线过点,求此时直线与直线的斜率之积;(Ⅱ)当,且时,求面积的最小值.19.(12分)已知函数.(1)若关于的不等式的整数解有且仅有一个值,当时,求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求实数的取值范围.20.(12分)的内角,,的对边分别为,,,其面积记为,满足.(1)求;(2)若,求的值.21.(12分)已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形,且面面,分别为线段的中点.为线段上的点,且.(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如图,平面四边形中,,是上的一点,是的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据,分别令,结合等比数列的通项公式,得到关于首项和公比的方程组,解方程组求出首项和公式,最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为,由题意可知中:.由,分别令,可得、,由等比数列的通项公式可得:,因此.故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查了数学运算能力.2、C【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分条件,故选C.【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.3、B【解析】
化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.4、D【解析】
先判断是一个古典概型,列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数,再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数,利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙,共1种,所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选:D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.5、C【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体,三点重合,记作,取中点,连接,即为与直线所成的角,表示出三角形的三条边长,用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠,可得原正四面体如下图所示,其中三点重合,记作:则为中点,取中点,连接,设正四面体的棱长均为,由中位线定理可得且,所以即为与直线所成的角,,由余弦定理可得,所以直线与直线所成角的余弦值为,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,将展开图折叠成空间几何体,余弦定理解三角形的应用,属于中档题.6、A【解析】分析:设三角形的直角边分别为1,,利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.解析:设三角形的直角边分别为1,,则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为.图钉落在黄色图形内的概率为.落在黄色图形内的图钉数大约为.故选:A.点睛:应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型,将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形,并加以度量.(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在数轴上即可;(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.7、C【解析】
利用证得数列为常数列,并由此求得的通项公式.【详解】由,得,可得().相减得,则(),又由,,得,所以,所以为常数列,所以,故.故选:C【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力,应用意识.8、C【解析】
函数的定义域应满足故选C.9、B【解析】
图像分析采用排除法,利用奇偶性判断函数为奇函数,再利用特值确定函数的正负情况。【详解】,故奇函数,四个图像均符合。当时,,,排除C、D当时,,,排除A。故选B。【点睛】图像分析采用排除法,一般可供判断的主要有:奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。10、D【解析】
由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.11、D【解析】
根据面面垂直的判定定理,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A,当,,时,则平面与平面可能相交,,,故不能作为的充分条件,故A错误;对于B,当,,时,则,故不能作为的充分条件,故B错误;对于C,当,,时,则平面与平面相交,,,故不能作为的充分条件,故C错误;对于D,当,,,则一定能得到,故D正确.故选:D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题,属于基础题.12、C【解析】
由,,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,
平行四边形中,,
,,,
因为,
所以
,
,所以,故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则,属于中档题.向量的运算有两种方法:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-7【解析】
由题意得AB+【详解】由题意得ABBC+∴AB+【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量的加减运算,将所给向量统一用AC,14、【解析】
由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点,运用参变分离和构造函数,进而借助导数分析单调性与极值,画出函数图象,即可得到所求范围.【详解】已知定义在上的函数若在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点,联立可得有两个解,即可设,则,进而且不恒为零,可得在单调递增.由可得时,单调递减;时,单调递增,即在处取得极小值且为作出的图象,可得时,有两个解.故答案为:【点睛】本题考查利用利用导数解决方程的根的问题,还考查了等价转化思想与函数对称性的应用,属于难题.15、【解析】
利用动点到直线的距离和他到点距离相等,,可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将,代入,利用韦达定理,可得,从而可知以为直径的圆经过原点O.【详解】设点,由题意可得,,,可得,设直线的方程为,代入抛物线可得,,,,以AB为直径的圆经过原点.故答案为:(0,0)【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线和抛物线的交汇问题,同时考查了方程的思想和韦达定理,考查了运算能力,属于中档题.16、【解析】
利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知,,,故.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,要注意在某点的切线与过某点的切线的区别,本题属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【详解】解:(1)因为,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.18、(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】
(Ⅰ)设出直线的方程并代入抛物线方程,利用韦达定理以及斜率公式,变形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐标,,再用基本不等式求得的最小值,从而可得三角形的面积的最小值.【详解】解:(Ⅰ)设直线的方程为.联立方程组,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧(包括轴),设,,,的斜率为,又,则,①因为,所以②由①②得,,(且)从而当且仅当时取“”号,从而,所以面积的最小值为.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合,属于中档题.19、(1)(2)【解析】
(1)求解不等式,结合整数解有且仅有一个值,可得,分类讨论,求解不等式,即得解;(2)转化,使得成立为,利用不等式性质,求解二次函数最小值,代入解不等式即可.【详解】(1)不等式,即,所以,由,解得.因为,所以,当时,,不等式等价于或或即或或,故,故不等式的解集为.(2)因为,由,可得,又由,使得成立,则,解得或.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题,考查了学生转化划归,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.20、(1);(2)【解析】
(1)根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式,即可求得,进而求得的值;(2)根据正弦定理将边化为角,结合(1)中的值,即可将表达式化为的三角函数式;结合正弦和角公式与辅助角公式化简,即可求得和,进而由正弦定理确定,代入整式即可求解.【详解】(1)因为,所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得,所以.因为,所以.(2)因为,所以由正弦定理代入化简可得,由(1),代入可得,展开化简可得,根据辅助角公式化简可得.因为,所以,所以,所以为等腰三角形,且,所以.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,平面向量数量积的运算,正弦和角公式及辅助角公式的简单应用,属于基础题.21、(1)见解析;(2)【解析】
(1)设为中点,连结,先证明,可证得,假设不为线段的中点,可得平面,这与矛盾,即得证;(2)以为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,分别求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【详解】(1)设为中点,连结.∴,,又平面,平面,∴.又分别为中点,,又,∴.假设不为线段的中点,则与是平面内内的相交直线,从而平面,这与矛盾,所以为线段的中点.(2)以为原点,由条件面面,∴,以分别为轴
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