《电路与信号》课件模块3

模块3正弦稳态电路分析3.1正弦信号的相量表示3.2电路定律的相量形式3.3阻抗和导纳3.4正弦稳态电路的相量分析法3.5正弦稳态电路的功率3.6谐振电路*3.7三相交流电路的基本知识本模块小结习题3 3.1正弦信号的相量表示

3.1.1正弦信号的表示方法和特征量

随时间变化的电流(电压)称为时变电流(电压)。时变电流(电压)在任一时刻的数值，称为它们的瞬时值。电压和电流随时间变化的情况，有些是规则的，有些是不规则的。不规则的电压和电流随时间作无规律的变化。规则的电压和电流是随时间按一定规律变化的，它们的瞬时值是一定的时间函数，一般用u(t)或i(t)表示，常简写为u或i。

在实际工作中，经常遇到的是作周期性变化的电流和电压，它们每经过一定的时间T，完成一个循环的变化，以后又按原来的规律周而复始地变化，这种电流(电压)就称为周期电流(电压)。图3.1.1给出了周期电流(电压)的几个示例。图3.1.1周期电流和电压图3.1.2表示一段电路中有正弦电流i，在图示参考方向下，其数学表达式定义如下：

i=Imcos(ωt+ψi)

式中,Im

、ω和ψi称为正弦量的三要素。

Im称为正弦量的振幅。正弦量是一个等幅振荡的、正负交替变化的周期函数。振幅是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，即cos(ωt+ψi)=1时，有

imax=Im

这也是正弦量的最大值。当cos(ωt+ψi)=－1时，将有最小值imin=－Im。图3.1.2一段正弦电流电路随时间变化的角度ωt+ψi称为正弦量的相位，也称相角。ω称为正弦量的角频率，它是正弦量的相位随时间变化的角速度，即

单位为rad/s。它与正弦量的周期T和频率f之间的关系为

频率f的单位为1/s，称为Hz(赫兹，简称赫)。我国工业用电的频率为50Hz。

ψi是正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量的初相位(角)，简称初相，即

(ωt+ψi)|t=0=ψi正弦量随时间变化的图形称为正弦波。图3.1.3是正弦电流i的波形表示(ψi＞0)。图中，横轴可以用时间t表示，也可以用ωt(单位为rad)表示。图3.1.3正弦量i的波形(ψi>0)设有两个相同的电阻R，分别通以直流电流I和周期电流i，如果在周期电流的一个周期(或其任意整数倍)内，这两个电阻R所消耗的电能相等，也就是说，就平均作功能力来说，这两个电流是等效的，则该直流电流I的数值就称为周期电流i的有效值。

当周期电流i流过电阻R时，该电阻在一个周期内所消耗的电能为

当直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内所消耗的电能为

W2=I2RT如果令W1=W2,就可以得到周期电流i的有效值的定义式，即

或

由式(3.1.1)所示的有效值定义可知，周期电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，因此，有效值又称为均方根值。(3.1.1)类似地，可得周期电压u的有效值为

当周期量为正弦电流时,将i=Imcos(ωt+ψi)代入式(3.1.1)得

或

同样也可求得正弦电压的有效值为(3.1.2)在引入有效值的概念后，正弦电流、电压的瞬时值的表示式可写为

一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值，例如日常生活中用的交流电为220V，指的就是有效值。此外，交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备的额定值也都是指有效值。电路中还经常引用“相位差”的概念描述两个同频正弦量之间的相位关系。例如，设同频正弦电流i1、正弦电压u2分别为

两个同频正弦量的相位差等于它们相位相减的结果。如果设φ12表示电流i1与电压u2之间的相位差，则有

φ12=(ωt+ψi1)－(ωt+ψu2)=ψi1－ψu2相位差可以通过观察波形确定，如图3.1.4所示。在同一周期内两个波形的极大(小)值之间的角度值(≤180°)即为两者的相位差，先到达极值点的为超前波。图3.1.4中，i1滞后u2。相位差与计时零点的选取、变动无关。图3.1.4同频正弦量的相位差3.1.2正弦信号的相量表示法

由欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ可知，正弦电流i=Imcos(ωt+ψi)可以用 取实部表示，即

式(3.1.3)把一个实数范围的正弦时间函数与一个复数范围的复指数一一对应起来了，而其复常指数部分 则把正弦信号的振幅和初相位结合起来用一个复数表示。我们把这个复常指数称为正弦信号的振幅相量，并记做

正弦电流i也可以用有效值相量来表示，即(3.1.4)(3.1.3)(3.1.5)用旋转相量概念可以清楚地说明式(3.1.3)的几何意义，即任一个正弦量在任何时刻的瞬时值等于其对应的旋转相量同一时刻在实轴上的投影，如图3.1.5所示。图3.1.5旋转相量3.1.3正弦信号的运算

1.同频正弦量的代数和

设 ， ，…，这些正弦量的和设为正弦量i，则

而

有

上式对于任何时刻t都成立，故有

2.正弦量的微分

设正弦电流

，对i求导，有

上述关系表明，复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部。其结果为

这说明正弦量的导数是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i的相量乘以jω，即表示di/dt的相量为

3．正弦量的积分

设 ，则

【例3.1.1】已知两个同频正弦电流分别为 ， 。求：(1)i1+i2；(2)di1/dt；(3) 。

解：(1)设

,其相量为

，可得

(2)

可直接用时域形式求解，也可以用相量求解。

用相量形式求解，设di1/dt的相量为K∠ψK，则有

两者结果相同。

(3)的相量为

则 。 3.2电路定律的相量形式

3.2.1基尔霍夫定律的相量形式

正弦交流电路中的各支路电流和支路电压都是同频正弦量，所以可以将KCL和KVL转换为相量形式。

对电路中任一节点，根据KCL有

由于所有支路电流都是同频正弦量，因此其相量形式为同理，对电路任一回路，根据KVL有

由于所有支路电压都是同频正弦量，因此其相量形式为

3.2.2电路基本元件伏安关系的相量形式

对于图3.2.1(a)所示的电阻R，当有正弦电流iR通过时，电阻两端的电压uR为

uR=RiR

(或iR=GuR，G=1/R)

uR和iR为同频正弦量，其相量形式为

所以 UR=RIR

(或IR=GUR)

(3.2.2)(3.2.1)图3.2.1电阻中的正弦电流当有正弦电流iL通过图3.2.2(a)所示的电感L时，有

其相量形式为

所以

图3.2.2(b)是表示电感的电压相量和电流相量形式的示意图，图(c)则为电感中正弦电压和电流的相量图。(3.2.3)(3.2.4)图3.2.2电感中的正弦电流式(3.2.4)中，UL/IL=ωL，用XL表示，即XL=ωL，称为电感的电抗，简称为感抗，单位为欧姆，体现的是电感元件阻止正弦电流通过的性质。感抗XL与电阻R的不同之处是：XL是频率的函数，在L一定时，XL与ω成正比。当ω=0(直流)时，XL=0，UL=0，说明电感L对直流相当于短路，失去了限流和分压的作用；当ω很大时，XL也很大，说明高频电流不容易通过。把XL随频率变化的关系(XL～ω)用图形描绘出来，称为感抗的频率特性，如图3.2.3所示。图3.2.3感抗的频率特性当电容C上电压uC为正弦量时，如图3.2.4(a)所示，电容电流iC为

其相量形式为

所以

而电容电压uC滞后其电流iC的相位为π/2。

图3.2.4(b)是表示电容C的电压相量和电流相量的示意图，图(c)则为电容电压和电流的相量图。图3.2.4电容中的正弦电流与感抗一样，容抗XC也是频率的函数，但与频率的关系却跟感抗相反，在电容量为定值时，XC与ω成反比变化。当ω=0(直流)时，XC=∞，IC=0，说明电容元件对直流相当于开路；当ω很大时，XC很小，说明高频电流很容易通过电容元件。XC的频率特性如图3.2.5所示。图3.2.5容抗的频率特性

【例3.2.1】

1μF电容两端的电压为

(1)求通过电容的电流i。

(2)如电压的频率增加一倍，重做(1)题。

解法一：(1)当ω=104rad/s时，容抗

根据式(3.2.6)，通过电容的电流已知电压的初相ψu=－60°，而通过电容的电流超前于其两端电压90°，故电流的初相为

ψi=ψu+90°=－60°+90°=30°

所以电流瞬时值的表达式为

(2)当频率增加一倍，即ω=2×104rad/s时，容抗

通过电容的电流

所以电流瞬时值的表示式为

解法二：用相量关系式解。

写出已知电压u的相量

运用式(3.2.5)，当ω=104rad/s时，有

根据算得的电流相量写出对应的正弦电流

当ω=2×104rad/s时，有

所以

【例3.2.2】

10mH电感两端的电压为

(1)求通过电感的电流i；

(2)如电压的频率增加一倍，重做(1)题。

解法一：(1)当ω=1000rad/s时，感抗

XL=ωL=1000×10×10－3=10Ω

根据式(3.2.4)，通过电感的电流

已知电压的初相ψu=30°，而通过电感的电流滞后于其两端的电压90°，故电流的初相

ψi=ψu－90°=30°－90°=－60°所以电流瞬时值的表示式为

(2)当频率增加一倍，即ω=2000rad/s时，感抗

XL=2000×10×10－3=20Ω

通过电感的电流

电流瞬时值的表示式为

解法二：用相量关系式解。

写出已知电压u的相量

运用式(3.2.3)，当ω=1000rad/s时，有

根据算得的电流相量写出对应的正弦电流

当ω=2000rad/s时，有

所以

3.3阻抗和导纳

3.3.1阻抗

图3.3.1(a)所示为RLC串联电路，图(b)是与之对应的相量电路。

根据KVL可得图3.3.1

RLC串联电路及相量模型式中：

阻抗Z可以写成极坐标形式：(3.3.1)(3.3.2)由式(3.3.2)可见:

当XL＞XC时，X为正，φ＞0，电路呈感性，电压超前于电流。

当XL＜XC时，X为负，φ＜0，电路呈容性，电压滞后于电流。

当XL＝XC时，X＝0，φ＝0，电路呈电阻性，电压与电流同相，这种状况称为谐振，将在3.6节详细讨论。

RLC串联电路的相量图及其对应的阻抗三角形如图3.3.2所示。图3.3.2

XL>XC的电压三角形和阻抗三角形

【例3.3.1】电路如图3.3.1所示，已知R=15Ω，L=12mH，C=5μF，外加电压 。求电路中的电流i和各元件上的电压uR、uL和uC。

解：写出已知电压u的相量

电路的阻抗

其中所以

Z=15+j60－j40=15+j20=25∠53.1°Ω

电路中的电流相量

各元件上的电压相量分别为

它们的瞬时值表示式分别为

【例3.3.2】已知图3.3.1所示的电路中，R=5Ω，L=8mH，C=200μF，若外加电源电压的角频率ω=1000rad/s，试求电路的复阻抗，若ω=500rad/s，试求电路的复阻抗，并说明这两种角频率下复阻抗的性质。

解：

(1)由w=1000rad/s，得

XL=wL=1000×8×10－3=8Ω

所以

Z=R+jX=5+j(XL－XC)=5+j(8－5)

=5+j3=5.8∠31°Ω

由于j=31°>0，因此电路呈感性。

(2)由ω=500rad/s，得

XL=ωL=500×8×10－3=4Ω

所以

Z=R+jX=R+j(XL－XC)=5+j(4－10)

=5－j6=7.8∠－50.2°Ω

由于j=－50.2°＜0，因此电路呈容性。

3.3.2导纳

图3.3.3(a)所示的是RLC并联电路，图(b)是与之对应的相量电路。设电路两端的电压

u=Umcosωt图3.3.3

RLC并联电路及其相量模型按照图示电压及各电流的参考方向，有

根据KCL可得

i=iR+iL+iC这里的iR、iL和iC都是同频率的正弦量，因此可以表示为相量形式：

若令 ，则上式可以写为

式(3.3.3)也称为欧姆定律的相量形式。式中，复数(3.3.4)(3.3.3)导纳Y也可以写成极坐标形式

式中，y是导数的模，φy是Y的辐角(称为导纳角)，即可见，y和φy都是与电路参数及频率有关的量。由于

而导纳Y又可表示为

Y=y∠φy

因此，有

G、B和y之间的关系可以用一个直角三角形来表示，如图3.3.4(b)所示，这个三角形称为导纳三角形。(3.3.5)图3.3.4

BC>BL时的电流三角形和导纳三角形

【例3.3.3】电路的相量模型如图3.3.5(a)所示，已知 ，求、

、

和

。

解：

所以图3.3.5例3.3.3图它们的相量如图3.3.5(b)所示。从以上对RLC元件的串、并联电路的分析中可以看出，只要将各个元件都看成是一个阻抗(或导纳)，那么它们与电阻元件的串、并联特点是一样的。这个结论可以推广到复杂的串、并联电路，如图3.3.6所示的电路中，阻抗串联、并联和分压、分流的关系为图3.3.6阻抗的串、并联

【例3.3.4】已知图3.3.7所示的电路中R1=5W，XL=10W，XC=40W，R2=30W。试求该电路的复阻抗Z。

解：由图3.3.7可知：图3.3.7例3.3.4图3.3.3阻抗与导纳的等效转换

等效的概念也可用于相量模型。在正弦稳态电路中，一个线性无源二端网络的输入阻抗(见图3.3.8)可表示为

Z=R+jX

它的最简形式相当于一个电阻和一个电抗相串联，而用导纳表示为

Y=G+jB

它相当于一个电导与一个电纳相并联。可见,同一电路可以有串联和并联两种等效的电路模型，如图3.3.9所示。图3.3.8无源二端网络图3.3.9相量模型的等效若已知Z=R+jX，则

显然，等效并联电路的电导和电纳分别为

注意：一般情况下G并非R的倒数，B也并非X的倒数。

在图3.3.10(a)所示的串联电路中，若w=1rad/s，R=1W，X=1W，则与之等效的并联电路如图3.3.10(b)所示，其中， 。

(3.3.6)图3.3.10相量模型的等效(1)同理，若已知Y=G+jB，则串联模型的电阻和电抗为

注意：一般情况下R并非G的倒数，X也并非B的倒数。

在图3.3.11(a)所示的并联电路中，若ω=1rad/s，G=1S，B=1S，则与之等效的串联电路如图3.3.11(b)所示，其中， ， 。，图3.3.11相量模型的等效(2) 3.4正弦稳态电路的相量分析法

通过以上各节的讨论可知，如用相量表示正弦交流电路的电压和电流，那么这些相量必须服从基尔霍夫定律的相量形式和欧姆定律的相量形式。这些定律的形式与直流电路中同一定律的形式完全相同，其区别仅在于在正弦交流电路中不直接用电压和电流，而用代表电压和电流的相量，不用电阻和电导，而用阻抗和导纳(见表3.4.1)。表3.4.1正弦交流电路和直流电路中服从基尔霍夫定律和欧姆定律的形式用相量法分析正弦稳态电路的步骤如下：

(1)将正弦量的激励源用相量表示。

(2)将R、L、C转换成阻抗或导纳，将电路由时域模型转换成相量模型。

(3)在相量模型中，利用直流电路的一整套方法求解激励相量作用下的响应相量。

(4)将响应相量还原成时域的正弦量。

在求解给定相量模型中确定激励相量作用下的响应相量问题时，上述步骤中，(1)、(2)、(4)均省略。

下面通过例题说明正弦稳态电路的相量分析法。

【例3.4.1】电路如图3.4.2(a)所示，已知us(t)=40cos(3000t)V，求i(t)、iL(t)、iC(t)、uL(t)及uC(t)。图3.4.2例3.4.1图

解：(1)将激励源us(t)用相量表示：

(2)将电路时域模型图(a)转换成相量模型图(b)。其中：

(3)在相量模型图(b)中，用直流电路的分析方法求激励下的响应相量、、、

及

。利用阻抗串、并联法可求得输入阻抗(即等效阻抗)值为

由欧姆定律得总电流

由分流关系式得当然，也可由KCL得到：

欧姆定律可得电压

当然，也可由分压关系得到：

(4)将响应相量还原为时域的正弦量。故有

【例3.4.2】试求图3.4.3所示复杂电路中的电流。

解：在正弦稳态电路的相量模型中，无论电路结构如何复杂，都会满足相量形式的KCL、KVL和欧姆定律。因此，以两大基本定律为基础的网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理和电源等效转换等直流电路的一整套方法完全可以推广应用到正弦稳态电路的相量模型中。下面分别利用上述方法分析此例题。

解法一：应用叠加定理求。

由图3.4.3可得图3.4.3例3.4.2图一

解法二：应用网孔法求。

设网孔电流、如图3.4.4所示，并设理想电流源的端电压为，则

整理方程组①，可得

由方程组②可得①②图3.4.4例3.4.2图二

解法三：应用节点法求。

设节点②为参考点，即=0，如图3.4.5所示。

对于节点①：

所以

据KVL，有

所以图3.4.5例3.4.2图三

解法四：应用戴维南定理求。

断开待求支路，使图3.4.3变成一个含源二端网络，如图3.4.6(a)所示，可得开路电压

作图3.4.6(a)所对应的无源二端网络，如图(b)所示，则等效复阻抗

Z0=1+j1Ω

将待求支路与戴维南等效电路连接成单一回路，如图(c)所示。由图(c)得图3.4.6例3.4.2图四

解法五：应用电源等效转换求。

将图3.4.3依次进行电源等效转换，如图3.4.7(a)、(b)所示。由图(b)得图3.4.7例3.4.2图五 3.5正弦稳态电路的功率

图3.5.1中，N0为任意一个无源二端网络，设输入电压为u(t)=Umcos(ωt+ψu)V，输入电流为i(t)=Imcos(ωt+ψi)A。

1.瞬时功率p(t)

根据功率的定义，在u(t)、i(t)为关联参考方向的情况下,有(3.5.1)图3.5.1无源二端网络

2.平均功率

根据平均功率定义

因平均功率是指电阻消耗的功率，故平均功率P也可以表示为(3.5.3)(3.5.2)

3.无功功率

无功功率反映了电源与电抗性负载之间能量互换的最大速率。电感元件的无功功率QL=ULIL，电容元件的无功功率QC=UCIC。在RLC串联电路中，与相位相反；在RLC并联电路中，与相位相反。因而在一般电路中总的无功功率应是电路中所有电感和电容无功功率的代数和(QL取正号，QC取负号)，即

Q=QL－QC=UIsinφ

(3.5.4)

无功功率的单位为乏(var)。

4.视在功率

电压有效值U和电流有效值I的乘积称为视在功率，用字母S表示，表示式为

S=UI

(3.5.5)

5.复功率

无源二端网络N0的功率也可用电压相量和电流相量来计算。在关联参考方向时，将电压相量与电流相量的共轭的乘积定义为复功率，用符号表示，即

显然，复功率的模就是视在功率S，即(3.5.6)(3.5.7)由此可以看出，视在功率、平均功率、无功功率三者的关系满足直角三角形关系。这个直角三角形称为功率三角形，如图3.5.2(a)所示。在RLC串联电路中，功率三角形与电压三角形相似，前者可以看成是后者各边的大小同乘以I而得到的。因此可以推出，功率三角形、电压三角形与阻抗三角形是三个相似三角形，如图3.5.2(b)所示；同理，在RLC并联电路中，功率三角形与电流三角形和导纳三角形也是三个相似三角形。图3.5.2功率三角形和电压三角形相似

【例3.5.1】求图3.5.3所示的以a、b为端子的负载网络的、P、Q和cosφ。已知Us=U∠0°=100∠0°V。

解：

所以，以a、b为端子的负载网络的平均功率等于电阻上消耗的功率，即

同理，可得图3.5.3例3.5.1图

二端网络总的无功功率

Q=QL－QC=50var

据功率三角形关系，可得

功率因数角所以功率因数

cosφ=cos45°=0.707

复功率

6.最大功率传输条件

在图3.5.4中，为信号源电压相量，Zs=Rs+jXs为信号源的内阻抗，ZL=RL+jXL为可调的负载阻抗。

由图3.5.4可知，电路中的电流相量为图3.5.4最大功率的传输条件电流的有效值为

因此负载吸收的功率为

(1)当负载ZL的电抗XL可调时，若XL=－Xs，则上式的分母值最小，这时负载电抗与电源内电抗互相抵消，整个电路呈现纯电阻性，负载ZL吸收的功率最大，其值为

(2)当负载ZL的电阻RL和电抗XL都可调时，首先调变XL,使XL=－Xs，然后再调变RL，当RL=Rs时，在ZL上可进一步获得最大功率Pmm，其值为

上述这种当ZL=Z*s时可在ZL上获得最大功率Pmm的工作状态称为共轭匹配。(3.5.8) 3.6谐振电路

3.6.1串联谐振电路

对于由R、L、C三类基本元件所构成的电路，当元件参数与外加电源的频率满足某一关系时，电路的等效电抗(或电纳)等于零，此时电路呈纯电阻性。若电路中有电流，则该电流与外加电源电压的相位相同，这种现象称为谐振。

当元件R、L、C串联时所发生的谐振称为串联谐振。如图3.6.1所示的电路中，若外加电压为

相量表达形式为图3.6.1

RLC串联电路由图可知电路的复阻抗为

Z=|Z|∠φ

电路中电流为

欲使与相位相同，则

即若设谐振时的角频率为ω0，则

因ω0=2πf0

，故谐振频率为

进而可得(3.6.1)(3.6.2)(3.6.3)

【例3.6.1】已知某收音机的调谐回路可简化成图3.6.2所示的形式。其中，线圈的电感值L=300μH，电容为一可变电容器，欲使电路对频率为525～1605kHz范围内的信号发生谐振，电容C可调节的范围应为多大？

解：由谐振条件 得

当f0=525kHz时,有

当f0=1605kHz时,有图3.6.2例3.6.1图

所以C的调节范围为32.8～306pF。

串联谐振电路具有如下特点：

(1)电抗为零，阻抗最小且为一纯电阻，即Z=R，电路中的电流最大，并且与外加电压同相位，即

(2)串联电路谐振时，虽然电抗为零，但感抗和容抗都不为零，这时的感抗或容抗称为电路的特性阻抗并用ρ表示，且ρ为

(3)串联电路谐振时，由于电抗为零，阻抗角为零，所以电路的功率因数为

cosφ=1

(4)谐振电路的特征阻抗r(等于感抗ω0L或容抗)与电阻R之比，称为电路的品质因数Q，即

串联电路谐振时，电感元件两端的电压与电容元件两端的电压大小相等，相位相反，且为外加电压的Q倍，即

得

一般Q值的范围在200～500之间。因此，串联电路谐振时，其电感两端的电压与电容两端的电压均比外加信号源的电压大许多倍。因此把串联谐振又称做电压谐振。谐振时各元件电压的相量关系如图3.6.3所示。图3.6.3串联谐振电路相量图

RLC串联电路发生谐振时，电路吸收的有功功率为

P=UIcosφ=UI=RI2

无功功率为

Q=QL－QC=UIsinφ=0

得 QL=QC

上式表明，串联电路谐振时，电源不向电路输送无功功率，电感中的无功功率与电容中的无功功率相互完全补偿，电感和电容相互进行能量交换，而不与电源交换能量。

(5)串联谐振电路的谐振曲线和选择性。由R、L、C参数所组成的串联电路中，阻抗的模 ，阻抗角 。它们的频率特性如图3.6.4所示。

当ω从零开始增大时，电抗X的值从－∞开始逐渐向+∞增加，即电抗由开始的负值(容性)经过零转变为正值(感性)。当ω=ω0时，感抗XL与容抗XC值相等，电抗X为零，即图3.6.4串联电路的频率特性由R、L、C组成的串联电路阻抗的模为

当外加电压有效值不变、而频率改变时，可得电流的频率特性为(3.6.4)为了对不同Q值的谐振曲线进行比较，将式(3.6.4)改写成如下形式：

式(3.6.5)为电流谐振曲线方程，它表明了随的变化关系。影响这一关系的只有品质因数Q值。若取横轴为，纵轴为，则对应不同的Q值，谐振曲线如图3.6.5所示。

由图3.6.5可知，Q值越大,曲线变化越尖锐；Q值越小，曲线变化越平坦。(3.6.5)图3.6.5串联电路的谐振曲线谐振电路的通频带是指当外加信号电压的最大值保持不变时，电路中的电流不小于谐振电流的 的那段频率范围。这段频率范围通常称为谐振电路的通频带并用B表示，如图3.6.6所示，且有

B=f2－f1

式中，f1称为电路的下边界频率，f2称为电路的上边界频率。

可以证明:(3.6.6)图3.6.6通频带3.6.2并联谐振电路

由电感线圈、电容器和角频率为ω的正弦电流源组成的并联谐振电路如图3.6.7(a)所示。图中，R代表线圈的损耗电阻。

1.并联谐振电路的谐振条件

由图3.6.7(a)可知，电路的输入导纳为

式中：图3.6.7并联谐振电路

根据上式可知，当电纳B=0时，Y=G为纯电导，电路端电压与总电流同相，表明电路进入谐振状态。可见，并联谐振电路的谐振条件是电路的电纳为零。设此时的电源频率为w0，即有

由上式解得(3.6.8)(3.6.7)式(3.6.8)为计算并联谐振频率的精确公式。当回路电阻R较小、谐振频率较高、满足R＜w0L(称为高频小损耗)时，有近似公式：

从而求得

因此，在高频小损耗条件下，并联谐振频率与串联谐振频率相同。(3.6.9)＜

2.并联谐振电路的特性

并联电路谐振时，电路的谐振导纳 为最小，呈电导性；相应的并联谐振阻抗 为最大，呈电阻性。又由式(3.6.7)可得 ，则谐振阻抗Z0可记为

通过上面的分析可得，在高频小损耗情况下，图3.6.7(a)谐振时对应的相量等效电路如图3.6.7(b)所示。(3.6.10)并联谐振电路的品质因数为任一电纳支路在谐振时的电纳值与电导值之比，即

在电流源一定的情况下，谐振回路将有最大的电压 ，且与同相位。此时有(3.6.11)可见，两个并联支路的电流大小近似相等，并为电流源I的Q倍，相位近于反相，可以看做是环绕LC回路流动的回路电流，形成电磁振荡。因此，并联谐振又称为电流谐振。并联谐振时的相量图如图3.6.7(c)所示。

3.并联谐振的频率特性与通频带

并联谐振电路的谐振曲线表示并联电路中端电压的频率特性，作为通用特性曲线， 与串联谐振电路的 对偶，曲线形状完全相同，只不过这里表示的是LC并联电路的端电压随频率的变化规律，故不再赘述。 *3.7三相交流电路的基本知识

3.7.1三相电路的基本概念

三相电路就是由三相电源供电的正弦稳态电路。三相电源通常是发电厂的三相发电机。三相发电机与一般的交流发电机一样，是利用电磁感应原理制成的。特殊之处在于，三相发电机有三个绕组，三个绕组相互错开120°的角度放置，其感应电压是同频的相位互差120°的正弦电压。三个绕组有星形和三角形两种连接形式。

三相发电机的相量模型如图3.7.1所示，其中图(a)为星形连接，图(b)为三角形连接。图3.7.1三相发电机的相量模型由于三相发电机的结构特点，、、是同频、等幅、相位上相差120°的一组三相电压，称为对称三相电压。设它们的有效值为Up，以为参考相量，则、、为

以ω表示其角频率，它们的函数式为

波形图与相量图如图3.7.2所示。图3.7.2对称三相电压的波形图和相量图三角形连接的三相电压源中，3个线电压为

可知，3个线电压也是一组对称三相电压，其有效值(用Ul表示)是相电压有效值的倍，即(3.7.1)3.7.2三相电路的连接形式

三相电压源接上三相负载，就构成了三相电路。三相负载是3个负载的特定组合。例如,三相电动机就有3个绕组，是一个完整的三相负载。有些负载(如电灯、电烙铁等)虽然每个负载只需接一相电源，但是把它们互相组合起来也能构成三相负载。

三相负载的组合方式也有星形方式和三角形方式两种，如图3.7.3所示。图3.7.3三相负载的星形组合与三角形组合3.7.3三相电路的计算

由于星形连接与三角形连接可以进行等效互换，因此对于多种形式的三相电路分析，只抓住一种形式进行分析就足够了。图3.7.4所示是对称星形负载与对称三角形负载间的等效互换，等效条件也列在图中。图3.7.4对称三相负载的Y-△等效图3.7.5所示是对称星形电源与对称三角形电源间的等效互换，其等效条件如下：

Y→△时， ，φ12=φ2+30°

△→Y时， ，φl=φ12－30°

利用等效变换，四种三线制的三相电路总可以等效变换为其中任一种。考虑到四线制三相电路，下面选择Y-Y三相电路为典型电路进行分析。图3.7.5对称三相电源的Y-△等效

1.一般分析

三相四线制电路如图3.7.6所示。其中，Zl为火线阻抗，Zo为中线阻抗。选定线电流、、的参考方向从电源到负载，中线电流的参考方向从负载到电源。三相电路仍是正弦稳态电路，可用任何一种方程法分析。例如用节点法，可求得(3.7.2)各火线阻抗、负载阻抗上的电压为

各线电流为

中线电流为(3.7.5)(3.7.4)(3.7.3)图3.7.6三相四线制电路

2.对称三相电路的特点

1)对称星形负载

由于Za=Zb=Zc=ZY，因此式(3.7.2)为

进而式(3.7.3)成为是一组对称三相电压。各线电流即式(3.7.4)成为

是一组对称三相电流。中线电流应为零，即

负载端线电压

2)对称三角形负载

因Z12=Z23=Z31=Z△，故等效变换得 ，如图3.7.7所示。图3.7.7对称△负载及其等效在等效电路中，前面已有结论，、、是一组对称三相电流，、、是一组对称三相电压，因此在对称三角形负载中，线电流、、和相电流、、都是对称三相电流。由于

因此，可作出如图3.7.8所示的电流相量图。图3.7.8对称△负载电流相量图3.7.4中线的重要作用

图3.7.9所示的三相电源相序为a→b→c，相电压Up=200V，三相负载中，a相接一个额定值为P1e=100W、U1e=220V的纯电阻负载Z1，b相接一个额定值为P2e=25W、U2e=220V的纯电阻负载Z2，c相开路。

在有中线(即开关S接通)时，Z1、Z2承受的电压值都是220V，符合额定要求，能正常工作。在没有中线(即开关S断开)时，Z1、Z2串联，承受电压 。根据负载额定值，可求得各自的阻抗：图3.7.9中线的作用

于是Z1、Z2各自承受的电压值为

显然，U1<U1e，负载Z1工作不正常；U2>U2e，负载Z2可能烧坏。

可见，中线可以保证各相供电独立，不会造成相互影响。

本模块小结

1.正弦信号的三个特征量及其相量表示

对于正弦电流信号：

(1)只有同频率的相量之间才能进行比较和运算。

(2)只有两个同频率的正弦量之间才有相位差可言。相位差等于两者的初相之差。相位差φ的取值范围为0～±π。

当φ=0时，称两个正弦量为同相； 时，称两者正交；φ=±π时，称两者为反相。

2.元件VCR的相量表示(电压、电流取关联参考方向)

时域表示 相量表示

电阻元件：

电感元件：

电容元件：从元件VCR的相量形式可以清楚地看出，在正弦稳态电路中，电阻上的电压和电流同相，电感上的电压超前电流90°,电容上的电压滞后电流90°。感抗XL=wL,容抗

欧姆定律的相量形式： ，Z为阻抗； ，Y为导纳。其中， ， 。

3.基尔霍夫定律的相量表示

时域表示 相量表示

KCL： 或

KVL： 或

4.相量分析法

在分析正弦稳态电路时，由于响应的w