《工业机器人技术基础 》课件-第二章 工业机器人的数学基础

工业机器人技术基础智能制造学院第二章工业机器人的数学基础主讲人：刘红梅智能制造学院目录CONTENTS2.1坐标及其关系2.2坐标系变换2.3工业机器人运动学2.4工业机器人动力学

2.1坐标系及其关系01PART

ONE2.1.1矩阵的基础知识1矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的二维数组，矩阵的元素可以是任意实数或复数。由m×n个标量Aij排列成的m行、n列的二维数组称为m行n列的矩阵，简称m×n阶矩阵，通常用大写加粗的斜体字母表示，如矩阵A。记作：Aij表示矩阵A的的第i行、第j列元素；m称为矩阵A的行阶或行数，n称为矩阵A的列阶或列数。2.1.1矩阵的基础知识2矩阵的转置设一个矩阵A，矩阵的转置是指将矩阵A的行和列互换得到新的矩阵，即将A中的第i行转换成第j列，得到的新矩阵称为原矩阵A的转置矩阵，记作AT。矩阵的转置满足运算律： (AT)T=A

2.1.1矩阵的基础知识2矩阵的转置

解：

2.1.1矩阵的基础知识3常用的矩阵类型l零矩阵

若一个矩阵内的所有元素都为零，称该矩阵称为零矩阵，记作O。l方阵

若一个矩阵的行阶与列阶相等，即i=j=n，称该矩阵为n阶方阵。l对称矩阵

对于n阶方阵A，若其元素满足

，即A=AT，称方阵A为对称矩阵。l反对称矩阵

对于n阶方阵A，若其元素满足

，即A=-AT，称方阵A为对称矩阵。对于反对称矩阵，有

，即反对称矩阵对角线上的元素全为0。2.1.1矩阵的基础知识3常用的矩阵类型l对角阵

对于n阶方阵A，除对角元素（至少有一个元素为非零）外，其余所有元素均为零，则称方阵A称为对角阵，n阶对角阵记作：对于n阶对角阵，若其对角元素均为1，则称该n阶对角阵为n阶单位阵，记作In或I。n阶对角矩阵的对角元素和称为该矩阵的迹，记作：2.1.1矩阵的基础知识3常用的矩阵类型例题2-3完成以下题目：①写出一个2×3阶零矩阵；②写出一个4阶方阵；

③写出一个3阶对称矩阵和一个3阶反对称矩阵；

④写出一个3阶对角阵，并求该对角阵的迹。解：

2.1.1矩阵的基础知识3常用的矩阵类型例题2-3完成以下题目：①写出一个2×3阶零矩阵；

②写出一个4阶方阵；

③写出一个3阶对称矩阵和一个3阶反对称矩阵；

④写出一个3阶对角阵，并求该对角阵的迹。解：

trA=A11+A22+A33=1+3+5=92.1.1矩阵的基础知识4分块阵将矩阵的定义推广，矩阵A中的元素可以是数字或者其他数学对象（表达式、符号等）。若矩阵A中元素不是标量Aij而是矩阵Aij，即第i行（i=1，2，3，...，m）各矩阵元素

的行阶相等；第j列（j=1，2，3，...，n）各矩阵元素

的列阶相等，称矩阵元素Aij为矩阵A的分块阵。2.1.2矩阵的基本运算1矩阵的相等若存在两个同型的矩阵A和B，且A和B中所有下标相同的元素相等，即满足则称矩阵A和B相等，记作：

A=B2.1.2矩阵的基本运算2矩阵的加法设两个同型的矩阵A和B，A和B相加的和为一个同型的新矩阵C，记作：C=A+B同型矩阵的加法满足以下运算律：A+O=A

B+A=A+BA+B+C=

(A+B)+C=A+(B

+C)(A+B)T=AT+BT2.1.2矩阵的基本运算3矩阵的减法设两个同型的矩阵A和B，A减B的差为一个同型的新矩阵C，记作：C=A-B2.1.2矩阵的基本运算

①矩阵A加B的和；②A减B的差；③（A+B）T解：①设矩阵C是A加B的和，即C=A+B，则矩阵C中的元素满足②设矩阵D是A减B的差，即D=A-B，则矩阵D中的元素满足2.1.2矩阵的基本运算

①矩阵A加B的和；②A减B的差；③（A+B）T解：③由第①问可知，C=A+B，所以（A+B）T＝CT或者，分别求出再根据公式（A+B）T＝AT+BT，计算出2.1.2矩阵的基本运算4矩阵的数乘矩阵的数乘是指一个矩阵的每个元素都乘以一个标量（常数）k。一个标量k与一个矩阵A的乘积是一个与A同型的新矩阵C，记作2.1.2矩阵的基本运算5矩阵的乘法设一个m×s阶矩阵A=(Ams)，一个s×n阶矩阵B=(Bsn)，则A与B的乘积是一个m×n阶的矩C=(Cms)，记作：当且仅当左矩阵（第一个矩阵）的列阶等于右矩阵（第二个矩阵）的行阶时，两个矩阵才能相乘。矩阵乘法遵循以下运算律：2.1.2矩阵的基本运算5矩阵的乘法

①AB；②(AB)T。①设矩阵C是A与B的乘积，即C=AB，则矩阵C中的元素满足解：2.1.2矩阵的基本运算5矩阵的乘法①AB；②(AB)T。②由第①问已知，C=AB，则解：或者，分别计算出再根据公式

，计算出

2.1.2矩阵的基本运算5矩阵的乘法

解：（1）设矩阵C

是

A与B的乘积，即C=AB，则矩阵C中的元素满足2.1.2矩阵的基本运算5矩阵的乘法解：（2）设矩阵D

是B与A的乘积，即D=BA，则矩阵D中的元素满足显然，C≠D，即AB≠BA

，交换律不适用于矩阵乘法。

2.1.2矩阵的基本运算6方阵与行列式由n阶方阵A的元素按原相对位置不变所构成的行列式称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。7矩阵的逆矩阵在矩阵运算中，单位阵I相当于数乘中的1。如果存在一个矩阵B，使得AB＝BA＝I，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵或逆阵，记作A-1。，2.1.3坐标系基础知识1坐标系的定义工业机器人设计过程中为了描述质点的位置、速度和方向，需要选择合适的坐标系。在参照系中，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”。在某一问题中规定坐标的方法，就是该问题所用的坐标系，常用的有直角坐标系、极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系等。2坐标系的分类（a）平面直角坐标系

（b）空间直角坐标系

（c）右手坐标系

①直角坐标系2.1.3坐标系基础知识2坐标系的分类②柱面坐标系柱面坐标系（圆柱坐标系，CylindricalCoordinateSystem，Cyl）是将点的直角坐标在XOY面上的投影转换成极坐标的形式，也可以理解为二维极坐标系往Z轴的延伸。2.1.3坐标系基础知识2坐标系的分类③球面坐标系（a）球面坐标系（b）球面坐标机器人假设P(x,y,z)为空间内一点，则点Р也可三个有次序的数(r,θ,φ)来确定，其中r为原点O与点Р间的距离；θ为有向线段OP与Z轴正向的夹角；φ为从Z轴看，自X轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在平面XOY上的投影。这三个数r,θ,φ称为点Р的球面坐标，记作P(r,θ,φ)。。2.1.4机器人常用坐标系在工业机器人领域，按照工业机器人的应用情况，也常用大地坐标系、基坐标系、关节坐标系、工具坐标系、工件坐标系等来描述机器人的位姿。1.大地坐标系大地坐标系（也可称为参考坐标系、世界坐标系）是以大地为参考的直角坐标系，其位置和方向是固定的，在机器人各关节运动过程中保持不变，对其他坐标系起参考定位的作用。在这种坐标系下，无论机器人手臂所处位置如何，X轴的正向运动始终沿着X轴的正向；Y轴的正向运动始终沿着Y轴的正向；Z轴的正向运动始终沿着Z轴的正向。大地坐标系有助于定义机器人相对于其他物体的运动以及运动路径等。2.1.4机器人常用坐标系2.基坐标系基坐标系是以机器人安装底座为基准，用来描述机器人本体运动的直角坐标系。如图所示，若面对机器人，前后为X轴、左右为Y轴、上下为Z轴，坐标系遵守右手准则。当工业机器人倒挂在横梁上，侧挂在墙壁上时，用于描述工业机器人的位置、和姿势的参考坐标系。2.1.4机器人常用坐标系3.关节坐标系关节坐标系是工业机器人中用于描述机器人各个独立关节的运动状态，每一个关节具有一个自由度，其主要用途是描述该坐标系基于机器人的关节角度，即每个关节的旋转角度。值得注意的是，关节坐标系没有固定的坐标轴，而是以机器人每个关节的角度为参考，确定机器人的位置和姿态。通过控制关节的旋转，工业机器人可以实现各种运动路径。如图所示，假设希望将机器人的末端运动到某一个特定的位置，可以逐个关节地进行单独运动，从而使末端抵达目标地点。在这种情况下，各关节单独受控，从而每次只有一个关节运动。由于所有关节的类型（移动型、旋转型、球型）各异，机器人末端的动作也因此而有所区别。2.1.4机器人常用坐标系4.工具坐标系工具坐标系是固定在工具（法兰、装在法兰上的工具）上的坐标系，相对于机械手法兰中心不变，坐标系原点的是机械手运动中心点。工具坐标系定义工业机器人末端执行工具的中心点和工具的姿态，工具坐标系必须事先由用户进行设定。机器人TCP（ToolCenterPoint）是指机器人安装的工具坐标点。工具坐标系没有定义时，工具坐标系采用默认的工具坐标系，默认工具坐标系是工业机器人末端法兰坐标系，工具坐标系如图2-8所示。每个工具都应该有对应的工具坐标系，使用不同的工具应该切换到相应的工具坐标系下，否则在工具坐标系手动操作工业机器人时，工业机器人的轨迹将难以预测。2.1.4机器人常用坐标系5.工件坐标系

工件坐标系是以工件为基准的直角坐标系，可以用来描述TCP运动的坐标系，它定义工件相对于大地坐标（或其他坐标）的位置。

如图所示，工业机器人在工件A标定的工件坐标系A完成作业任务，更换不同位置的工件B后，只要重新标定工件坐标系B，所以作业程序和作业在新坐标系下随之更新。2.1.4机器人常用坐标系在工作台的平面上，定义三个点，就可以建立一个用户框架。如图2-10所示，X1点确定工件坐标系的原点，X1、X2确定工件坐标系X轴正方向；Y1点确定工件坐标系Y轴正方向。用户框架相当于为工件所在的工作台定义一个坐标系，因此工件坐标系有时也称为用户坐标系。6.用户坐标系

用户坐标系是用户对每个作业空间进行自定义的直角坐标系，它用于位置寄存器的示教和执行、位置补偿指令的执行等。在没有定义的时候，将由大地坐标系来替代用户坐标系。2.1.5位姿描述1空间中点的描述

a、b和c是点P在直角坐标系中的三个坐标分量；i、j和k是直角坐标三个坐标轴上的单位坐标向量。2.1.5位姿描述2空间有向线段的表示有向线段可以用其起始点和终止点的坐标来表示。如果一个向量起始于点A，终止于点B，Ax、Ay和Az是点A在直角坐标系中的三个坐标分量，Bx、By和Bz是点B在直角坐标系中的三个坐标分量，那么该向量可以表示为如果一个向量起始于原点，则有2.1.5位姿描述3位置描述已知固定坐标系{A}（OXYZ），在刚体上固连一个运动坐标系{B}（O′X′Y′Z′），则{B}系原点O′在{A}系中的位置可以通过3×1的列向量APB

来表示：dx、dy和dz是点O′在坐标系{A}中沿X、Y和Z轴的三个坐标分量。APB被称为位置向量。2.1.5位姿描述4姿态描述为了表示运动坐标系{B}在参考坐标系{A}中的姿态，可以将{B}系的原点移动到{A}系的原点，即两个坐标系原点重合，但{B}系的姿态保持不变，如图所示。记i、j和k为{A}系中的三个单位向量，a、b和c为{B}系中的三个单位方向矢量，由空间矢量表示方法可知：

{B}系在{A}系中的姿态可以表示为：

02PART

TWO

2.2坐标系变换2.2.1平移坐标变换1平移坐标变换方程

平移坐标变换是指一坐标系在空间以不变的姿态运动。如图所示，设固定坐标系{A}（OXYZ），运动坐标系{B}（O′X′Y′Z′），{A}系和{B}系具有相同的姿态，但{A}系和{B}系的原点不重合，用位置向量APB

来描述{B}系（原点O′）相对于{A}系的位置，称APB为{B}系相对{A}系的平移向量。如果点P在{B}系中的位置向量为BP，那么点P在{A}系中的位置向量AP可由向量相加得出，即上式称为坐标平移变换方程。2.2.1平移坐标变换1平移坐标变换方程

解：由题目可知，{B}系沿{A}系的Z轴正方向移动4个单位，沿{A}系的Y轴正方向移动6个单位，确定平移向量由

，可知2.2.1平移坐标变换2平移齐次坐标变换若将BP用向量表示，若将其用矩阵的乘法来表示，则平移三维空间的点需要使用4×4的矩阵。一般而言，用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法。2.2.1平移坐标变换2平移齐次坐标变换平移变换方程可以用矩阵写成齐次变换的形式：上式称为平移齐次坐标变换，

为平移齐次坐标变换矩阵，Trans代表平移变换。2.2.1平移坐标变换

解：由{B}系沿{A}系的Y轴正方向移动5个单位，沿{A}系的Z轴正方向移动5个单位，可知平移齐次变换矩阵由公式可知，

2.2.2旋转坐标变换2旋转坐标变换方程

上式称为坐标旋转变换方程。2.2.2旋转坐标变换2旋转坐标变换方程若运动坐标系{B}绕Z轴逆时针旋转了θ角，则此时，旋转矩阵为2.2.2旋转坐标变换2旋转坐标变换方程同理，若{B}系绕{A}系的Y轴逆时针旋转了θ角，旋转矩阵若{B}系绕{A}系的X轴逆时针旋转了θ角，旋转矩阵2.2.2旋转坐标变换2旋转齐次坐标变换

此时，旋转矩阵可以写为以下形式2.2.2旋转坐标变换

解：由题目可知，因此，（a）初始位置（b）变换前沿Z轴俯视（c）变换后沿Z轴俯视2.2.2旋转坐标变换

解：由{B}系绕{A}系的X轴逆时针旋转30°，故旋转矩阵然后，由

，可知2.2.3复合坐标变换3复合坐标变换方程

2.2.3复合坐标变换3复合坐标变换方程如图，设定过渡坐标系{C}，使{C}系坐标原点和{B}系的坐标原点重合，{C}系的姿态与{A}系相同。按照坐标旋转方程，可知点P在{C}系的描述：再由坐标平移方程，可知：2.2.3复合坐标变换例题2-14

已知运动坐标系{B}的初始位置与固定坐标系{A}重合，先将{B}系绕{A}系的X轴逆时针旋转30°，再将{B}系沿{A}系的X轴正方向平移10个单位，沿{A}系的Y轴正方向平移5个单位。求以下问题：

解：①已知{B}系绕{A}系的X轴逆时针旋转30°，因此旋转矩阵②由{B}系沿{A}系的X轴正方向平移10个单位，沿{A}系的Y轴正方向平移5个单位，可知平移向量2.2.3复合坐标变换3复合齐次坐标变换

即，上式称为复合齐次坐标变换。2.2.3复合坐标变换为了探究如何使用矩阵处理复合坐标变换，假定运动坐标系{B}相对于固定坐标系{A}依次进行了下面四个变换：1）沿{A}系的Z轴平移dz。2）绕{A}系的X轴旋转α角。3）分别沿{A}系的X、Y轴平移dx和dy4）绕{A}系的Y轴旋转β角。对于{B}系中的任意一点P，可以根据公式，可以写出每步变换后的点P在{A}系中的位置向量：因此，最终点点P在{A}系中的位置向量：可见，每次变换后，对于{B}系中的任意一点在{A}系的坐标都是通过用相应的变换矩阵左乘点P的坐标得到的。2.2.3复合坐标变换

1）绕{A}系的X轴轴逆时针旋转90°；2）沿{A}系的X、Y、Z轴正方向分别平移1、0、0个单位；3）绕{A}系的Z轴逆时针旋转90°。解：由题意可知，即，所以2.2.3复合坐标变换2.2.3复合坐标变换

1）绕{A}系的Z轴轴逆时针旋转90°；2）沿{A}系的X、Y、Z轴正方向分别平移1、0、0个单位；3）绕{A}系的X轴逆时针旋转90°。解：由题意可知，即，所以2.2.3复合坐标变换2.2.4相对运动坐标系变换1）沿{B}系的Z轴平移dz。2）绕{B}系的X轴旋转α角。3）分别沿{B}系的X、Y轴平移dx和dy4）绕{B}系的Y轴旋转β角。经过前面的讨论，当运动坐标系绕固定坐标系变换时，左乘变换矩阵；若运动坐标系绕运动坐标系变换时，则右乘变换矩阵。假定运动坐标系{B}依次进行了下面四个变换：对于{B}系中的任意一点P，有：2.2.5坐标系逆变换以

为例，若我们已知的是AP和变换矩阵，根据2.1.2节逆矩阵的相关知识，可以通过左乘变换矩阵的逆矩阵来求解BP

。具体步骤如下：为

的逆矩阵，则同理，最终可得

03PART

THREE

2.3工业机器人运动学2.3.1工业机器人运动学概述1自由度的计算如果机器人只做直线运动或回转运动，所需的自由度为1；如需要进行平面直线运动（水平面或垂直），或进行直线运动和1个方向的摆动运动，所需的自由度为2；如需要进行空间直线运动，或需要进行平面直线运动和1个方向的摆动运动，所需要的自由度为3。如图2-19所示，如要求机器人能够在三维空间内进行自由运动，则机器人必须能实现X、Y、Z三个三个方向的直线运动和围绕X、Y、Z轴的旋转运动，即需要有6个自由度。这也就意味着，如果机器人能具备上述6个自由度，执行器就可以在三维空间上任意改变姿态，实现对执行器位置的完全控制。在一些场合工业机器人具有比完成任务所需自由度更多的自由度，也就是说，其关节数目比所需的自由度多，这种机器人我们称之为冗余度机器人。与传统机器人相比，冗余自由度机器人可以通过组合不同的关节运动来获得更好的自由度。2.3.1工业机器人运动学概述高精度操作：由于冗余自由度机器人的自由度更多，因此其运动可以更加灵活自如，可以轻松完成高精度的操作任务。复杂环境下的运动：在环境复杂的情况下，传统机器人的自由度可能不足以完成任务，而冗余自由度机器人可以通过调整自身的关节组合来适应环境。轻松完成难以实现的动作：由于具有更多的自由度，冗余自由度机器人可以完成传统机器人难以实现的复杂动作和任务。冗余度机器人的特点是可以通过动态调整自身的运动轨迹来适应不同的环境和任务需求。相比传统的机器人，它具有以下优势：增加工业机器人的自由度，可以使工业机器人具有一定的冗余度使工业机器人更加灵活地适应不同任务和工作环境，但同时也增加了工业机器人的控制系统复杂程度和后期维护成本，同时也增加了工业机器人的购置成本，所以在选购工业机器人时，根据具体使用场合及成本等因素进行综合考虑选购设备。2.3.1工业机器人运动学概述2工业机器人运动学基本问题机器人运动学是从几何角度研究机器人位置、速度和加速度随时间变化的科学，不涉及机器人的物理性质和所受的力，包括正问题和逆问题两类。1）运动学正问题（直接问题）：给定特定机器人，已知杆件几何参数和关节向量，求机器人末端执行器在参考坐标系中的相对位置和姿态。2）运动学逆问题（解臂形问题）：已知机器人杆件的几何参数，给定了机器人末端执行器相对参考坐标系的期望位置和姿态，求机器人各关节角向量，即机器人各关节要如何运动才能达到这个预期的位姿？如能达到，那么机器人有几种不同形态可满足同样的条件？2.3.1工业机器人运动学概述3工业机器人正逆运动学分析2）在机器人末端执行器抵达指定位置后，对其姿态进行调整，以适应或满足期望的姿态，这涉及姿态的正逆运动学方程的求解。要确定机器人末端执行器在空间的位姿，需要在末端执行器上固定一个坐标系。要确定机器人运动后的位姿，主要分为以下两个步骤：1）在固定坐标系中，将机器人末端执行器移动至预定位置，此过程涉及位置的正逆运动学方程的求解。2.3.4多关节机器人正逆运动学方程ABB机器人手动操纵模式有三种运动模式，分别是轴运动、线性运动和重定位运动。以6轴机器人为例，每个轴由1个独立的伺服电机驱动，每次手动操纵1个关节轴的运动，称为单轴运动。2.3.4多关节机器人正逆运动学方程机器人线性运动是指安装在机器人第六轴法兰盘上的工具在空间沿着设定的坐标系的X、Y、Z方向作直线运动。在使能键按下后，操纵杆上下摆动可以操纵机器人向参考坐标系的X方向运动，操纵杆左右摆动可以操纵机器人向Y方向运动，操纵杆旋转可以操纵机器人向Z方向运动。

2.3.4多关节机器人正逆运动学方程机器人的重定位运动是指机器人第六轴法兰盘上的工具TCP点在空间中绕着工具坐标系旋转的运动，也可以理解为机器人绕着工具TCP点作姿态调整的运动。04PART

FOUR

2.4工业机器人动力学工业机器人动力学分析机器人操作的动态数学模型有两种基本的方法，即牛顿-欧拉法和拉格朗日法。牛顿-欧拉法需要从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力；拉格朗日法是基于能量平衡，只需要速度而不必求内作用力。机器人是一种主动机械装置，原则上它的每个自由度都具有独立动力。机械臂是一种多变量的、非线性的自动控制系统，也是一个复杂的动力学耦合系统。机器人的动力学是从速度、加速度和受力上来分析机器人的运动特性，也有两个基本问题：①动力学正问题：对一给定的机器人操作机，已知各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，求得机器人手腕的运动轨迹，称为动力学正问题。②动力学逆问题：对一给定的机器人操作机，已知机器人手腕的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩，称为动力学逆问题。本章小结本章主要学习了矩阵的基本概念及运算、坐标系的定义及其变换，工业机器人的正逆运动学方程，并介绍了工业机器人常用的动力学方程。首先，本章讲述了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、常见矩阵类型、逆矩阵等，并介绍矩阵的基本运算，如加法、减法、乘法等；在此基础上介绍了不同类型的坐标系，包括直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系等。接着，本章讲述了坐标系的变换，包括坐标平移变换、坐标旋转变换、坐标复合变换以及坐标逆变换等，为后续工业机器人运动学方程的推导奠定了基础。然后，本章介绍了工业机器人的正逆运动学方程。正运动学方程用于求解机器人末端执行器在给定关节角度下的位置和姿态，而逆运动学方程则用于根据目标位置和姿态计算关节角度。最后，本章介绍了两种常用的工业机器人的动力学方程。思考练习题：

思考练习题：

思考练习题：