高考数学二轮总复习题型专项集训题型练9大题综合练（一）理

题型练9大题综合练(一)1.(2022广西玉林高三检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ba(1)求证:2a=b+c;(2)若cosA=45,a=26,求△ABC的面积2.某商店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价8元,售价12元.如果两天内无法售出,那么食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响.为了了解市场的需求情况,现统计该产品在本地区100天的销售量如下表:销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该产品100天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为ξ,求ξ的分布列与期望.(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据,该商店一次性购进该种食品32份或33份,哪一种得到的利润更高?3.如图,在三棱锥SABC中,底面ABC和侧面SBC都是等边三角形,BC=2,SA=6.(1)若P是线段SA的中点,求证:SA⊥平面PBC;(2)若点Q在线段SA上且满足AQ=13AS,求BQ与平面SAC所成角的正弦值4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过一点1,32,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一动点,当PF2垂直于(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1,斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,且∠AOB为钝角(O为坐标原点),求k的取值范围.5.已知函数f(x)=xlnx.(1)若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处导数相等,证明f(x1)+f(x2)>88ln2;(2)若a≤34ln2,证明对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

题型练9大题综合练(一)1.(1)证明(方法一)因为ba所以b+bcosA=2aacosB.由余弦定理得b+b·b2+c2-a22bc=2aa又c>0,所以2a=b+c.(方法二)因为ba=2所以2sinAsinAcosB=sinB+sinBcosA,即2sinA=sinB+sinAcosB+sinBcosA=sinB+sin(A+B).又A+B=πC,所以2sinA=sinB+sinC,所以由正弦定理得2a=b+c.(2)解由余弦定理得cosA=b2+c2又a=26,所以bc=20.因为cosA=45,角A为△ABC所以sinA=1所以S△ABC=12bcsinA=12×20×2.解(1)根据题意可得,ξ的所有可能取值为30,31,32,33,34,35,36,P(ξ=30)=15×15=125,P(ξ=P(ξ=32)=15×25×2+310×310=14,P(P(ξ=34)=310×110×2+25×25=1150P(ξ=36)=110×1ξ30313233343536P13171121E(ξ)=30×125+31×325+32×14+33×725+34×1150+(2)当购进32份该种食品时,利润为32×4×2125+(31×48)×325+(30×416)×125=107.52+13.92+4当购进33份该种食品时,利润为33×4×59100+(32×48)×14+(31×416)×325+(30×424)×125=77.88+30+12.96+由125.6>124.68,可知当购进32份该种食品时,利润更高.3.(1)证明∵△ABC和△SBC都为等边三角形,且有公共边BC,∴AB=SB=BC=AC=SC.∵P为线段SA的中点,∴SA⊥BP,SA⊥CP.又BP∩CP=P,∴SA⊥平面PBC.(2)解取BC的中点O,连接OA,OS,易得OS⊥BC,OA⊥BC,OS=3,OA=3∴OA2+OS2=(3)2+(3)2=6=AS2,∴∠AOS=90°,即SO⊥AO,∴OA,OB,OS两两垂直.以O为坐标原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.则点A(3,0,0),B(0,1,0),C(0,1,0),S(0,0,3),Q233,0,33,∴CA=(3,1,0),设平面SAC的法向量为n=(x,y,z),则n·CA=3x+y=0,n·设BQ与平面SAC所成角为θ,则sinθ=|cos<BQ,n>|=|4.解(1)由题意有1a2+34b2=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y2=(2)设椭圆C的半焦距为c(c>0),则由(1)可知,c=3,∴F1(3,0).当直线斜率k=0时,显然∠AOB=180°,不合题意;当k≠0时,设直线l:y=k(x+3),联立直线l与椭圆C的方程,得x24+y2=1,y=k(x+3),有(1+4k2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=-83k21+4k2,∴y1y2=k(x1+3)·k(x2+3)=k2(x1x2+3x1+3x2+3)=-∵∠AOB为钝角,∴OA·∴x1x2+y1y2<0.∴x1x2+y1y2=12k2∴11k24<0,解得21111<k<21111,且综上,k的取值范围是-21111,05.证明(1)由题意可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).函数f(x)的导函数f'(x)=12由f'(x1)=f'(x2),得12因为x1≠x2,所以1由基本不等式,得12x1x2=x1+x2≥24x1由题意得f(x1)+f(x2)=x1lnx1+x2lnx2=12x1x2设g(x)=12xlnx(x>0),则g'(x)=x(0,16)16(16,+∞)g'(x)0+g(x)↘24ln2↗所以g(x)在区间[256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=88ln2,即f(x1)+f(x2)>88ln2.(2)令m=e(|a|+k),n=|a|f(m)kma>|a|+kka≥0,f(n)kna<n1n-an所以,存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a.所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a,得k=x设h(x)=x-lnx则h'(x)=ln其中g(x)=x2lnx(x>0)由(1)可知g(x)≥g(16).