《电路与线性系统分析》课件第6章

6.1信号与系统概述6.2信号的描述与分类6.3典型信号

6.4连续信号的运算6.5连续信号的分解6.6系统及其响应6.7系统的分类6.8

LTI系统的数学模型与传输算子6.9

LTI因果系统的时域分析习题六

6.1信号与系统概述

人们每天都会与各种各样载有信息的信号密切接触。例如听广播、看电视是接收带有信息的消息；发短信、打电话，是为了把带有信息的消息借助一定形式的信号传送出去。信号是各类消息的运载工具，是某种变化的物理量，如电话铃声、交通红绿灯。不同的声、光、电信号都包含有一定的意义，这些意义统称为信息。消息中有意义或实质性的内容可用信息量度量。前几章所涉及的信号比较简单，只有直流信号与正弦信号两类。实际可以利用的信号要丰富得多，本章将介绍常用连续信号。在自然、物理、社会等诸多领域中，系统的概念与方法被广泛应用。系统泛指由若干相互作用，相互关联的事物组合而成的，具有特定功能的整体。通信、控制系统是信息科学与技术领域的重要组成部分，它们还可以组合成更复杂更高级的系统。本书下面几章以电路为系统，讨论分析电路系统的基本方法。电路与系统关系密切，都是对信号进行处理的元器件的组合体。电路与系统的主要区别是分析处理问题的角度。系统注重全局，电路更关注局部。讨论具体问题时习惯称之为电路，研究一般规律性问题时多用系统。例如同是RLC电路，电路研究的是具体元件或支路、回路上的电压或电流；系统会关注与输入输出关系相关的问题，如稳定、失真、频响等。当然许多问题相互交叉，不必严格区分，所以本书电路与系统两个名词通用。信号通过系统进行传输、处理、控制的基本理论和基本分析方法，通常可由图6.1－1所示的方框图表示。其中f(·)是系统的输入(激励)信号，y(·)是系统的输出(响应)信号，h(·)是系统特性的一种描述。“·”是信号的自变量，可以是连续变量t，也可以是离散变量n。图6.1-1信号与系统分析框图图6.1-1所示信号与系统分析框图中，有激励、系统特性、响应三个变量，描述它们的有时域、频域、复频域三种方法。需要研究的主要问题有：（1）各变量的各种不同描述方法之间的转换关系；（2）三个变量之间的关系(已知其中两个求解出第三个)。因为存在连续变量与离散变量两类不同信号的描述，为此有连续与离散两类不同的传输、处理系统。本书采用先连续信号与系统分析，后离散信号与系统分析的编排顺序。6.2信号的描述与分类

本书讨论的信号是随时间变化的电压或电流。因为信号随时间变化，可以用数学上的时间函数表示，有时亦称信号为函数f(t)，离散信号为序列x(n)，因此本书信号与函数、序列几个名词通用。信号的函数关系可以用数学表达式、波形图、数据表等表示，其中数学表达式、波形图是最常用的表示形式。各种信号可以从不同角度进行分类，常用的有以下几种。

1.确定性信号与随机信号

可以表示为确定时间函数的信号是确定性信号，也称规则信号。如正弦信号、单脉冲信号、直流信号等。不能用确定时间函数表示的信号，称其为随机信号，如只知在某时刻取某值概率的便是随机信号。从常识上讲，确定性信号不包括有用的或新的信息。但确定性信号作为理想化模型，其基本理论与分析方法是研究随机信号的基础，在此基础上根据统计特性可进一步研究随机信号。本书只涉及确定性信号。

2．周期信号与非周期信号

周期信号是依一定的时间间隔周而复始，无始无终的信号，一般表示为

f(t)=f(t+nT)

n=0,±1,…

(6.2-1)其中，T为最小重复时间间隔，也称周期。不满足式(6.2-1)这一关系的信号为非周期信号。

3．连续时间信号与离散时间信号按函数的独立变量(自变量)取值的连续与否，可将信号分为连续信号与离散信号。本书默认独立变量(自变量)为时间，实际工程中可为非时间变量。连续时间信号在所讨论的时间内，对任意时间值(除有限不连续点外)都可以给出确定的函数值。连续时间信号的幅值可以是连续的(也称模拟信号)，也可以是离散的(只取某些规定值)，如图6.2-1所示。图6.2-1连续时间信号离散信号亦称序列，其自变量n是离散的，通常为整数。若是时间信号(可为非时间信号)，它只在某些不连续的、规定的瞬时给出确定的函数值，其他时间没有定义，其幅值可以是连续的也可以是离散的。如图6.2-2所示。离散信号的幅值被量化，即只能取某些规定值(并被编码)时，称为数字信号，例如图6.2-2中的x1(n)。本书不特别说明，一般离散信号与数字信号通用。图6.2-2离散时间信号

4．能量信号与功率信号

为了了解信号能量或功率特性，常常研究信号f(t)（电压或电流）在单位电阻上消耗的能量或功率。在(-T/2~T/2)区间信号的平均功率P为(6.2-2)在(-∞,∞)区间信号的能量E为(6.2-3)如果信号f(t)的能量有界，即0<E<∞，而平均功率P=0，它就是能量信号，例如单脉冲信号。如果信号f(t)的平均功率有界，即0<P<∞，而能量E趋于无穷大，那么它就是功率信号，例如周期正弦信号。如果某信号的能量E趋于无穷大，且功率P也趋于无穷大，那么它就是非能量非功率信号，例如e-at信号。也就是说，按能量信号与功率信号分类并没有包括所有信号。

5.因果信号与非因果信号按信号所存在的时间范围，可以把信号分为因果信号与非因果信号。当t<0时，连续信号f(t)=0，则信号f(t)是因果信号，反之为非因果信号；当n<0时，离散信号x(n)=0，则信号x(n)是因果信号，反之为非因果信号。6.3典型信号6.3.1常用连续信号

1.实指数信号实指数信号如图6.3-1所示，其函数表达式为

f(t)=Aeat

(6.3-1)式中，a>0时，f(t)随时间增长；a<0时，f(t)随时间衰减；a=0时，f(t)不随时间变化。常数A表示t=0时的初始值，|a|的大小反映信号随时间增、减的速率。

图6.3-1实指数信号

2.正弦信号

正弦信号也包括余弦信号，二者只在相位上相差π/2。图6.3-2正弦信号一般正弦信号如图6.3-2所示，表示为

f(t)=Asin(ωt+θ)

(6.3-2)其中，A是振幅、ω是角频率、θ是初相。周期，T是频率f的倒数。

3.复指数信号

f(t)=Aest

(6.3-3)其中，s=σ+jω为复数，σ为实部系数，ω为虚部系数。借用欧拉公式：

Aest=Ae(σ+jω)t=Aeσtejωt=Aeσtcosωt+jAeσtsinωt（6.3-4）4.Sa(t)信号(抽样信号)

Sa(t)信号定义为

(6.3-5)

不难证明，Sa(t)信号是偶函数，当t→±∞时，振幅衰减，且f(±nπ)=0，其中n为整数。Sa(t)信号如图6.3-3所示。实际遇到的多为Sa(at)信号，表达式为

(6.3-6)

Sa

(at)波形如图6.3-4所示。图6.3-3

Sa(t)信号图6.3-4

Sa(at)信号一些信号或其导数、积分有间断（跳变）点，这样的信号也称为奇异函数（信号）。下面介绍的阶跃信号与冲激信号是典型的奇异信号。6.3.2奇异信号

1.单位阶跃信号ε(t)

定义单位阶跃信号ε(t)如图6.3-5(a)所示。大多数信号与系统教材选用u(t)作为单位阶跃信号的符号，考虑到容易与电压源u(t)混淆，本书用ε(t)表示单位阶跃信号。

(6.3-7)图6.3-5单位阶跃信号

(a)单位阶跃信号ε(t);(b)阶跃信号ε(t-t0)描述任一时刻t=t0时的阶跃信号记为ε(t-t0)，表示式为阶跃信号ε(t-t0)如图6.3-5(b)所示。利用单位阶跃信号ε(t)可以很方便地以数学函数描述信号的接入(开关)特性或因果(单边)特性。(6.3-8)(6.3-9)

例6.3-1用阶跃信号表示如图6.3-6所示的有限时宽正弦信号。图6.3-6有限时宽正弦信号

2.单位冲激函数δ(t)有几种不同定义冲激信号δ(t)的方法，最常见的是利用偶对称矩形脉冲信号取极限，思路可用图6.3-7说明。图6.3-7矩形脉冲的极限为冲激函数这是一个宽度为τ，幅度为的对称矩形脉冲信号。当保持矩形脉冲面积不变，而令宽度τ→0时，其幅度1/τ趋于无穷大，这个极限即为单位冲激函数，亦称为狄拉克函数，记为δ(t)。用矩形脉冲取极限表示的单位冲激函数为(6.3-10)单位冲激函数更一般的定义是(6.3-11)单位冲激函数的波形用箭头表示，如图6.3-8所示。描述任一时刻t=t0时的冲激函数记为δ(t-t0)，表示式为(6.3-12)由于冲激函数的幅值为无穷大，所以定义式(6.3-11)δ(t)的积分值(面积)为冲激强度，如4δ(t)、Aδ(t)。作图时强度一般标在箭头旁，如图6.3-9所示Aδ(t-t0)。图6.3-8冲激函数冲激函数还具有如下运算性质:

1)取样性或“筛选”若f(t)是在t=0及t=t0处连续的有界函数，则(6.3-13)以及(6.3-14)式(6.3-14)表明冲激函数具有取样（筛选）特性。如果要从连续函数f(t)抽取任一时刻的函数值f(t0)，只要乘以δ(t-t0)，并在(-∞,∞)区间积分即可。同理(6.3-15)

2)偶函数

δ(t)=δ(-t)

(6.3-16)证

3)与单位阶跃函数ε(t)互为积分、微分关系(6.3-17)(6.3-18)例6.3-2计算

(1)costδ(t)

(2)

解：(1)因为cos0=1,所以

costδ(t)=δ(t)

(2)因为(t2+2t+1)|t=0=1，所以

3.单位斜坡函数R(t)单位斜坡函数波形如图6.3-10所示，定义为(6.3-19)任意时刻的斜坡函数如图6.3-11所示，表示为=(t

t0)

(t

t0)(6.3-20)图6.3-10

R(t)单位斜坡函数与阶跃函数ε(t)互为微分、积分关系，即(6.3-21a)(6.3-21b)例6.3-3

f(t)如图6.3-12所示，由奇异信号描述f(t)。

解：f(t)=(t+2)[ε(t+2)-ε(t)]+(-t+2)[ε(t)-ε(t-2)]

=R(t+2)-2R(t)+R(t-2)图6.3-12例6.3-3f(t)

4.单位门函数gτ(t)单位门函数gτ(t)是以原点为中心，时宽为τ，幅度为1的矩形单脉冲信号，波形如图6.3-13所示。(6.3-22)

5.单位符号函数sgn(t)单位符号函数是t>0时为1，t<0时为-1的函数，波形如图6.3-14所示。=2

(t)1=

(

t)+

(t)(6.3-23)图6.3-13单位门函数gτ(t)图6.3-14单位符号函数sgn(t)6.4连续信号的运算

在信号的传输与处理过程中，往往需要对信号进行变换，一些电子器件被用来实现这些变换功能，并且可以用相应的信号运算表示。这样的信号运算主要有三类，一是时移、折叠、尺度；二是微分与积分，最后是信号的相加与相乘。下面分别讨论这三类信号运算。6.4.1时移、折叠、尺度

信号的时移也称信号的位移、时延。将信号f(t)的自变量t用t-t0替换，得到的信号f(t-t0)就是f(t)的时移，它是f(t)的波形在时间t轴上整体移位t0。若t0>0，f(t)的波形在时间t轴上整体右移t0；若t0<0，f(t)的波形在时间t轴上整体左移t0，如图6.4-1(b)、(c)所示。图6.4-1信号的时移将f(t)的自变量t用-t替换，得到的信号f(-t)是f(t)的折叠信号。f(-t)的波形是f(t)的波形以t=0为轴反折，所以也称时间轴反转，如图6.4-2所示。图6.4-2信号的折叠将f(t)的自变量t用at(a≠0)替换，得到f(at)称为f(t)的尺度变换，其波形是f(t)波形在时间t轴上的压缩或扩展。若|a|>1，波形在时间t轴上压缩；|a|<1，波形在时间t轴上扩展，故信号的尺度变换又称为信号的压缩与扩展。例如假设f(t)=sinω0t是正常语速的信号，则f(2t)=sin(2ω0t)=f1(t)是两倍语速的信号，而f(t/2)=sin(ω0t/2)=f2(t)是降低一半语速的信号。虽然f1(t)与f2(t)在时间轴上被压缩或扩展，但幅度均没有变化，如图6.4-3所示。图6.4-3信号的尺度变换6.4.2微分与积分微分是对f(t)求导数的运算，表示为(6.4-1)信号经过微分后突出了变化部分，如图6.4-4所示。图6.4-4信号的微分运算积分是在(-∞,t)区间对f(t)作变上限积分，表示式为(6.4-2)式中，积分上限t是参变量。信号经过积分后平滑了变化部分，如图6.4-5所示。图6.4-5信号的积分运算6.4.3信号的加(减)、乘(除)信号的相加(减)或相乘(除)是信号瞬时值相加(减)或相乘(除)。f1(t)±f2(t)是两个信号瞬时值相加(减)形成的新信号；f1(t)·f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)·[1/f2(t)]是两个信号瞬时值相乘形成的新信号。例6.4-1如图6.4-6(a)所示的f1(t)和f2(t)，求f1(t)+f2(t)、f

1(t)·f2(t)。解：(1)利用直线加直线等于直线，先分别将f1(t)、f2(t)不同直线段的端点相加。其中f1(-2)+f2(-2)=1;f1(-1)+f2(-1)=2;f1(0-)+f2(0-)=1;f1(0+)+f2(0+)=0;f1(3)+f2(3)=-1。

(2)利用信号乘以1不变，乘以-1对横轴反折，可得f1(t)·f2(t)如图6.4-6(c)所示。图6.4-6例6.4-3信号的相加与相乘6.5连续信号的分解

信号分析最重要的方法之一是将一个复杂信号分解为多个简单(基本)信号分量（信号元）之和，正如在力学问题中将任意方向的力分解为几个分力一样。从不同的角度可以将信号分解为不同的分量。本节只讨论四种基本的信号时域分解。6.5.1规则信号的分解

一般规则信号可以分解为若干简单信号的组合。下面举例说明规则信号的分解。

例6.5-1

用简单信号表示如图6.5-1所示信号f(t)。图6.5-1

(a)例6.5-1信号；(b)例6.5-1信号的分解解:f(t)可以分解为四个不同时刻出现的阶跃函数，表示为f(t)=ε(t+2)+ε(t+1)-ε(t-1)-ε(t-2)或如图6.5-1(b)所示，将f(t)分解为两个宽度不同的门函数，表示为f(t)=f1(t)+f2(t)=[ε(t+2)-ε(t-2)]+[ε(t+1)-ε(t-1)]=g4(t)+g2(t)6.5.2信号的直流与交流分解信号可以分解为直流分量fD(t)与交流分量fA(t)之和，即f(t)=fD(t)+fA(t)(6.5-1)信号直流分量fD(t)是信号的平均值。信号f(t)除去直流分量fD(t)，剩下的即为交流分量fA(t)。6.5.3信号的奇偶分解

这种分解方法是将实信号分解为偶分量与奇分量。这样分解的优点是可以充分利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。偶分量定义

fe(t)=fe(-t)(6.5-2)

奇分量定义fo(t)=-fo(-t)

(6.5-3)

任意信号f(t)可分解为偶分量与奇分量之和，因为(6.5-4)其中，(6.5-5)(6.5-6)6.5.4任意信号的脉冲分解

任意信号的脉冲分解方法之一，是将冲激信号作为基本信号元，将任意信号分解为无穷多个冲激信号。这样分解的优点是基本信号元的波形简单，响应的求解相对容易，并且可以充分利用LTI系统的叠加、比例与时不变性，方便地求解复杂信号的响应。如图6.5-2所示，任意信号f(t)分解为冲激信号之和的思路是：先把信号f(t)分解成宽度为Δt的矩形窄脉冲之和，任意时刻kΔt的矩形脉冲幅度为f(kΔt)，再令窄脉冲宽度Δt→0。

图6.5-2信号分解为脉冲之和为使分析简单，假设f(t)为因果信号。这样f0(t)=f(0)[

(t)

(t

t)]f1(t)=f(

t)[

(t

t)

(t

2

t)]fk(t)=f(k

t)[

(t

k

t)

(t

(k+1)

t)]

信号f(t)可近似表示为f(t)

f0(t)+f1(t)+f2(t)

+

fk(t)+

令窄脉冲宽度Δt→0，并对其取极限，求和运算变为积分运算。于是，用冲激函数表示任意信号的积分形式为将积分下限改为-∞，式(6.5-7)可以表示非因果信号。(6.5-7)6.6系统及其响应

6.6.1系统

系统所涉及的范围十分广泛，包括大大小小有联系的事物组合体。如物理系统、非物理系统、人工系统、自然系统、社会系统等。系统具有层次性，可以由系统嵌套系统；对某一系统，其外部更大的系统称为环境，所包含的更小系统为子系统。因为本书涉及的是电信号，所以本书的系统是产生信号或对信号进行传输、处理、变换的电路(往往也称为网络)系统。本书将用具体电路作为系统的例子，讨论信号的传输、处理、变换等内容，而本章主要讨论连续系统的相关问题。我们所涉及的系统，其功能是将输入信号转变为所需的输出信号，如图6.6-1所示。其中f(t)是系统的输入(激励)，y(t)是系统的输出(响应)。为叙述简便，激励与响应的关系也常表示为f(t)→y(t)，其中“→”表示系统的作用。图6.6-1信号与系统分析框图6.6.2系统的初始状态

在讨论连续系统响应前，先讨论连续系统的初始状态(条件)，其基本概念也可用于离散系统。“初始”实际是一个相对时间，通常是一个非零的电源接入电路系统或电路发生“换路”的瞬间，可将这一时刻记为t=t0。为讨论问题方便，本书一般将t0=0记为“初始”时刻；并用0-表示系统“换路”前系统储能的初始状态，用0+表示“换路”后系统响应的初始条件。下面以电容、电感的电压、电流关系理解系统初始状态与初始条件的概念。例6.6-1如图6.6-2所示简单电路系统，已知激励电流i(t)，求响应uC(t)。图6.6-2例6.6-1简单电路由电容的电压、电流关系(6.6-1)式(6.6-1)是一阶线性微分方程，解此方程可得响应为(6.6-2)式(6.6-2)说明电容电压与过去所有时刻流过电容的电流有关，所以也称电容为动态(记忆、储能)元件。要知道电容器全部时刻的电流iC(t)是不实际的，所以要计算uC(t),一般是由已知0+时刻开始到所要计算时刻t的iC(t)，以及此时刻前的电容电压uC(0+)来确定，即(6.6-3)式(6.6-3)中只有已知t>0时的iC(t)以及系统的初始条件uC(0+)，才能求解t>0时系统的响应uC(t)。而uC(0+)与系统的初始状态uC(0-)密切相关。uC(0-)包含了iC(t)在时刻t=0-以前的全部作用，反映了系统在该时刻的储能。由电容与电感的对偶关系，不难得到(6.6-4)以及(6.6-5)与电容情况相同，式(6.6-5)表明电感也为动态(记忆、储能)元件。只有已知t>0时的电感电压uL(t)以及系统的初始条件iL(0+)，才能求解t>0时系统的响应iL(t)。同样地，iL(0+)与系统的初始状态iL(0-)密切相关，iL(0-)反映了电压uL(t)在时刻t=0-以前的全部作用，是系统在该时刻的储能。6.6.3系统的响应

可由引起响应的不同原因来定义系统响应。当系统的激励为零，仅由系统初始状态(储能)产生的响应是零输入响应，记为yzi(t)；当系统的初始状态(储能)为零，仅由系统激励产生的响应是零状态响应，记为yzs(t)。本书系统以最高二阶为例讨论相关问题，n阶系统的响应可以类推。若系统是由二阶线性微分方程描述的，则求解响应除了激励外，还必须知道系统的两个初始条件。二阶线性微分方程的一般形式为(6.6-6)当给定y(0+),y′(0+)及f(t)，可以得到二阶线性微分方程的完全解。y(0+),y′(0+)是解二阶系统微分方程所需要的标准初始条件。本书将储能元件的初始值简称为初始状态，这样的初始状态反映了系统储能的情况。二阶电路系统中，初始状态是电感电流iL(0-)或电容电压uC(0-)，简写为{xk(0-)}(k=1,2)或{xk(0-)}。{xk(0-)}是足以求解零输入响应的已知条件。它为求t>0的系统响应提供了以往储能的全部信息。通过一定的转换，可由{xk(0-)}得到标准初始条件{y(0+),y′(0+)}，由此确定的响应是系统的零输入响应。因为零输入响应是由初始状态{xk(0-)}产生的，零状态响应是由激励f(t)引起的，所以也有教材将零输入响应记为yx(t),零状态响应记为yf(t)。6.7系统的分类与信号相似，从不同角度出发可将系统分为若干类型。如处理连续信号的连续时间系统；处理离散信号的离散时间系统；系统输出与系统储能状态无关的即时系统；系统输出与系统储能状态相关的动态系统；集中参数系统与分布参数系统；可逆系统与不可逆系统等。本书只讨论最常见的系统划分及其组合。6.7.1动态系统与静态系统含有动态元件的系统是动态系统，如RC、RL电路。没有动态元件的系统是静态系统，也称即时系统，如纯电阻电路。动态系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，还与该时刻系统的储能有关；静态系统在任意时刻的响应仅与该时刻的激励有关。描述动态系统的数学模型为微分方程，描述静态系统的数学模型为代数方程。6.7.2因果系统与非因果系统

因果系统满足在任意时刻的响应y(t)仅与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响应的原因，响应是激励的结果；响应不会发生在激励加入之前，系统不具有预知未来响应的能力。例如系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为，是一阶微分方程，而响应与激励的关系是积分关系，则系统是因果系统。响应与激励具有因果关系的连续系统也称为物理可实现系统。如果响应出现在激励之前，系统为非因果系统,也称为物理不可实现系统，书中一般不特别指明均为因果系统。例如图6.7-1(a)所示系统的响应与激励的关系为y1(t)=f1(t-1)，响应出现在激励之后，系统是因果系统；如图6.7-1(b)所示系统的响应与激励的关系为y2(t)=f2(t+1)，响应出现在激励之前，是非因果系统。图6.7-1

（a）因果系统；（b）非因果系统一般由模拟元器件如电阻、电容、电感等组成的实际物理系统都是因果系统。在数字信号处理时，利用计算机的存储功能，可以逼近非因果系统，实现许多模拟系统无法完成的功能。这也是数字系统优于模拟系统的一个重要方面。对于因果系统，在因果信号激励下，响应也是因果信号。6.7.3连续时间系统与离散时间系统激励与响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统，也称模拟系统；激励与响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统，也称数字系统。随着大规模集成电路技术的发展与普及，越来越多的系统是由连续系统和离散系统组合而成的混合系统，如图6.7-2所示的就是混合系统。图6.7-2混合系统6.7.4线性系统与非线性系统“线性”在数学上是满足叠加性与比例(齐次或均匀)性的系统。与第4章讨论线性电路条件不同的是：从本章开始要考虑影响系统响应的所有因素，即除了系统的激励之外，还有系统的储能，所以线性系统必须同时满足下面三个条件。

1.分解性

系统的响应有不同的分解形式，其中线性系统的响应一定可以分解为零输入响应与零状态响应，即系统响应可表示为y(t)=yzi(t)+yzs(t)

(6.7-1)

式中，yzi(t)是零输入响应，yzs(t)是零状态响应。

2.零输入线性输入为零时，由各初始状态{x1(0-),x2(0-)}引起的响应满足叠加性与比例性，若x1(0-)→yzi1(t)，x2(0-)→yzi2(t)

t≥0则ax1(0-)+bx2(0-)→ayzi1(t)+byzi2(t)t≥0(6.7-2)式(6.7-2)可用图6.7-3所示的方框图表示。图6.7-3零输入线性

3.零状态线性

初始状态为零时，由激励f1(t),f2(t)引起的响应具有叠加性与比例性(均匀性)，若f1(t)→yzs1(t)，f2(t)→yzs2(t)则

af1(t)+bf2(t)→ayzs1(t)+byzs2(t)(6.7-3)式(6.7-3)可由图6.7-4所示的方框图表示。图6.7-4零状态线性例6.7-1已知系统输入f(t)与输出y(t)关系如下，判断系统是否线性。

(1)y(t)=3x(0-)f(t)ε(t)

(2)y(t)=4x(0-)+2f2(t)ε(t)

(3)

解:(1)不满足可分解性，是非线性系统。

(2)不满足零状态线性，是非线性系统。

(3)满足可分解性、零输入线性、零状态线性，所以是线性系统。6.7.5时变系统与时不变系统

从系统的参数来看，系统参数不随时间变化的是时不变系统，也称非时变系统、常参系统、定常系统等；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。从系统响应来看，时不变系统在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。即在{x1(0),x2(0)}时，f(t)→y(t)，则在{x1(t0)=x1(0),x2(t0)=x2(0)}时，

f(t-t0)→y(t-t0)(6.7-4)时不变系统的输入、输出关系可由图6.7-5表示。从图6.7-5可见，当激励延迟一段时间t0加入时不变系统时，输出响应亦延时t0才出现，并且波形变化的规律不变。图6.7-5时不变系统例6.7-2已知系统激励与响应之间的关系如下，判断是否是时不变系统。y(t)=cos(3t)·x(0)+2t·f(t)ε(t)

解：初始状态x(0)与激励f(t)ε(t)的系数均不是常数，所以是时变系统。6.7.6线性非时变系统

如图6.7-6所示系统框图。图中T［］是将输入信号转变为输出信号的运算关系，可表示为y(t)=T[f(t)]图6.7-6系统框图表示系统运算关系T[]既满足线性又满足时不变性的是线性时不变系统，简写为LTI系统。对LTI系统的分析具有重要意义，因为LTI系统在实际应用中相当普遍，或在一定条件范围内一些非LTI系统可近似为LTI系统；尤其是LTI系统的分析方法已经形成了完整、严密的理论体系。而非线性系统的分析迄今没有统一通用的分析方法，只能对具体问题具体地讨论。此后，如不特别说明，本书涉及的均是LTI系统。利用LTI系统具有的叠加、比例与时不变特性，可推得LTI系统具有微分特性：若f(t)→y(t)，则证若f(t)→y(t),由时不变性，输入时移t0，输出也时移t0，得到f(t-t0)→y(t-t0)（6.7-5）由叠加性，输入为两项叠加，输出也为两项叠加，得到f(t)

f(t

t)y(t)y(t

t)再由比例性，输入乘1/Δt，输出也乘1/Δt，得到对上式两边同时取极限得到这个性质说明，当系统的输入是原信号的导数时，LTI系统的输出亦为原输出响应的导数。这一结论可以推广到高阶导数与积分，即若f(t)→y(t)，则(n为正整数)(6.7-6)(6.7-7)式(6.7-6)与式(6.7-7)表示当系统的输入是原信号的n阶导数时，系统的输出亦为原输出响应的n阶导数；当系统的输入是原信号的积分时，系统的输出亦为原输出响应的积分。LTI系统的微分特性和积分特性如图6.7-7所示。图6.7-7

LTI系统的微分特性和积分特性6.8

LTI系统的数学模型与传输算子

要分析LTI系统，首要任务是建立LTI系统的数学模型，然后再讨论分析方法。6.8.1建立LTI系统模型

由具体电路模型可以讨论系统数学模型的建立。

例6.8-1如图6.8-1所示RL串联电路，f(t)为激励信号，响应为i(t)，试写出其微分方程。图6.8-1

RL串联电路解：这是有一个独立动态元件的一阶系统，利用KVL列回路方程，可得

上式是一阶线性微分方程。一般由n个独立动态元件组成的系统是n阶系统，可以用n阶微分方程描述(或n个一阶微分方程组描述)。为突出重点，本书所涉及的系统最高一般为二阶，掌握了二阶系统的分析方法，推广到高阶系统也就不难了。6.8.2用算子符号表示微分方程

二阶LTI系统的数学模型是二阶线性常系数微分方程，一般表示为(6.8-1)式(6.8-1)的一般形式书写不方便，为了形式上简洁可以将微、积分方程中的微、积分运算用算子符号p与1/p表示，由此得到的方程称为算子方程。微分算子,(6.8-2),(6.8-3)积分算子,(6.8-4)这样，例6.8-1电路的微分方程(代入参数)可以表示为5i(t)+pi(t)=e(t)式(6.8-1)的二阶线性微分方程可以用算子表示为

p2y(t)+a1py(t)+a0y(t)=b2p2f(t)+b1pf(t)+b0f(t)

(6.8-5)上式是算子方程。算子方程中的每一项表示的是运算关系，而不是代数运算。不过模仿代数运算，可以将上式写为

(p2+a1p+a0)y(t)=(b2p2+b1p+b0)f(t)(6.8-6)式(6.8-6)是二阶线性微分方程的算子方程。在这里，利用了提取公因子的代数运算规则。若再令D(p)=p2+a1p+a0(6.8-7a)N(p)=b2p2+b1p+b0(6.8-7b)称D(p)、N(p)分别为分母、分子算子多项式，则式(6.8-6)可简化为

D(p)y(t)=N(p)f(t)(6.8-8)式(6.8-8)还可以进一步改写为(6.8-9)注意上式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系，分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系，而不是两个多项式相除的简单代数关系。6.8.3用算子电路建立系统数学模型

利用算子电路建立系统数学模型比较方便，这种方法简称算子法。它是将电路中所有动态元件用算子符号表示，得到算子电路；然后利用广义的电路定律，建立系统的算子方程；再将算子方程转换为微分方程。电感的算子表示可由其电压电流关系得到，因为(6.8-10)式中Lp是电感算子符号，可以理解为广义的电感感抗，式(6.8-10)可以理解为广义的欧姆定律。同理，由电容上的电压电流关系得到(6.8-11)式中,1/Cp是电容算子符号，可以理解为广义的电容容抗，式(6.8-11)也可以理解为广义欧姆定律。将动态元件用算子符号表示，可以得到算子电路。下面举例说明由算子电路列写系统的算子方程的方法。

例6.8-2如图6.8-1所示RL串联电路，输入为f(t)，输出为电流i(t)，用算子法列出系统的算子方程。解：将图6.8-1中的电感用算子符号表示，得到算子电路如图6.8-2所示，利用广义KVL列出算子方程式为

(p+5)i(t)=f(t)结果与例6.8-1相同。6.9

LTI因果系统的时域分析

LTI系统的响应可以分解为零输入响应和零状态响应。下面分别讨论两种响应的时域求解方法。6.9.1零输入响应

零输入响应与激励无关，其数学模型是齐次微分方程。将f(t)=0，代入式(6.8-8)的算子方程，得到D(p)y(t)=0(6.9-1)式(6.9-1)中D(p)是系统的特征多项式，D(p)=0是系统的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，称为特征根。我们先讨论一阶齐次微分方程的一般情况，再讨论二阶齐次微分方程的一般情况。一阶齐次微分方程为由系统的特征方程p-λ=0，得特征根p=λ，其解（零输入响应）的一般形式为y(t)=y(0)eλt

t>0

(6.9-3)(6.9-2)由式(6.9-3)推知，此时解的一般模式取决于特征根λ，而解的系数由初始条件确定。二阶齐次微分方程的一般算子形式为(6.9-4)由p2+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)=0，得到二阶系统的两个特征根λ1、λ2与一阶齐次微分方程相同，二阶齐次微分方程解的模式取决于特征根λ1、λ2，表达式为t>0(6.9-5)式中系数C1、C2由两个初始条件y(0)、y′(0)确定。(6.9-6)解此方程组，求出C1、C2，从而确定了二阶系统的零输入响应。以上是二阶系统特征根不同的情况，如果p2+a1p+a0=(p-λ)2=0，特征根相同，是二阶重根，此时二阶齐次微分方程解的形式为

y(t)=C1eλt+C2teλt

t>0(6.9-7)系数C1、C2仍由两个初始条件y(0)、y′(0)确定例6.9-1已知系统的传输算子，初始条件y(0)=1、y′(0)=2，试求系统的零输入响应。解：，特征根λ1=-3,λ2=-4

由式(6.9-5)，零输入响应形式为

将特征根及初始条件y(0)=1,y′(0)=2代入式(6.9-6)

yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t

t>0解出yzi(t)=6e

3t

5e

4t

t>06.9.2单位冲激响应h(t)输入为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应定义为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)，如图6.9-1所示。h(t)由传输算子表示为h(t)=H(p)δ(t)(6.9-8a)或记为δ(t)→h(t)(6.9-8b)

图6.9-1单位冲激响应h(t)二阶线性系统的传输算子为(6.9-9)为分析简便，突出求解单位冲激响应的基本方法，假设H(p)的分母多项式D(p)为单根。将分母多项式D(p)分解，并代入式(6.9-8a)，得到将其展开为部分分式之和(6.9-10)式(6.9-10)中的系数k1、k2由待定系数法确定，此式表明一个二阶系统可以分解为两个一阶子系统之和。由式(6.9-10)可分别得到一阶系统的算子方程及微分方程为

(p-λi)hi(t)=kiδ(t)(i=1,2)得到一阶子系统冲激响应的一般项为

(6.9-11)代入式(6.9-10)，二阶系统的单位冲激响应为(6.9-12)表6.9-1列出了部分Hi(p)与其对应的hi(t)，可以直接应用。表6.9-1

Hi(p)对应的hi(t)6.9.3系统的零状态响应

当系统的初始状态（储能）为零时，其响应是零状态响应yzs(t)。利用系统的单位冲激响应以及LTI系统的时不变性、比例性和积分特性，我们可以得到因果激励下因果系统的零状态响应yzs(t)。由式(6.9-8b)δ(t)→h(t)利用LTI系统的时不变性：当输入移位τ时，输出也移位τ，可以得到δ(t-τ)→h(t-τ)再由LTI系统的比例性，当输入乘以强度因子f(τ)时，输出也乘以强度因子f(τ)，得到f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)最后由LTI系统的积分特性，若输入信号是原信号的积分，输出信号亦是原信号的积分，我们有(6.9-13)式(6.9-13)右边得到的是因果系统的零状态响应。注意到，这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同，故称之为时域法；又由于式(6.9-13)是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。当已知f(t)、h(t)时，系统的零状态响应可用式(6.9-13)的卷积计算。卷积计算时，积分变量为τ，t仅是参变量，作为常数处理。卷积计算的具体步骤：第一步是变量转换，将f(t)变为f(τ)、h(τ)变为h(t-τ)；第二步是将f(τ)与h(t-τ)两个函数相乘；第三步确定积分上、下限，也就是找到f(τ)h(t-τ)相乘后的非零值区；最后，对f(τ)h(t-τ)积分得出零状态响应yzs(t)。6.9.4任意信号与δ(t)卷积

(1)任意函数与δ(t)卷积仍为原函数：f(t)*δ(t)=f(t)(6.9-14)证：

(2)任意函数与δ(t-t0)卷积，函数时移t0：f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)(6.9-15)证：例6.9-2已知某系统的冲激响应h(t)=2e-tε(t)，输入f(t)=δ(t-3)，试求系统的零状态响应yzs(t)。

解：yzs(t)=h(t)*f(t)=2e-tε(t)*δ(t-3)=2e-(t-3)

ε(t-3)6.9.5卷积的性质

1.时移

f1(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=f1(t)*f2(t-t0)(6.9-16)

证：令τ-t0=x，代入上式，得当f1(t)、f2(t)、f3(t)分别满足可积条件，一些代数性质也适合卷积运算。

2.交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(6.9-17)

f2(t)*f1(