浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二四总分评分一、单选题1．已知集合A={x∣y=log2x+1}，B={y∣y=loA．(0，+∞) B．(1，+∞) C．2．设复数z=1−i1+i（i为虚数单位），则A．2 B．3 C．2 D．13．“r≥2”是“圆C1：xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，A．4 B．5 C．6 D．75．已知向量a=(3，1)，b=(1A．±1 B．±12 C．−1 6．若椭圆C：x2a2+y2bA．33 B．22 C．3−17．已知a=100A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c8．在四棱锥E−ABCD中，正方形ABCD所在平面与△EAB所在平面相互垂直，AE⊥BE，F为EC上一点，且BF⊥EC，O为正方形ABCD的中心，四棱锥E−ABCD体积的最大值为A．3π B．4π C．5π D．6π二、多选题9．下列说法正确的是（）A．若事件M，N互斥，P(M)=B．若事件M，N相互独立，P(M)=C．若P(MD．若P(M10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为y=f(x)，降噪声波曲线函数为y=g(x)，已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0，A．f(x)=−g(x)B．f(x)=2sin(2x+C．y=g(x)的单调减区间为[π6+kπD．y=f(x)图像可以由y=g(x)图像向右平移π个单位得到11．已知A(x1，y1)，B(xA．点F的坐标为(B．|AB|=C．若OA⊥OB，则直线AB经过定点(1D．若点P(−2，1)，PA､PB为抛物线C12．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，f(1+x)+f(1−x)=2，A．f'(x)为偶函数 C．当x∈Z时，f(x)=x D．存在实数M，使得|f(x)−x|≤M三、填空题13．已知tanα＝3，π＜α＜3π2，则cosα﹣sinα＝14．若展开式(3x+15．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M､N分别是棱AB､AD的中点，过C1、M、16．设a>0，若函数f(x)=e2x+a−aae四、解答题17．在①2asinB=btanA，②c2−a2在△ABC中，角A，B，（1）求角A的大小；（2）若AB⋅AC=1，点D满足BD18．已知数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）设An为为数列{an2an}19．从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀8040120优秀404080合计12080200（1）依据α=0.（2）从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为X，求X的分布列与期望.附：α00000x236710参考公式：χ2=n20．在四棱锥P−ABCD中，CD∥AB（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；（2）若PB⊥BC，PB=3，直线PD21．已知双曲线C：x2a2（1）求双曲线C的标准方程；（2）过右焦点F作直线AB交双曲线于A，B两点，过点A作直线l：x=122．已知函数f(x)=xlnx−λ(x−1).（1）当x≥1时，f(x)≥0，求λ的取值范围；（2）函数g(x)=f(x)−λx2+(λ−1)x有两个不同的极值点x1，（3）求证：1n+1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由已知，集合A与集合B分别为函数y=log求得y=log2x+1定义域为(0∴A=(0，+∞)，∴A∩B=(0，故答案为：A.

【分析】由已知，集合A与集合B分别为函数y=log2．【答案】D【解析】【解答】z=1−i1+i=故答案为：D

【分析】由复数代数形式的乘除运算结合复数模的计算公式，可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】由已知有，圆C1：x2+圆C2：(x−3)2当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，此时两圆的半径与圆心之间的距离满足d≥|r−1|，即3≥|r−1|，又r>0，故解得0<r≤4，当0<r≤4时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，此时两圆有公切线，所以圆C1：x2+所以“r≥2”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件，故答案为：D．

【分析】先求出两圆圆心距，然后结合圆与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义可得答案.4．【答案】C【解析】【解答】第一次操作去掉的线段长度为13第二次操作去掉的线段长度之和为23第三次操作去掉的线段长度之和为23……第n次操作去掉的线段长度之和为(2所以留下的各区间长度之和为1−1所以(2即n≥lo故答案为：C.

【分析】根据题意可知每次操作去掉的区间长度成一个等比数列，根据等比数列的求和公式结合对数的运算性质可求出答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：由题得c=t(所以c⋅所以c在a方向上的投影向量模长为|c⋅a故答案为：B

【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，以及平面向量的数量积公式，即可求解出实数t的值.6．【答案】C【解析】【解答】设F(−c，0)，设P(x，解得：x=c2y=3c2，则又c2=a2−所以离心率为4−23故答案为：C.

【分析】根据对称性，方程思想，椭圆的几何性质，化归转化思想，即可求解出椭圆的离心率.7．【答案】D【解析】【解答】设f(令f'(x)>0解得x>1所以f(x)在(所以f(x)≥f(所以ln10099>1−99100设g(所以g(即当x∈(0，π2所以c=1+1综上所述，b<a<c，故答案为：D.

【分析】构造f(8．【答案】B【解析】【解答】设AB=a，则点E到直线AB的距离的最大值为a2，即点E到平面ABCD距离的最大值为a2.因为四棱锥E−ABCD体积的最大值为43，所以4因为BF⊥EC，BO⊥OC，所以BC是三棱锥故三棱锥O−BCF的外接球半径为1，其表面积为4π.故答案为：B.

【分析】设AB=a，则点E到直线AB的距离的最大值为a2，即点E到平面ABCD距离的最大值为a2，得BF⊥EC，BO⊥OC，BC是三棱锥9．【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A：P(M∪N)=P(M)+P(N)=5对于B：P(M∪N)=P(M)+P(N)−P(M∩N)=1对于C：P(M∣N所以1−P(M)−P(N)+14P(N)对于D：由C得P(N∣M)=P(MN)故答案为：ABC.

【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率以及全概率公式判断C、D.10．【答案】A,B【解析】【解答】对于A，由已知，g(x)=Asin[−(ωx+φ)]=−Asin∴f(x)=−g(x)，A符合题意；对于B，∵ω>0，∴由图象知，T2=12又∵f(5π12)=Asin(2×5π12∴2×5π12+φ=5π6+φ=2kπ+π，（k∈Z），又∵f(0)=Asinπ6=1，∴f(x)=2sin(2x+π对于C，g(x)=2sin[−(2x+π由−π2+2kπ≤2x+π6≤π∴y=g(x)的单调减区间为[−π3+kπ对于D，y=g(x)图像向右平移π个单位得到：y=g(x−π)=−2sinD不符合题意.故答案为：AB.

【分析】由图像求出f(x)解析式，依据题意得出g(x)解析式，再根据正弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.11．【答案】C,D【解析】【解答】因为拋物线C：y2=x，故由于直线AB不一定过焦点，所以|AB|不是经过焦点的弦长，B不符合题意；若OA⊥OB，故x1x2+y因为直线AB：y=y1−y2x1点设过P(−2，1)的切线方程为x=m(y−1)−2，联立x=m(y−1)−2y2=x⇒y2−my+m+2=0故切线PA，PB的斜率分别为m1=2+23y1可得直线AB：y=y故答案为：CD.

【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A；根据焦点弦的性质可判断B；根据垂直关系得y112．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，求导得f'即f'(−x)=f'(x)对于B，设g(x)=f(x)−x，因为f(x)为奇函数，所以g(x)也是奇函数；f(1+x)+f(1−x)=2，∴f(1+x)−(1+x)+f(1−x)−(1−x)=0，即g(1+x)+g(1−x)=0，所以g(x)关于(1，0)对称，即g(x)+g(2−x)=0，又g(x)关于(0，故g(2−x)=g(−x)，即g(x+2)=g(x)，所以g(x)的周期为2，故g(x+8)=g(x)，B不正确；对于C，因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0，令x=0，则g(1+x)+g(1−x)=0，∴g(1)+g(1)=0，所以当x为奇数时，g(x)=g(1)=0；当x为偶数时，g(x)=g(0)=0，故当x∈Z时，g(x)=0，即f(x)=x，C符合题意；对于D，由x>0时f'(x)>0，可知f(x)单调递增，且由C选项知所以当0≤x≤1时，0≤f(x)≤1，所以−1≤g(x)=f(x)−x≤1，同理，当1≤x≤2时，1≤f(x)≤2，所以−1≤g(x)=f(x)−x≤1，所以0≤x≤2时，|g(x)|≤1，根据g(x)的周期为2知，∀x∈R，故存在M=1，使得|f(x)−x|≤M，D符合题意；故答案为：ACD.

【分析】构造函数g(x)=f(x)−x，结合抽象函数的对称性，奇偶性和周期性，逐项进行判断，可得答案.13．【答案】10【解析】【解答】∵tanα＝3，π＜α＜3π2，∴cosα=−1则cosα﹣sinα=−10故答案为：10

【分析】由tana的值及a的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa与sina的值，代入原式计算即可得答案.14．【答案】7【解析】【解答】由题意n=8，所以展开式第r+1项为Tr+1令8−4r3=0，得r=2，故常数项为故答案为：7.

【分析】根据题意求出n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中常数项.15．【答案】47【解析】【解答】延长MN交CD的延长线与点O，连接C1O交DD1于点延长NM交CB的延长线与点P，连接C1P交BB1于点所以过C1、M、N的截面为C设正方体的棱长为2a，由△PBM≅△NAM≅NDO，M､N分别是棱AB、AD的中点，所以BP=BM=AM=AN=DN=OD=a，所以OC=3a，PC=3a，则过C1、M、N的截面下方几何体的体积为V所以另一部分体积为V1=8a故答案为：4725

【分析】根据正方体的结构特征，做出平面α截正方体的面的多边形，再根据多边形的形状结合棱锥的体积公式可求出答案.16．【答案】(0【解析】【解答】由a>0，函数f(x)=e2x+a−a令aex−a=t两式相乘：(e令g(x)=(x−1)x2，g'故g(x)在(1，则ex≥t，从而由a>0，则ex−1>0(ex−1)+1则2≥a，解得：0<a≤4故答案为：a∈(0，

【分析】根据题意，分离参数，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系结合基本不等式及成立条件，即可求得a的取值范围.17．【答案】（1）解：选择①：由2asinB=btanA得，2sinAsinB=sinB⋅sinA因为三角形中sinAsinB≠0，所以cosA=选择②：由c2−a2=bc−选择③：由3sinA=1+cosA得23sin所以3sinA2=cosA（2）解：因为AB⋅AC=1又因为BD=3DC，则于是|由bc=2得|AD|≥324故线段AD长的最小值为32【解析】【分析】(1)若选①2asinB=btanA，然后结合正弦定理进行化简可求cosA，进而可出角A的大小；若选②c2−a2=bc−b2，由余弦定理可求cosA，进而可求出角A的大小；若选③318．【答案】（1）解：∵a∴n≥2时，a1①-②得2n−1an当n=1时，a1故an（2）解：由（1）得：an∴An两边同乘以12得：1③-④得：1=1−∴An=2−n+22【解析】【分析】(1)根据题意得出当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n−2an−1=(n−2)⋅2n−1+1，两式作差可得19．【答案】（1）解：根据表格计算可得：χ所以依据α=0.（2）解：语文数学成绩至少一门优秀的概率为P=1−80因为X的取值可能为0，P(X=0)=CP(X=2)=C所以X的分布列为：X0123P8365427于是，E(X)=0×8【解析】【分析】(1)由题意得χ2=200×(80×40−40×40)2120×80×120×80≈5.556>320．【答案】（1）证明：在平面四边形ABCD中，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是等腰梯形过点C作CE⊥AB于E，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BE=12，AC=A所以AC2+B又AC⊥PB，BC∩PB=B，BC，PB⊂平面所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面PAC，所以，平面PAC⊥平面PBC.（2）解：解法1：连接BD交AC于O，因为AC⊥PB且BC⊥PB，AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PB⊥BD，由平面几何知识可知，BD=3，故PD=同理可知DO：由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，过点B作BH⊥PC交PC于点H，由面面垂直性质知BH⊥面PAC，且BH=3因为DO：BO=1：所以D到平面PAC的距离与B到平面PAC的距离之比也是1：所以点D到平面PAC的距离为34设直线PD与平面PAC所成的角为θ，则sinθ=3即直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为28

解法2：以C为原点，CA，CB分别为x轴，y则A(因为AC⊥平面PBC，PB⊥BC，可设P(0，D(设平面PAC的法向量为n=(x则CA⋅n=3x=0设直线PD与平面PAC所成的角为θ，则sinθ=即直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为28【解析】【分析】(1)根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可证得平面PAC⊥平面PBC；

(2)根据(1)的结论及已知条件，以C为原点，CA，CB分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线PD的方向向量及平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式及两点间的距离公式即可求解出直线PD与平面21．【答案】（1）解：由题意，设右焦点F的坐标为(c，双曲线C的渐近线方程为：bx±ay=0，右焦点F到其中一条渐近线的距离为bca2+又因为e=ca=2故双曲线C的标准方程为x2（2）证明：当直线AB的斜率不为0时，设A(x1联立方程组x=my+2x2整理得：(3m∴Δ=(12m)∴y1+∵lMB：y−∴x−=−m(−∴直线MB过定点D(5当直线AB的斜率为0时，此时