2019年中考数学总复习提分专练06与四边形有关的计算与证明练习

提分专练(六)与四边形有关的计算与证明|类型1|平行四边形背景问题1.[2018·曲靖]如图T61,在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段EF上的两点,且EM=FN,连接AN,CM.(1)求证:△AFN≌△CEM.(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度数.图T612.[2018·贵阳]如图T62,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.(1)求证:△AEF是等边三角形;(2)若AB=2,求△AFD的面积.图T62|类型2|特殊四边形背景问题3.[2018·德阳]如图T63,点E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上一点,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.(1)求证:点F为AB的中点;(2)EF与CB的延长线相交于点H,连接AH,若ED=2,求AH的值.图T634.[2018·呼和浩特]如图T64,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.图T645.[2018·遵义]如图T65,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T656.[2018·江西]在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图T66①,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是.

(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图②,图③中的一种情况予以证明或说明理由).(3)如图④,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.图T66

参考答案1.解:(1)证明:由于四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠CEM=∠AFN,又AF=CE,EM=FN,所以△AFN≌△CEM.(2)因为∠CMF=107°,∠CEM=72°,且∠CMF=∠CEM+∠ECM,所以∠ECM=∠CMF∠CEM=107°72°=35°.因为△AFN≌△CEM,所以∠NAF=∠ECM=35°.因此∠NAF的度数是35°.2.解:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,∴∠DAE=∠AEB=90°.∵点F是DE的中点,∴在Rt△AED中,FE=AF.∵AE与AF关于AG对称,∴AE=AF.∴AE=AF=EF.∴△AEF是等边三角形.(2)∵△AEF是等边三角形,∴∠EAF=∠AEF=60°,∴∠EAG=∠EDA=30°.∵AB与AG关于AE对称,∴∠BAE=∠EAG=30°.在Rt△ABE中,AB=2,∴BE=12AB=1,∴AE=22-12=3.∴DE=23,∴AD=3.S△AFD=12S△ADE=12×12×AE×AD=123.解:(1)证明:∵EF⊥EC,∴∠CEF=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=90°,∴∠AEF+∠AFE=90°,∴∠AFE=∠DEC.∵AE=DC,∴△AEF≌△DCE,∴ED=AF.∵AE=DC=AB=2DE,∴AB=2AF,∴点F是AB的中点.(2)由(1)得AF=FB,且AE∥BH,∴∠FAE=∠FBH=90°,∠AEF=∠BHF,∴△AEF≌△BHF,∴AE=HB.∵ED=2,且AE=2ED,∴AE=4,∴HB=AB=AE=4,∴AH2=AB2+BH2=16+16=32,∴AH=42.4.解:(1)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=CD,∴AC=DF.又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.(2)由勾股定理得DF=EF2+D作EP⊥DF于P,则EP=DE·EFDF∵四边形BCEF是菱形,∴EF=CE,由勾股定理得FP=EF2-EP2=3AF=DC=DFCF=52×95=75.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=12AC,OB=12BD,所以OA=OB.因为AC⊥BD,所以∠AOB=∠∠OAD=∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN,又因为∠EOF=90°,所以∠AOM=∠BON,所以△AOM≌△BON,所以OM=ON.(2)过点O作OP⊥AB于P,所以∠OPA=90°,所以∠OPA=∠MAE,因为E为OM的中点,所以OE=ME,又因为∠AEM=∠PEO,所以△AEM≌△PEO,所以AE=EP.因为OA=OB,OP⊥AB,所以AP=BP=12AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,所以OP=PB=2,Rt△OEP中,OE=OP2+PE2=5,所以OM=2OE=25,Rt△OMN中,OM=ON6.[解析](1)结论:BP=CE,CE⊥AD.连接AC,证明△BAP≌△CAE即可解决问题;(2)结论仍然成立.证明方法与(1)类似;(3)利用(2)的结论,然后通过解直角三角形求出AP,DP,OA即可解决问题.解:(1)BP=CECE⊥AD连接AC交BD于O点,如图①,①∵BA=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠BAC=60°=∠PAE,∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,AB∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE.∵△BAP≌△CAE,∴∠ACE=∠ABP=12∠ABC=∵∠ACD=60°,∴∠ECD=30°,∴CE为∠ACD的角平分线,∵CA=CD,由三线合一知CE⊥AD.(2)仍然成立,选择图②,理由如下:如图②,连接AC交BD于O点,设CE交AD于点H,②在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BA=BC,∴△ABC为等边三角形,∴BA=CA.∵△APE为等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,AB=AC,∠BAP=∠∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.选择图③,理由如下:如图③,连接AC交BD于点O,设CE交AD于点H.③同理得△BAP≌△CAE,∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°,又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.(3)如图④,连接AC交BD于点O,连接CE交AD于点H.④由(2)可知,CE⊥AD,CE=BP,在菱形ABCD中,AD∥BC,∴EC⊥BC.∵BC=AB=23,BE=219,∴在Rt△BCE中,CE=(219∴BP=CE=8.∵AC与B