湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．下列运动标记中是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．把3a−(2a−1)去括号，再合并同类项的结果正确的是（）A．5a−1 B．5a+1 C．a−1 D．a+13．下列变形正确的是（）A．xy=x+1C．−x+yx−y=−1 4．根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（）A．∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°B．∠A=40°，∠B=50°，AB=5cmC．AB=5cm，AC=4cm，∠B=30°D．AB=6cm，BC=4cm，∠A=30°5．下列计算正确的是（）A．x2·xC．(−5b)3=−15b6．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．(x−y)2=(x+y)C．x2−3x+2=(x−1)(x−2) 7．如图，点E是△ABC内一点，BE平分∠ABC，过点E作ED⊥BC于D，连EA．若ED=5，AB=10，则△AEB的面积是（）A．20 B．30 C．25 D．158．已知分式2x+bx−ax的取值2m−2分式的值03无解A．b=−4； B．a=2； C．m=−10； D．a=−2.9．如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（）A．377 B．420 C．465 D．51210．如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（）A．245 B．125 C．5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：4x2−912．若ab=1，且m=11+a+11+b13．如图，在△PMN中，点P，M在坐标轴上，P(0，2)，N(2，−2)，PM=PN14．一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L水，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的115．已知如图，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=a，有以下结论：①若a=45°，则AB=AC+CD；②若a=40°，则AB=AD+CD；③若a=36°，则AB=AC+CD；④若a=30°、则AB=AC+2CD．其中正确的有．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°；点D在BC边上，将△ABD沿AD所在直线翻折得△ADF、∠FAC角平分线交BC边于点G，连接FG，∠BAD=θ．若△DFG为等腰三角形，则θ的值．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．计算（1）a3⋅a4⋅a+(a2)418．（1）因式分解：8a（2）先化简，再求值：(x−y+4xyx−y)(x+y−4xyx+y19．关于x的方程ax（1）若a=3，则解这个分式方程；（2）若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．20．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.21．如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若A，B，C三点是格点．（1）请在图1中画所有点D，使△ABC与△BCD全等；（2）请在图2中的线段BC上画点E，使∠CAE=∠ABC．（3）如图3，点P为AB上不在格点与格线上的任一点，画点Q，使P、Q点关于BC所在直线对称．22．某商店决定购买甲、乙两种型号的文具共10件．已知用90元购买甲型号的文具数与用75元购买乙型号的文具数相同．每件文具价格及每件利润如下表所示．类型甲乙价格（元/件）mm−3利润（元/件）23（1）求m的值；（2）受疫情影响，商店老板这个月准备用不超过168元购买甲、乙两种文具，问有多少种购买方案？并求出这个月获得利润最小时甲、乙文具的数量．23．如图（1）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1图2；（用字母a，b表示）（2）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题①已知a+b=7，ab=12，求a2②已知(2024−x)(2022−x)=2023，求(2024−x)2（3）拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2．若AB=m，S=S24．如图，点A(−4，0)，B(0，3)在平面直角坐标系中的坐标轴上，点P(−1，（1）求点P到AB的距离；（2）如图1，射线BP交OA的垂直平分线于点C，试判断△PAC的形状，并说明理由；（3）如图2，Q(m，0)为x轴正半轴上一点，将AQ沿PQ所在直线翻折，与y轴，线段AB分别交于点F，G，试探究△BFG的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故答案为：B.【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐项分析即可求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：3a-（2a-1）=3a-2a+1=a+1；故答案为：D.【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反、合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变进行计算即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：A．xy≠x+1y+1，A选项变形不正确，A不符合题意；

B．x2+y2x+y故答案为：C.【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变逐项判断即可得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°​，△ABC​的形状和大小不能确定，故不符合题意；B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm​，则利用“ASA​”可判断△ABC​是唯一的，故符合题意；C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°​，△ABC​的形状和大小不能确定，故不符合题意；D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°​，△ABC​的形状和大小不能确定，故不符合题意．故答案为：B．

【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。5．【答案】B【解析】【解答】解：A：x2·x5=x7≠x10，A不符合题意；

B：（a2）3=a2×3=a6，B符合题意；

C：（-5b）3=-125b3≠-15b3，C不符合题意；

D：a≠0时，a0=1，D不符合题意；故答案为：B.【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘、零指数幂：a0=1（a≠0）逐项计算即可得出答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；

选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；故答案为：C.【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：过E作EH⊥AB于H，如图：∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EH⊥AB，

∴EH=ED=5，

∵AB=10，

∴△AEB的面积==12AB·EH=【分析】过E作EH⊥AB于H，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得EH=ED=5，根据三角形的面积公式进行计算即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：4+b2−a=0，

∴4+b=0，

解得：b=-4；A不符合题意；

当x=-2时，分式无解，即-4+b-2−a无解，

∴-2-a=0，

解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；

将a=-2、b=-4代入分式得：2x-4x+2=0，

故答案为：B.【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.9．【答案】D【解析】【解答】解：最大和最小的两个数是m+8和m-8，

∴n=（m-8）（m+8）=m2-64，

即m2=64+n；

A、当n=377时，64+377=441=212，结果是一个平方数，所以n可能是377，A不符合题意；

B、当n=420时，420+64=484=222，结果是一个平方数，所以n可能是420，B不符合题意；

C、当n=465时，465+64=529=232，结果是一个平方数，所以n可能是465，C不符合题意；

D、当n=512时，512+64=576=242，最小的数是24-8=16，最大的数是24+8=32，不符合实际，D符合题意；故答案为：D.【分析】先用含有m的式子表示出最大和最小的两个数，结合题意可得m2=64+n，逐项将n的值代入，判断是否是平方数，注意结合实际，即可判断得出答案.10．【答案】B【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF，

∵E是M关于AD的对称点，

∴AM=AE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠MAF=∠EAF，

∵AM=AE，∠MAF=∠EAF，AF=AF，

∴△AMF≌△AEF（SAS），

∴MF=EF，

即FE+FC=MF+FC，

MF+FC的最小值为△ABC中AB边上的高CM，

∵△ABC的面积为6，AB=5，

∴6=12×5×CM，

∴CM=125，故答案为：B.【分析】过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF，根据对称的性质可得AM=AE，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠MAF=∠EAF，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得MF=EF，推得FE+FC=MF+FC，故根据三角形的面积公式求MF+FC的最小值CM，即可.11．【答案】(2x+3)(2x-3)【解析】【解答】利用平方差公式得：4x2−9=12．【答案】m=n【解析】【解答】解：m=11+a+11+b=1+b1+a1+b+1+a1+a1+b=2+a+b1+a+b+ab，故答案为：m=n.【分析】根据分式的性质将m、n化简，再将ab=1代入求出m、n的值，即可得出答案.13．【答案】（-4，0）【解析】【解答】解：过点N作ND⊥y轴于点D，

∵P（0，2），N（2，-2），

∴OP=2，OD=2，DN=2，

∴PD=4，

∵PM⊥PN，

∴∠MPN=90°，

∴∠MPO+∠DPN=90°，

又∵∠DPN+∠PND=90°，

∴∠MPO=∠PND，

又∵∠MOP=∠PDN=90°，

∴△MOP≌△PDN（AAS），

∴OM=PD=4，

∴M（-4，0），故答案为：（-4，0）.【分析】过点N作ND⊥y轴于点D，根据点的坐标可得PD=4，根据等角的余角相等可得∠MPO=∠PND，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得OM=PD=4，即可求解.14．【答案】n【解析】【解答】解：第1次倒出12升水，

第2次倒出水量是12升的13，

第3次倒出水量是13升的14，

第4次倒出水量是14升的15，

…，

第n次倒出水量是1n升的1n+1，

则第n次倒出水后，倒出的水量为：故答案为：nn+1【分析】根据题目信息可推得第n次倒出水量是1n升的115．【答案】①②④【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠B=α，

∴∠CAB=∠B=α，

∠C=180°-∠CAB-∠B=180°-2α；

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠EAD；

当α=45°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：

在△CAD和△EAD中，

AC=AE∠CAD=∠EADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AE，∠DEA=∠C，

∵∠CAB=∠B=45°，

∴∠C=180°-90°=90°，

故∠DEA=90°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=90°-45°=45°，

则∠B=∠BDE，

∴DE=BE，

又∵AB=AE+EB，

∴AB=AC+CD；①正确；

当α=40°时，在AB上取点E，使AE=AD，连接DE，取点F，使AF=AC，连接DF，如图：

在△CAD和△FAD中，

AC=AF∠CAD=∠FADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AF，∠DFA=∠C，

∵∠CAB=∠B=40°，

∴∠C=180°-80°=100°，

故∠DFA=100°，

∴∠DFE=180°-100°=80°，

∵AD=AE，

∴∠AED=∠ADE，

∵∠EAD=12α=20°，

∴∠AED=∠ADE=12×180°-20°=80°，

∴∠AED=∠DFE，

∴DF=DE，

∵∠B=40°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=80°-40°=40°，

即∠BDE=∠B，

∴DE=BE，

∴BE=DE=DF=CD，

又∵AB=AE+EB，

∴AB=AD+CD；②正确；

当α=36°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：

在△CAD和△EAD中，

AC=AE∠CAD=∠EADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AE，∠DEA=∠C，

∵∠CAB=∠B=36°，

∴∠C=180°-72°=108°，

故∠DEA=108°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=108°-36°=72°，

∠BED=180°-∠DEA=180°-108°=72°，

即∠BDE=∠BED，

∴BD=BE，

又∵AB=AE+EB，

∴AB=AC+BD；③错误；

当α=30°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：

在△CAD和△EAD中，

AC=AE∠CAD=∠EADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AE，∠DEA=∠C，

∵∠CAB=∠B=30°，

∴∠C=180°-60°=120°，

故∠DEA=120°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=120°-30°=90°，

在Rt△BDE中，∠B=30°，

∴BE=2DE，

即BE=2CD，

∵AB=AE+BE，

∴AB=AC+2CD；④正确；

故答案为：16．【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=140°，

∴∠B=∠C=20°，

则∠ADG=∠B+∠BAD=20°+θ，

∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，

∴△ADB≌△ADF，

∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，

∴AF=AC，

∵AG平分∠FAC，

∴∠FAG=∠CAG，

∵AF＝AC，∠FAG＝∠CAG，AG＝AG，

∴△AGF≌△AGC（SAS），

∴∠AFG=∠C，

∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∠B=∠AFD，∠AFG=∠C，

∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°；

①当GD=GF时，则∠GDF=∠GFD=40°，

∵∠AFD+∠DAF+∠ADF=180°，∠ADF=∠ADG+∠FDG，

即20°+40°+20°+θ+θ=180°，

解得：θ=50°；

②当DF=GF时，则∠FDG=∠FGD，

∵∠DFG=40°，

∴∠FDG=∠FGD=70°，

∵∠AFD+∠DAF+∠ADF=180°，∠ADF=∠ADG+∠FDG，

∴20°+70°+20°+θ+θ=180°，

解得：θ=35°；

③当DF=DG时，则∠DFG=∠DGF=40°，

∴∠GDF=100°，

∵∠AFD+∠DAF+∠ADF=180°，∠ADF=∠ADG+∠FDG，

∴20°+100°+20°+2θ=180°，

解得：θ=20°；

综上，当θ=20°，35°或50°时，△DFG为等腰三角形.【解析】【分析】根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠B=∠C=20°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ADG=20°+θ，根据折叠可得△ADB≌△ADF，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，推得AF=AC，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠FAG=∠CAG，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得∠AFG=∠C，推得∠DFG=40°，分三种情况讨论：当GD=GF时，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得

∠FDG=∠FGD=70°，根据三角形内角和是180°列出方程式，求解即可；当DF=GF时，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠FDG=∠FGD=70°，根据三角形内角和是180°列出方程式，求解即可；

当DF=DG时，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠DFG=∠DGF=40°，∠GDF=100°，根据三角形内角和是180°列出方程式，求解即可.17．【答案】（1）解：原式==2a（2）解：原式=−4=−12x【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算进行计算即可；

（2）根据整式的混合运算进行计算即可.18．【答案】（1）解：原式=4a=4ab（2）解：(x−y+4xyx−y==(x+y)(x−y)；∵x=5+1，y=5−1，

∴∴原式=25【解析】【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可；

（2）先根据分式的混合运算化简原式，求出x+y、x-y的值，代入计算即可.19．【答案】（1）解：当a=3时，原方程可化为：3xx−2方程两边乘以x-2得：3x−4=x−2，解得：x=1，检验：当x=1时，x−2≠0∴原分式方程的解为x=1.（2）解：方程两边乘以x-2得：ax-4=x-2，

整理得：（a-1）x=2，

解得：x=2a-1，

①当a-1=0时，分式方程无解，此时a=1，

②分式方程有增根时，方程无解，则x-2=0，此时x=2，

即2a-1=2，

【解析】【分析】（1）把a=3代入分式方程，求出分式方程的解，再进行检验即可；

（2）先将分式方程整理为整式方程，解得x=2a-1，分为两种情况：①整式方程无解时，分式方程无解，可得a-1=0，求解即可，20．【答案】解：∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB

∵∠BAD=26°

∴∠B=∠ADB=180°-26°2=77°°

同理，∠C=∠DAC=【解析】【解答】由题意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．【分析】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．21．【答案】（1）解：取格点D1，D2，D3，D4，可使△ABC与△BCD全等；如图：​​​​​​​（2）解：取格点F，连接AF交BC于点E，则点E，使∠CAE=∠ABC；如图：​​​​​​​（3）解：取格点M，连接CM，BM，连接PM交BC于点N，连接AN并延长交BM于点Q，则图中点Q，使P、Q点关于BC所在直线对称；如图：【解析】【分析】（1）根据三边对应相等的三角形是全等三角形进行画图即可；

（2）根据三边对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等进行画图即可；

（3）取格点M，连接CM，BM，根据轴对称的性质可得MB和AB关于BC对称，垂直平分线上的点到两边的距离相等和等边对等角可推得MQ=AP，即可得出P、Q点关于BC所在直线对称，画图即可.22．【答案】（1）解：依题意有：90m方程两边乘以m(m−3)得：90(m−3)=75m，解得：m=18，检验：当m=18时，m(m−3)≠0，∴m=18是此分式方程的解．∴m的值是18.（2）解：设商店老板这个月准备购买甲文具x件，则乙商品（10-x）件，依题意有：18x+15(10−x)≤168，解得：x≤6，∵x≥0，∴0≤x≤6，且x为整数，x=0，x=1，x=2，x=3，x=4，x=5，x=6：共6种方案．方案1：甲文具0件，乙文具10件，利润为10×3=30（元），方案2：甲文具1件，乙文具9件，利润为1×2+9×3=29（元），方案3：甲文具2件，乙文具8件，利润为2×2+8×3=28（元），方案4：甲文具3件，乙文具7件，利润为3×2+7×3=27（元），方案5：甲文具4件，乙文具6件，利润为4×2+6×3=26（元），方案6：甲文具5件，乙文具5件，利润为5×2+5×3=25（元），方案7：甲文具6件，乙文具4件，利润为6×2+4×3=24（元）．∵24<25<26<27<28<29<30∴这个月获得利润最小时，甲文具6件，乙文具4件．另解，设这个月获得利润为w元，购买中文具y件，依题意有：w=2y+3(10−y)，∴w=30−y，∵18y+15(10−y)≤168，∴y≤6∵y≥0，∴0≤y≤6，且y为整数，显然，当y最大时，w最小．∴当y=6时，w有最小值为24，此时甲文具6件，乙文具4件【解析】【分析】（1）利用数量=总价÷单价，结合用90元购买甲型号的文具数与用75元购买乙型号的文具数相同，可列出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出答案；

（2）设购买x个甲型号的文具，则购买（10-x）个乙型号的文具，利用总价=单价×数量，结合总价不超过168元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可得出该商店共有6种购买方案，分别求出每种方案下的利润，即可求解.23．【答案】（1）(a+b)2=（2）解：①∵(a+b)2=a2+2ab+∵a+b=7，ab=12，

∴a2②设2024-x=m，2022-x=n，∴m−n=(2024−x)−(2022−x)=2，mn=2023；∴原式==(2024−x)2+(2022−x)2

=（3）解：14(m2−s)；

设AC=a，BC=b，

则AB=AC+BC=a+b=m，S=S1+S2=a2+b2，【解析】【解答】解：（1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2=a2+2ab+b2；

图2：（a-b）2=a2-2ab+b2；

故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2.

【分析】（1）根据正方形的面积列出等式即可；

（2）①根据完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab，将a+b=7，ab=12代入计算即可求解；

②设2024-x=m，2022-x=n，则m-n=2，mn=2023，代入计算即可求解；

（3）设