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文档简介
模块6一阶瞬态电路的时域分析6.1瞬态过程的一般概念与初始值的计算6.2直流一阶瞬态电路的时域分析法——三要素法6.3一阶电路的零输入、零状态分析法6.4冲激响应和零状态响应本模块小结习题6对瞬态电路的分析中,列写的电路方程是微分方程或积分方程,分析方法有如下两种:
(1)时域分析法;
(2)复频域分析法。
当线性时不变电路中包含一个独立的动态元件时,电路的微分方程总可用一阶常系数线性微分方程来描述,因此称它为一阶电路;当电路包含两个独立的动态元件时,该电路总可用二阶常系数线性微分方程来描述,因此称它为二阶电路。依次类推,还有三阶、四阶等高阶电路。
一阶电路的基本形式如图6.1.1所示,它是仅含一个电容元件或一个电感元件的电路。图6.1.1一阶电路6.1瞬态过程的一般概念与初始值的计算
6.1.1瞬态过程的产生
下面通过观察直流电流通过电阻向电容器充电来说明瞬态过程的产生。电路如图6.1.2(a)所示,设开关S在t=0时闭合(即发生了换路)。换路前,即t<0时,回路电流i=0,电容C未充电,uC=0,这是一种稳定状态;当t≥0时,S已闭合,直流电压源E通过电阻R向电容C充电,电容电压uC由零值逐渐上升,同时回路电流i将由初始值E/R逐渐减小。uC与i随t的变化曲线如图6.1.2(b)所示。图6.1.2电容器充电6.1.2任一变量初始值的确定
1.关于任一变量的初始值概念
通常总是以换路时刻作为过渡过程的计时起点,即用t=0表示换路瞬间,而换路前一瞬间用t=0-表示,此时电路的状态称为原始状态或起始状态,用uC(0-)、iL(0-)表示;换路后一瞬间用t=0+表示,此时电路的状态称为初始状态,用uC(0+)、iL(0+)表示。其他任一电流变量或电压变量在换路后一瞬间t=0+的值y(0+)就是任一变量的初始值。
2.换路定理
电容和电感元件具有储能特性、动态特性和惯性特性。惯性特性从物理概念上解释了含有动态元件的电路在发生换路时必将出现过渡过程的原因,同时也提供了电路在换路时必定遵循的重要原则——换路定理。换路定理为
uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-)
(6.1.1)
它是瞬态电路分析的重要依据。式(6.1.1)表明换路后,电容两端的电压uC和流过电感元件的电流iL不会发生突变。
3.任一变量初始值y(0+)的确定
求电路中任一变量的初始值y(0+)是分析瞬态过程中很重要的一步,具体步骤如下:
(1)作t=0-时刻的电路图,在t=0-时刻,直流稳态电路中,电感元件相当于短路,电容元件相当于开路。注意:t=0-时刻为换路前的一瞬间。利用直流电阻电路的分析方法确定电路的原始状态iL(0-)和uC(0-)。
(2)根据换路定理得iL(0+)=iL(0-),uC(0+)=uC(0-)。
(3)作t=0+时刻的电路图,此时电感元件被一个理想电流源替代,其方向与iL(0+)相同,而电容元件被理想电压源替代,其极性与uC(0+)相同,如图6.1.3所示。图6.1.3
t=0+时刻L与C的电路模型
【例6.1.1】在如图6.1.4(a)所示的电路中,开关S在t=0时闭合,S闭合前电路处于稳定状态。试求初始值iL(0+)、uL(0+)。
解:首先画出t=0-时刻的电路图如图6.1.4(b)所示。在此直流稳态电路中,电感元件已作短路处理,由此得
根据换路定理得
iL(0+)=iL(0-)=1.8A
然后画出t=0+时刻的电路图如图6.1.3(c)所示,此时电感元件被一个理想电流源替代。利用直流电阻电路的分析方法可得待求变量的初始值,即
uL(0+)=36-(6+6)iL(0+)=36-12×1.8=14.4V
比较图(b)和图(c)可以看出,图(b)为t=0-时刻的电路图,换路前要考虑8Ω电阻;图(c)为t=0+时刻的电路图,换路后8Ω电阻被短路了。图6.1.4例6.1.1图
【例6.1.2】试确定图6.1.5(a)所示电路中各变量的初始值iL(0+)、u(0+)和uL(0+)。已知is(t)=10ε(-t)A。
解:已知电流源为is(t)=10ε(-t)A,这相当于电路在t=0时将10A直流电流源的作用“撤除”,即在t<0时,电流源为10A直流电流源,在t>0时,直流电流源被视为开路。
画t=0-时刻的电路图的方法是:在图6.1.5(a)中,is(t)=10A,将电感元件视为短路,则图6.1.5例6.1.2图根据换路定理得到
iL(0+)=iL(0-)=5A
图6.1.5(b)是换路后的电路图,原直流电流源10ε(-t)A支路相当于开路(即无外激励源的情况)。图6.1.5(c)是t=0+时刻的电路图,此时电感元件被一个理想电流源替代。因此,很容易得到
u(0+)=-2iL(0+)=-10V
uL(0+)=-(2+1+3)iL(0+)=-6×5=-30V
6.2直流一阶瞬态电路的时域分析法
——三要素法
6.2.1三要素法的标准公式
在动态电路中任一电流或电压的响应均由初始值y(0+)、稳态值y(∞)和时间常数τ三个因素所确定,通常将这三个因素称为三要素。分别求出这三个要素,然后代入三要素法的标准公式,求出一阶电路的响应,这种方法称为三要素法。
三要素法的标准公式是(6.2.1)
1.稳态值
作t→∞时刻的等效电路,即过渡过程结束后的另一稳态电路,确定各响应变量的稳态值y(∞)。在此电路中,电感、电容元件的处理方法与t=0-直流稳态电路的处理方法相同,即电感元件相当于短路,电容元件相当于开路。
2.时间常数
时间常数的计算公式是
【例6.2.1】求如图6.2.1(a)所示电路的时间常数τ值。已知开关S在t=0时闭合,S闭合前电路处于稳定状态。
解:作求τ的电路图,如图6.2.1(b)所示。因为是换路后的电路,所以,8Ω电阻被短路,而电压源作短路处理。从电感元件一端看过去,有
R=6+6=12Ω
所以图6.2.1例6.2.1图
【例6.2.2】求如图6.2.2(a)所示电路的时间常数τ值。
解:作求τ的电路图,如图6.2.2(b)所示。换路后电流源电流为0,该支路断路。从电感元件一端看过去,有
R=3+1+2=6Ω
所以图6.2.2例6.2.2图6.2.2三要素法的解题步骤及应用举例
用三要素法分析直流信号源或阶跃信号ε(t)作用下的一阶电路响应的解题方法如下:
(1)作四个图,即t=0-时刻电路图、t=0+时刻电路图、求时间常数τ的电路图和t→∞时刻的电路图。注意:只有t=0-时刻电路图是换路前的电路图,而t=0+时刻电路图、求
时间常数τ的电路图和t→∞时刻的电路图均为换路后的电路图。
(2)分别求出待求变量的初始值y(0+)、稳态值y(∞)和时间常数τ。
(3)将已求出的三要素y(0+)、y(∞)、τ代入三要素法的标准公式(6.2.1)中。
【例6.2.3】在图6.2.3(a)所示的电路中,开关S在t=0时闭合,S闭合前电路处于稳定状态。试求t>0时的iL(t)、uL(t)。
解:作出四个图,如图6.2.3(b)、(c)、(d)、(e)所示。图(b)为t=0-时刻的电路图,此时电感元件短路;图(c)为t=0+时刻的电路图,此时电感元件用一个理想电流源替代;图(d)为t→∞时刻的电路图,此时电感元件短路;图(e)为求时间常数τ的电路图。
注意:图6.2.3(b)、(d)均要求电感元件短路,只是图(b)是换路前的电路图,图(d)是换路后的电路图,两者不相同。
我们已在例6.1.1中求出初始值iL(0+)=1.8A,uL(0+)=14.4V,在例6.2.1中求出时间常数 ,下面根据图6.2.3(d)求稳态值。
uL(∞)=0
代入三要素法的标准公式得图6.2.3例6.2.3图
【例6.2.4】在图6.2.4(a)所示的电路中,求在t>0时的iL(t)、uL(t)和u(t)。
解:图6.2.4(b)是换路后的电路图,原直流电流源10e(-t)A支路相当于开路(即无外激励源情况)。
我们已在例6.1.2中求出初始值:
iL(0+)=5A,u(0+)=-10V,uL(0+)=-30V在例6.2.2中求出时间常数 ,下面求稳态值。图6.2.4例6.2.4图在图(b)中让电感元件短路,即得t→∞时刻的电路图,因为此电路里只有三个电阻,显然可得
iL(∞)=0
uL(∞)=u(∞)=0
iL(t)=5e-60tA
(t≥0)
uL(t)=-30e-60tV
(t>0)
u(t)=-10e-60tV
(t>0)代入三要素法的标准公式: ,当稳态值y(∞)=0时, ,所以有
6.3一阶电路的零输入、零状态分析法
6.2节介绍的三要素分析法是分析直流(或阶跃)信号激励下一阶电路的一种比较简便的方法,但这种分析法只适用于一阶电路。当激励信号比较复杂和电路的阶次比较高时,应选用零输入、零状态分析法来确定电路的响应。
在线性电路中,电路的响应由两部分产生:一部分由电路的输入激励f(t)产生;另一部分由电路的初始状态iL(0-)、uC(0-)产生。为了便于分析,把仅由电路初始储能iL(0-)、
uC(0-)引起的响应,称为零输入响应,用yzi(t)表示;把仅由输入激励f(t)产生的响应称为零状态响应,用yzs(t)表示;把由这两个原因共同产生的响应称为电路的全响应,用y(t)表示。根据线性电路的叠加定理,全响应应当等于零输入响应与零状态响应的叠加,即
y(t)=yzi(t)+yzs(t)
我们可以用三要素法求:
(1)一阶电路的零输入响应yzi(t)。
(2)当激励信号是直流(或阶跃)信号时,一阶电路的零状态响应yzs(t)。
所谓一阶电路的零输入、零状态分析法,是指用三要素法分别求出一阶电路的零输入响应yzi(t)、零状态响应yzs(t),然后将两者相加,便得到电路的全响应y(t)。
若输入信号f(t)是其他任一时间信号,如指数信号f(t)=e-atε(t),则此时求一阶电路的零状态响应yzs(t)要采用卷积积分法。 6.4冲激响应和零状态响应
6.4.1单位冲激响应
电路在单位冲激信号δ(t)作用下的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,通常用符号h(t)表示。
由于冲激响应h(t)在卷积积分中有着非常重要的作用,因此必须掌握它的计算方法。冲激响应的求取方法有直接法和间接法。对于简单电路,可用间接法计算出δ(t)作用下的零状态响应。间接法的具体步骤如下:
(1)求出阶跃响应g(t)。所谓阶跃响应g(t),是指在阶跃信号ε(t)作用下的零状态响应。阶跃响应可以用三要素法方便地得到。
(2)求冲激响应h(t)。因为冲激信号与阶跃信号之间的关系为 ,所以对于线性时不变电路而言,定有
即冲激响应是阶跃响应的导函数,从而可求得冲激响应h(t)。
【例6.4.1】
RC并联电路如图6.4.1(a)所示,若电流源is(t)=δ(t),试求电容电压的冲激响应h(t)。(6.4.1)图6.4.1例6.4.1图
解:(1)用三要素法求出阶跃响应gu(t)。如图6.4.1(b)所示,此时电流源改为阶跃信号is(t)=ε(t)。
①根据定义,阶跃响应是零状态下的响应,所以uC(0+)=0是已知条件。
②在图6.4.1(b)中,让电容器开路,就得到t→∞时刻的电路图,所以uC(∞)=Rε(t)。
③在图6.4.1(b)中,让电流源开路,即为求时间常数τ的电路图,所以τ=RC。
④将以上求得的三要素uC(0+)、uC(∞)和τ代入三要素法的标准公式中,得
(2)求冲激响应h(t)。
利用公式f(t)δ(t)=f(0)δ(t),可将上面结果化简为(6.4.2)(6.4.3)
【例6.4.2】电源is(t)的波形如图6.4.2(a)所示,已知uC(0-)=0。求t>0时的uC(t)。
解:本题要确定图6.4.2(b)所示的电路在is(t)=10δ(t)-8δ(t-2)A作用下的零状态响应uC(t),解题步骤可分为以下两步来进行:
第1步,先求激励源is(t)=δ(t)的冲激响应h(t)。本题求解阶跃响应gu(t)、冲激响应h(t)的过程和结果都与例6.4.1一样,因此只要将数据R=2Ω,C=1F带入式(6.4.2)、式(6.4.3),可得(6.4.4)图6.4.2例6.4.2图第2步,确定图6.4.2(b)所示的电路在is(t)=10δ(t)-8δ(t-2)A作用下的零状态响应uC(t)。根据线性时不变电路的特点,又由式(6.4.4)得
即在is(t)=10δ(t)-8δ(t-2)A作用下的零状态响应uC(t)为
因为当0<t<2s时,ε(t)=1,ε(t-2)=0,当t>2s时,ε(t)=ε(t-2)=1,所以得出上式。6.4.2零状态响应的确定
1.任意信号的分解
对于任意波形的信号f(t),可以用一系列矩形脉冲来近似,如图6.4.3所示。所有矩形脉冲的脉宽均为Δτ,在t=nΔτ时刻出现的矩形脉冲,其高度为f(nΔτ),即为t=nΔτ时刻的f(t)的值。
可以想像,这些矩形脉冲的脉宽Δτ取得愈小,这些矩形脉冲分量之和愈逼近f(t),当Δτ→0时,这些矩形脉冲分量之和就完全表示f(t)。
可以证明,当Δτ→0时,有(6.4.5)图6.4.3
f(t)的分解式(6.4.5)说明,任意信号f(t)可以分解成强度为f(τ)dτ、出现时间为t=τ(任意时刻)的无穷多个冲激信号之和。该式也称为卷积积分,简称卷积。通常还可将该式简写成
f(t)=f(t)*δ(t)
(6.4.6)
这一结果又表示,任意信号f(t)与冲激信号δ(t)的卷积结果仍为f(t)本身。同理,有
f(t-t0)=f(t)*δ(t-t0)
(6.4.7)
2.零状态响应的卷积表达式
由于 ,所以电路在任意信号f(t)激励下的零状态响应,也就是在信号 激励下的零状态响应。
若 ,则上式说明:输入信号为f(t)时,电路产生的零状态响应yzs(t)等于输入信号f(t)与冲激响应h(t)的卷积积分,即
实际中,对于激励信号f(t),总是有具体作用于电路的起始时间,取起始时间t=0,则t<0时,f(t)=0,因此式(6.4.8)的下限-∞改为0-;另一方面,冲激信号δ(t)只在t=0时出现,则冲激响应h(t)只可能在t≥0时才有值,同理对于δ(t-τ)产生的响应h(t-τ)必只在t≥τ时才有值,这意味着式(6.4.8)的上限不能大于t。综上所述,得(6.4.8)(6.4.9)
【例6.4.3】在图6.4.4所示的电路中,若u(t)=3e-10tε(t)V,求电感电流iL(t)的阶跃响应、冲激响应和零状态响应。
解:已知iL(0+)=iL(0-)=0。
(1)用三要素法求阶跃响应g(t)。设信号u(t)=ε(t),让电感元件短路,就得到t→∞时刻的电路图,则
让电压源短路,保留电感,图6.4.4又变成了求时间常数τ的电路图,则
R=3+6∥3=5Ω
所以图6.4.4例6.4.3图代入三要素法的标准公式,得
(2)求冲激响应,设信号u(t)=h(t),则
(3)确定在信号u(t)=3e-10tV作用下的零状态响应:6.4.3零输入、零状态法应用举例
在确定了电路的冲激响应h(t),并利用卷积积分求得电路的零状态响应yzs(t)后,即可由y(t)=yzi(t)+yzs(t)获得电路在激励信号f(t)作用下的全响应y(t)。下面用例题具体说明一阶电路零输入、零状态分析法的应用。
【例6.4.4】求图6.4.5(b)所示电路在图6.4.5(a)所示信号f(t)激励下的零状态响应yzs(t)、零输入响应yzi(t)和全响应y(t),已知uC(0-)=2V。图6.4.5例6.4.4图
解:(1)求零状态响应yzs(t)。此时设uC(0+)=uC(0-)=0,有信号f(t)=e-tε(t)。
①用三要素法求出阶跃响应gu(t)。
如图6.4.5(c)所示的电路中,f(t)=ε(t),在图(c)中让电容元件开路,便得到t→∞时刻的电路图,所以
uC(∞)=ε(t)
又在图(c)中让电压源短路,便得到求时间常数τ的电路图,因此
τ=RC=1s
代入三要素法的标准公式:②求冲激响应h(t)。
又因
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
所以
h(t)=e-tε(t)③确定在信号f(t)=e-tε(t)激励下的零状态响应yzs(t)。(6.4.10)
(2)求零输入响应yzi(t)。此时设输入信号f(t)=0,有初始状态uC(0+)=uC(0-)=2V,用三要素法求出yzi(t)。这种情况下,画t→∞时刻的电路图,应将图(b)中的电压源短路(因f(t)=0),再将电容器开路,所以:
uC(∞)=0
画求时间常数t的电路图,应将图(b)中的电压源短路,所以:
t=RC=1s
代入三要素法的标准公式:
yzi(t)=uC(0+)e-t=2e-t
(t≥0)
(6.4.11)
(3)求全响应y(t)。此时要同时考虑输入信号f(t)=e-t
e(t)和初始状态uC(0+)=uC(0-)=2V共同产生的响应,即全响应。将式(6.4.10)、式(6.4.11)的结果代入全响应公式:
y(t)=yzi(t)+yzs(t)=(t+2)e-t
(t≥0)*6.4.4卷积积分的性质
1.卷积代数
卷积积分满足交换律、分配律和结合律,即
f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)
f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t)
2.卷积的时移性
若f1(t)*f2(t)=f(t),则
f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)
3.卷积的微分性与积分性
若f1(t)*f2(t)=f(t),则卷积的微分性为
卷积的积分性为
若将卷积的微分性和积分性同时考虑,则有
上述性质可通过对卷积积分的定义式进行证明得到,要求f1(t)、f2(t)为可积函数。
【例6.4.5】用作图法求图6.4.6所示信号f1(t)和f2(t)的卷积积分。
解:(a)因为
f(t-t0)=f(t)*δ(t-t0)
所以
f1(t)*f2(t)=δ(t+1)*f2(t)=f2(t+1)
这表示,f1(t)*f2(t)等于信号f2(t)向左时移1s。作出f1(t)和f2(t)的卷积积分f1(t)*f2(t)的图,如图6.4.7(a)所示。
(b)f1(t)*f2(t)=δ(t-1)*f2(t)=f2(t-1)
这表示,f1(t)*f2(t)等于信号f2(t)向右时移1s。作出f1(t)*f2(t)的图,如图6.4.7(b)所示。图6.4.7例6.4.5图
(c)f1(t)*f2(t)=[δ(t+1)+δ(t-1)]*f2(t)=f2(t+1)+f2(t-1)
这表示,f1(t)*f2(t)等于信号f2(t)的两个时移信号f2(t+1)、f2(t-1)相加。作出f1(t)*f2(t)的图,如图6.4.7(c)所示。
(d)f1(t)*f2(t)=[δ(t+1)-δ(t-1)]*f2(t)=f2(t+1)-f2(t-1)
这表示,f1(t)*f2(t)等于信号f2(t)的两个时移信号f2(t+1)、f2(t-1)相减。作出f1(t)*f2(t)的图,如图6.4.7(d)所示。
本模块小结
1.任一变量初始值y(0+)的确定方法
(1)作t=0-时刻的电路图,确定电路的原始状态iL(0-)和uC(0-)。
(2)按换路定理uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-),求出uC(0+)、iL(0+)。
(3)作t=0+时刻的电路图,利用直流电阻电路的分析方法可得待求变量的初始值y(0+)。
2.直流信号或阶跃信号作用下一阶电路响应的三要素法标准公式
初始值y(0+)、稳态值y(∞)和时间常数τ为该公式的三要素。
求稳态值的方法是:作t→∞时刻的等效电路,即过渡过程结束后的另一稳态电路,确定各响应变量的稳态值y(∞)。
时间常数τ的计算公式是:τ=RC或 。求τ的方法为:作求τ的电路,此电路是换路后的无源电路,对于RC电路,τ=RC,对于RL电路, 。其中,R是图
6.1.1中的戴维南等效电阻。
3.阶跃响应和冲激响应
阶跃响应g(t)是在阶跃信号ε(t)作用下的零状态响应;电路在单位冲激信号δ(t)作用下的零状态响应称为冲激响应h(t)。阶跃响应可以用三要素法方便地得到,而
,即冲激响应是阶跃响应的导函数,从而可求得冲激响应h(t)。
4.一阶电路在任一时间信号f(t)激励下的零状态响应
5.零输入响应、零状态响应和全响应
仅由电路初始储能iL(0-)、uC(0-)引起的响应,称为零输入响应,用yzi(t)表示;仅由输入激励f(t)产生的响应称为零状态响应,用yzs(t)表示;由这两个原因共同产生的响应称为电路的全响应y
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