《电路分析简明教程》课件第1章

1.1电路和电路模型1.2电路变量1.3基尔霍夫定律1.4电阻元件1.5电源1.6电路等效1.7含独立源电路的等效1.8动态元件1.9应用实例习题1第1章电路的基本概念和定律

1.1电路和电路模型1.1.1电路模型

电路(electriccircuit)是由电器件互连而成的电流通路。实际电路的功能繁多,概括地说,电路的主要作用是能量的传送与转换和信号的传递与处理。譬如,电力系统的发电机将热能(或水位能、原子能等)转换为电磁能,经输电线传送给各用电设备(如电灯、电动机等),这些设备将电磁能转换为光、热、机械能等。通常将供给电磁能的设备统称为电源,将用电设备统称为负载。又如,生产过程中的控制电路是用传感器将所观测的物理量(如温度、流量、压力等)变换为电信号(电压或电流),经过适当的“加工”处理得出控制信号,用以控制生产操作(如断开电炉的电源停止加热或接通电源加热等)。电视机是将接收到的高频电信号经过变换、处理(如选频、放大、解调等),将分离出的图像信号送到显像管,在控制信号的作用下,将信号显示为画面;同时将伴音信号传送到扬声器转换为声音。在电源的作用下电路中产生电压和电流,因此,电源又称激励源,由激励在电路中产生的电流和电压统称为响应。根据激励与响应之间的因果关系,有时又把激励称为输入,把响应称为输出。

实际电路在运行过程中的物理表现相当复杂,要在数学上精确描述这些物理现象很困难。为了定量地从理论上研究电路的性能,将组成实际电路的电器件在一定的条件下按其主要电磁性质加以理想化,从而抽象出一系列具有单一电磁性质的理想化元件。如电阻器、灯泡、电炉等器件,它们的主要特征是消耗电能,可以用理想电阻元件来反映其消耗电能的特征,其模型符号如图1.1-1(a)所示;类似地,各种电容器主要储存电能,用理想电容元件来反映其储存电能的特征,其模型符号如图1.1-1(b)所示;各种电感线圈主要储存磁能,用理想电感元件来反映其储存磁能的特征,其模型符号如图1.1-1(c)所示。图1.1-1理想的电阻、电容、电感元件模型

有了这些理想元件模型之后,对任何一个实际电器件,就可以忽略一些次要特性,而用足以反映其电磁性能的一些理想元件模型来表示,以构成实际电器件的电路模型。例如,电阻器、灯泡、电炉等,它们的主要电磁性能是消耗电能,在低频应用时,其储存的电能和磁能比起消耗的电能来说很微小,可以忽略不计,此时它的电路模型都可用图1.1-1(a)所示的理想电阻表示。再如一个用铜丝绕制的电感线圈,如图1.1-2(a)所示。在低频应用时,其主要电磁性能是储存磁能,它所消耗的和储存的电能都很小,与储存磁能相比可以忽略不计,它的电路模型就可用1.1-1(c)所示的理想电感表示;在高频应用时,它消耗的和储存的电能将增大,建模时必须考虑,其电路模型如图1.1-2(b)所示。图1.1-2实际电感线圈及其模型

实际电路的电路模型就是用一些理想化的元件,相互连接组成理想化电路,用以描述该实际电路,进而对电路模型进行分析,分析结果就基本反映了实际电路的物理过程。

电路理论研究的对象不是实际电路,而是理想化的电路模型。电路理论中所说的电路是指由一些理想化的电路元件按一定方式连接组成的总体。1.1.2集中参数电路实际电路器件中的耗能和储能现象交织在一起并发生在整个器件中。只有当电路器件尺寸l远小于电路最高工作频率f所对应的波长λ(λ=c/f,c=3×108m/s),即l≪λ

(1.1-1)时,才可以认为传送到实际电路各处的电磁能量是同时到达的。这时,与电磁波的波长相比,电路尺寸可以忽略不计,发生在电路中的耗能和储能现象可以分开考虑。从电磁场理论的观点来看,整个实际电路可看作是电磁空间的一个点,这与经典力学中把小物体看做质点相类似。

式(1.1-1)称为电路的集中参数假设条件。满足集中参数假设条件的电路称为集中参数电路(lumpedparametercircuit)。通常所说的电路图是用“理想导线”将一些电路元件符号按一定规律连接组成的图形。电路图中,元件符号的大小、连线的长短和形状都是无关紧要的,只要能正确地表明各电路元件之间的连接关系即可。实际电路的几何尺寸相差甚大。对于电力输电线,其工作频率为50Hz,相应的波长为6000km,因而30km长的输电线只有波长的1/200,可以看做是集中参数电路。对于电视天线及其传输线来说,其工作频率为108Hz的数量级。譬如10频道,其工作频率约为200MHz,其相应的工作波长为1.5m,这时0.2m长的传输线也不能看做是集中参数电路。对于不符合集中化假设的实际电路,需要用分布参数电路(distributedparametercircuit)理论或电磁场理论来研究。需要注意的是,不应把实际器件(有的也称为元件)与电路元件(理想化的)混为一谈。各种电子设备使用的电阻器、电容器、线圈、晶体管等,在一定的条件下,可用某种电路元件或一些电路元件的组合来模拟。同一个器件,由于工作条件不同或精度要求不同,它的模型也不相同。用理想化的模型模拟实际电路总有一定的近似性，也就是说，用电路元件互连来模拟实际电路，只是近似地反映实际电路中所发生的物理过程。不过，由于电路元件有确切的定义，分析运算是严谨的，这就能保证这种近似有一定的精度，而且还可根据实际情况改善电路模型，使电路模型所描述的物理过程更加逼近实际电路的物理过程。大量的实践经验表明，只要电路模型选取适当，按理想化电路分析计算的结果与相应实际电路的观测结果是一致的。当然，如果电路模型选取不当，则会造成较大的误差，有时甚至得出互相矛盾的结果。1.2电路变量1.2.1电流及其参考方向

在电场力的作用下,电荷有规则地定向移动形成电流（current）。单位时间内通过导体横截面的电荷量q定义为电流强度，简称电流，用符号i或i(t)表示，即

(1.2－1)

式中，电荷量的单位是库(C)，时间的单位是秒(s)，电流的单位是安(A)。

习惯上把正电荷运动的方向规定为电流的实际方向。通常在分析电路问题时，先指定某一方向为电流方向，称为电流的参考方向，用箭头表示，如图1.2-1中实线箭头所示。如果电流的参考方向与实际方向(虚线箭头)一致，则电流i为正值(i>0)，如图1.2-1(a)所示;如果电流的参考方向与实际方向相反，则电流取负值(i<0)，如图1.2-1(b)所示。这样，在指定的电流参考方向下，电流值的正或负就反映了电流的实际方向。电流的参考方向是任意指定的,一般用箭头表示;有时也用双下标表示,如iab,表示其参考方向为由a指向b。今后在电路图中只标明参考方向。图1.2-1电流的参考方向1.2.2电压及其参考极性

电路中，电场力将单位正电荷从某点移到另一点所作的功定义为该两点之间的电压，也称电位差，用u或u(t)表示，即式中,功w(t)的单位是焦(J),电压的单位是伏(V)。通常,两点间存在电压时,高电位端为“+”极,低电位端为“-”极。(1.2-2)

像需要为电流指定参考方向一样,也需要为电压指定参考极性(也称参考方向,“+”极到“-”极的方向)。在分析电路问题时,先指定电压的参考极性,“+”号表示高电位端,“-”号表示低电位端,如图1.22(a)所示。如果电压的参考极性与实际极性一致,电压u>0;如果参考极性与实际极性相反,电压u<0。电压的参考极性是任意指定的,一般用“+”、“-”表示;有时也用箭头表示参考极性(如图1.22(b)),箭头由“+”极指向“-”极;也可用双下标表示,如uab,表示a点为“+”极,b点为“-”极。电流、电压的参考方向在电路分析中起着十分重要的作用。电流、电压是代数量,既有数值又有与之相应的参考方向才有明确的物理意义。只有数值而无参考方向的电流、电压是没有意义的。对一个元件或一段电路上的电压、电流的参考方向可以分别独立地任意指定,但为了方便,常常采用关(associated)参考方向,即电流的参考方向和电压的参考方向一致,如图1.23(a)所示。这时在电路图上只需标明电流参考方向或电压参考极性中的任何一种即可。电流、电压参考方向相反时称为非关联参考方向,如图1.23(b)所示。图1.2-2电压的参考极性电流、电压的参考方向在电路分析中起着十分重要的作用。电流、电压是代数量，既有数值又有与之相应的参考方向才有明确的物理意义，只有数值而无参考方向的电流、电压是没有意义的。对一个元件或一段电路上的电压、电流的参考方向，可以分别独立地任意指定，但为了方便，常常采用关联参考方向，即电流的参考方向和电压的参考方向一致，如图1.2-3(a)所示。这时在电路图上只需标明电流参考方向或电压参考极性中的任何一种即可。电流、电压参考方向相反时称为非关联参考方向,如图1.2-3(b)所示。图1.2-3参考方向通常在任意瞬间t的电流、电压分别用i(t)、u(t)表示,也常简写为i、u。如果它们的大小和方向都不随时间变化,则称为直流电流、直流电压,用大写字母I、U表示。测量直流电流时要根据电流的实际方向将电流表串联接入待测支路中,使电流从直流电流表的正极流入。测量直流电压时,应根据电压的实际极性将直流电压表并联接入电路,使直流电压表的正极接所测电压的实际高电位端,负极接所测电压的实际低电位端。例如,理论计算得Uab=5V,Ubc=-3V,I=1A,若要测量这些电压和电流,电压表和电流表应按照图1.2-4所示接入电路,图中,分别为电压表和电流表,两边所标示的“+”、“-”号分别为直流电压表和电流表的正、负极。图1.2-4直流电压和电流测量电路在实际应用中，上述电流、电压的单位有时过小或过大，这时可在各单位前加适当的词头，形成十进倍数单位和分数单位，例如1μA(微安)=10-6A，1mV(毫伏)=10-3V，3kΩ(千欧)=3×103Ω，2GHz(吉赫)=2×109Hz，等等。部分常用国际单位制词头见表1-1。表1-1部分国际单位制(SI)词头1.2.3功率和能量功率(power)是指某一段电路吸收或提供能量(energy)的速率,用符号p(t)表示,其数学定义式为

（1.2-3）式中,dw为dt时间内电场力所作的功。功率的单位为瓦(W)。

功率与电压和电流密切相关。正电荷从电路元件上电压的“+”极经元件移到“-”极是电场力对电荷作功的结果，这时元件吸收能量;反之，正电荷从电路元件的“-”极移到“+”极，则必须由外力(化学力、电磁力等)对电荷作功以克服电场力，这时电路元件发出能量。若某元件两端的电压为u，在dt时间内流过该元件的电荷量为dq，那么，根据电压的定义式(1.2-2)，电场力作的功dw(t)=u(t)dq(t)。在电流与电压为关联参考方向的情况下(这时，正电荷从电压“+”极移到“-”极)，由式(1.2-5(a))和式(1.2-1)可得，在dt时间内电场力所作的功，即该元件吸收的能量为

dw(t)=u(t)i(t)dt(1.2-4)图1.2-5吸收功率

能量对时间的变化率称为电功率。于是，电路元件吸收的电功率p(t)定义为(1.2-5(a))需要注意的是，式(1.2-5(a))是在电压、电流为关联参考方向下推得的(参看图1.2-5(a))，如果电压、电流为非关联参考方向，如图1.2-5(b)所示，则电路元件吸收的功率p(t)为

p(t)=-u(t)i(t)(1.2-5(b))利用式(1.2-5(a))计算功率时，如果p>0，表示元件吸收功率;如果p<0，表示元件吸收的功率为负值，实际上它将发出功率。设t=t0时元件的能量为w(t0)，t时刻元件的能量为w(t)，在u与i为关联参考方向的情况下，对式(1.2-3)从t0到t积分，可求得从t0到t时间内元件吸收的能量为(1.2-6)上式中，为避免积分上限t与积分变量t相混淆，将积分变量换为ξ。若选t0=-∞,且假设w(-∞)=0,则(1.2-7)一个二端元件(或电路)，如果对于所有的时刻t，元件吸收的能量满足(1.2-8)①数学符号的意思是所有的，一切的。意思是对于所有的时刻t(t>-∞)。则称该元件(或电路)是无源的,否则就称其为有源的。图1.2-6例1.2-1图

例1.2-1

图1.2-6是由A和B两个元件构成的电路，已知u=3V，i=-2A。求元件A和B分别吸收的功率。

解对元件A来说，u与i为关联参考方向;对元件B来说，u与i为非关联参考方向。因此

pA吸=ui=3×(－2)=－6W

pB吸=－ui=－3×(－2)=6W

例1.2-2

某一段电路电流、电压为关联参考方向，其波形如图1.2-7(a)所示。分别画出其功率和能量的波形，并判断该电路是无源电路还是有源电路。图1.2-7例1.22图解由图1.2-7(a)可写出因此其功率和能量的波形分别如图1.2-7(b)和(c)所示。由图1.2-7(c)可见，w(t)满足式(1.2-8),因此，该段电路是无源电路。1.3基尔霍夫定律

电路是由一些电路元件相互连接构成的总体。电路中各元件的电流和电压受到两类约束。一类是元件的相互连接给元件电流之间和元件电压之间带来的约束,称为拓扑约束(topologicalconstraint)。这类约束由基尔霍夫定律体现。另一类是元件的特性造成的约束,即每个元件上的电压与电流自身存在一定的关系,称为元件约束(elementconstraint)。1.3.1电路图

图1.3-1(a)是由6个元件相互连接组成的电路图，各元件的端电压、电流均为关联参考方向。如前所述,在电流、电压取关联参考方向的前提下,其参考方向可只标示一种(这里只标示电流的参考方向)。如果仅研究各元件的连接关系暂不关心元件本身的特性,则可用一条线段来代表元件。这样,图1.3-1(a)所示的电路图就可简化表示为图1.3-1(b)的拓扑图,简称图(graph)。标明参考方向的图称为有向图(directedgraph)。通常图中的参考方向与相应电路图中电流(或电压)的参考方向相同。电路图中的每一个元件，即图中的每一条线段，称为支路(图论中常称为边)，支路的连接点称为节点(或结点)。图1.3-2(a)和(b)中有1，2，…，6等6条支路;有a，b，c，d等4个节点。在图中，从某一节点出发，连续地经过一些支路和节点(只能各经过一次)，到达另一节点，就构成路径。如果路径的最后到达点就是出发点，则这样的闭合路径称为回路。图1.3-1电路图及其拓扑图1.3.2基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律(KCL)可表述为:对于集中参数电路中的任一节点，在任意时刻，流出该节点电流的和等于流入该节点电流的和，即对任一节点，有(1.3-1)例如,图1.3-2是某电路图中的一个节点p,根据KCL,在任意时刻有i1(t)+i3(t)+i4(t)=i2(t)+i5(t)图1.3-2KCL用于节点如果流出节点的电流前面取“+”号，流入节点的电流前面取“-”号，则KCL可表述为:对于集中参数电路中的任一节点，在任意时刻，所有连接于该节点的支路电流的代数和恒等于零，即对任一节点有(1.3-2)对于图1.3-3的节点p，KCL方程为i1-i2+i3+i4-i5=0。

KCL通常用于节点，它也可推广用于包括数个节点的闭合曲面(可称为广义节点，即图论中的割集)。图1.3-4中，对于闭合曲面S，有-i3-i4-i5+i8+i9=0图1.3-3KCL用于广义节点

例1.3-1

如图1.3-5所示的电路，已知i1=-5A，i2=1A，i6=2A，求i4。图1.3-4例1.3-1图

解为求得i4，对于节点b，根据KCL有-i3-i4+i6=0，即

i4=-i3+i6

为求出i3，可利用节点a，由KCL有i1+i2+i3=0，即

i3=-i1-i2=-(-5)-1=4A将i3代入i4的表达式，得

i4=-i3+i6=-4+2=-2A或者，取闭合曲面S，如图1.3-5中虚线所示，根据KCL，有

-i1-i2+i4-i6=0

可得

i4=i1+i2+i6=-5+1+2=-2A1.3.3基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律(KVL)可表述为:在集中参数电路中，任意时刻，沿任一回路绕行，回路中所有支路电压的代数和恒为零，即对任一回路有(1.3-3)图1.3-5KVL应用在电路分析时，常常需要求得某两节点之间的电压，譬如图1.3-6中节点a、d之间的电压uad。为了叙述方便，这里各支路电压用双下标表示。如图1.3-6中，uab=u1，ubc=-u2,ucd=u3，ude=u4，uea=-u5。根据KVL，沿a、b、c、d、e、a的绕行方向有

u1-u2+u3+u4-u5=0以上结果表明，在集中参数电路中，任意两点(譬如p和q)之间的电压upq等于沿从p到q的任一路径上所有支路电压的代数和，即(1.3-4)

例1.3-2

如图1.3-6所示的电路，已知u1=10V，u2=-2V，u3=3V，u7=2V。求u5、u6和ucd。图1.3-6例1.3-2图

解由图可见

u5=ubc=uba+uac=-u1+u3=-7V

由于u6=uad，沿a、b、e、d路径，得u6=uab+ube+ued=u1+u2-u7=6V

ucd=uca+uad=-u3+u6=3V或者沿路经c、a、b、e、d，得

ucd=uca+uab+ube+ued=-u3+u1+u2-u7=3V基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律是集中参数电路的基本规律。KCL描述了电路中任一节点处,各支路电流的约束关系,实质上是电荷守恒原理的体现;KVL描述了在电路的任一回路中,各支路电压的约束关系,实质上是能量守恒原理的体现。KCL和KVL仅与电路中元件的相互连接形式有关,而与元件自身的特性无关,它是元件互连的拓扑约束关系。KCL和KVL不仅适用于线性电路,也适用于非线性电路;不仅适用于非时变电路,也适用于时变电路。1.4电阻元件1.4.1二端电阻

二端电阻是最常见的耗能型元件。电阻器、灯泡、电炉等在一定条件下可以用二端电阻作为其模型。二端电阻元件可定义为:一个二端元件，如果在任意时刻t，其两端电压u与流经它的电流i之间的关系(VCR)能用u~i平面(或i~u平面)上通过原点的曲线所确定，就称其为二端电阻元件，简称电阻元件。由于电压和电流的单位是V和A，因而电阻元件的特性称为伏安特性或伏安关系(VAR)。如果电阻元件的伏安特性不随时间变化(即它不是时间的函数)，则称其为非时变(或时不变)的，否则称为时变的;如其伏安特性是通过原点的直线，则称为线性的，否则称为非线性的。本书涉及最多的是线性非时变电阻元件。线性非时变电阻元件的伏安特性是u~i平面上一条通过原点的直线，如图1.4-1(b)所示。在电压、电流参考方向相关联(图1.4-1(a))的条件下，其电压与电流的关系就是熟知的欧姆定律，即

u(t)=Ri(t)

t

(1.4-1)式(1.4-1)和(1.4-2)常称为电阻的伏安关系。式中，R为元件的电阻，单位为欧(Ω);G是元件的电导，单位为西(S)。电阻R和电导G是联系电阻元件的电压与电流的电气参数。对于线性非时变电阻元件，R和G都是实常数，它们的关系是(1.4-3)线性非时变电阻元件也简称为电阻。这里，“电阻”一词及其符号R既表示电阻元件也表示该元件的参数。通常所说的电阻，其伏安特性如图1.4-1(b)所示，其电阻R(或电导G)为正值,可称为正电阻(或正电导)，一般将“正”字略去。用电子器件也能实现图1.4-1(c)所示的伏安特性，其电阻(或电导)为负值，称为负电阻(或负电导)。图1.4-1线性非时变电阻的伏安特性需要特别注意的是，以上的论述是在元件端电压u与通过它的电流i为关联参考方向的前提下得出的。如果电阻元件的端电压u与电流i为非关联参考方向，如图1.4-2所示，则欧姆定律的表示式(1.4-1)和(1.4-2)应该为

u(t)=-Ri(t)(1.4-4a)

i(t)=-Gu(t)(1.4-4b)图1.4-2u、i为非关联参考方向有两个特殊情况值得留意:开路和短路。当一个二端元件(或电路)的端电压不论为何值时，流过它的电流恒为零值，就把它称为开路。开路的伏安特性在u~i平面上与电压轴重合，它相当于R=∞或G=0，如图1.4-3(a)所示。当流过一个二端元件(或电路)的电流不论为何值时，它的端电压恒为零值，就把它称为短路。短路的伏安特性在u~i

平面上与电流轴重合，它相当于R=0或G=∞，如图1.4-3(b)所示。图1.4-3开路和短路由式(1.2-5a)、(1.4-1)和(1.4-2)可得，在电压、电流取关联参考方向时，在任一时刻t，电阻吸收的功率p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)=Gu2(t)

(1.4-5)由式(1.2-7)得，从-∞直到时刻t，电阻吸收的能量(1.4-6)由以上二式可见，对于通常所说的电阻(即R≥0，G≥0)恒有(1.4-7)

p(t)≥0，w(t)≥0

t

这表明,在任何时刻,(正)电阻都不可能发出功率(或能量),它吸收的电磁能量全部转换为其他形式的能量。所以,(正)电阻不仅是无源元件而且是耗能元件。对于负电阻元件,R≤0,G≤0。显然有p(t)≤0,w(t)≤0。它可以向外部电路提供功率和能量,是供能元件。实际上,负电阻是某些对外提供电磁能量的电子装置的理想化模型。(1.4-8)1.4.2分立电阻与集成电阻

任何材料都有电阻。导体、半导体和绝缘体三者的区别是材料的电阻率ρ。通常，ρ<10-4Ω·m的材料称为导体，ρ>104Ω·m的材料称为绝缘体，半导体的ρ介于导体和绝缘体之间。一段长度为L、截面积为S、电阻率为ρ的材料，其电阻值为

1.分立电阻器的主要参数电子电路中单个使用的具有电阻特性的元件，称为分立电阻器。前面讨论的电阻元件是由实际电阻器抽象出来的理想化模型。电阻元件和电阻器这两个概念是有区别的。电阻元件的参数只有一个电阻值,而电阻器的元件参数包括:标称值、容差、额定功率、温度系数等。标称值(标准电阻值)是指标志在电阻器上的电阻值。标称阻值是有规定的,一般可以1.0Ω，1.1Ω,1.2Ω,1.3Ω,

1.5Ω,1.6Ω,1.8Ω,2.0Ω,2.2Ω,2.4Ω,2.7Ω,3.0Ω,3.3Ω,3.6Ω,3.9Ω,4.3Ω,4.7Ω,5.1Ω,5.6Ω,6.2Ω,6.8Ω,7.5Ω,8.2Ω,9.1Ω等以及乘10次幂的阻值。不同系列的电阻器,其标称阻值会有所不同。如果从电路模型中算出的电阻值为70Ω,工程上只能选68Ω电阻,因为实际中没有标称值为70Ω的电阻。批量生产的电阻器很难具有完全一样的阻值。电阻器的实际阻值与标称值之间的相对误差称为电阻的误差,即

阻值的误差容限称为电阻器的容差,记为ε。容差按大小一般分三级:ε=±5%为Ⅰ级,ε=±10%为Ⅱ级,ε=±20%为Ⅲ级。对于精密电阻,容差等级有±0.05%、±0.2%、±0.5%、±1%等。电阻器所允许消耗的最大功率称为电阻器的额定功率。当电阻器的额定功率是实际承受功率的1.5~2倍以上时才能保证电阻器可靠工作。此外,随着温度变化,材料的电阻率也发生变化,从而导致电阻器的阻值变化。某些材料构成的电阻器的温度降到一定值后,其阻值可能迅速减至零,此时称该电阻器进入了超导状态。

2.常用电阻器的特点

(1)碳膜电阻器的特点:稳定性好，噪声低，阻值范围宽(1Ω~10MΩ)，温度系数不大且价格便宜，额定功率可达2W。它是电子电路中使用最广泛的电阻。

(2)绕线电阻器的特点:阻值精度高，噪声小，稳定性高，温度系数低，但阻值小(0.1Ω~5MΩ),体积较大，固有电感及电容较大，因此，一般不能用于高频电路。

(3)金属膜电阻器的特点:温度系数低，并且很牢固，使用寿命长，它广泛应用于稳定性和可靠性要求较高的电路中。

(4)金属氧化膜电阻器的特点:性能可靠，额定功率大(最大可达15kW)，但其阻值范围较小(1Ω~200kΩ)。图1.4-4矩形扩散电阻

3.集成电阻集成电阻又称扩散电阻、薄层电阻。通过复杂的扩散工艺在硅片上生成一定尺寸的薄层而制成的电阻，称为扩散电阻。考虑最简单的情况，图1.4-4给出一块扩散有均匀材料的矩形扩散电阻，由式(1.4-8)，可得其电阻值为(1.4-9)式中，ρ为材料的电阻率;L、W分别为矩形扩散电阻的长度和宽度;x为矩形扩散电阻的扩散厚度。材料的电阻率和扩散电阻的扩散厚度由集成电路生产线工艺所决定，因此，生产线工艺一旦确定，则式(1.4-9)中的ρ/x为固定值，设计人员所能改变的就只有扩散电阻的长度和宽度。为此，集成电路设计中将ρ/x定义为方块电阻(也称薄层电阻)，记为R□，单位为Ω□(欧姆每方)，即(1.4-10)式(1.4-9)用方块电阻表示为(1.4-11)1.5电源1.5.1电压源一个二端元件，如其端口电压总能保持为给定的电压us(t)，而与通过它的电流无关，则称其为电压源。图1.5-1电压源符号

电压源的图形符号如图1.5-1(a)所示。如us(t)为恒定值，则称其为直流电压源或恒定电压源，有时用图1.5-1(b)所示的图形符号表示，其中长的一端为“+”极，短的一端为“-”极。干电池两端的电压基本不随负载的变化而变化,可看作电压源。话筒是一种声电传感器,它将声能转换为电能。话筒两端的电压随声音的强弱变化,但基本上与其电流无关,因此也可看作电压源。将理想电压源接上外部电路N,可观测其端口的电压u和电流i,如图1.5-2(a)所示。电压源具有如下特点:

(1)无论通过它的电流为何值，电压源的端口电压u总保持u(t)=us(t)。如果us是直流电压源Us(Us为常数)，则电压源端口电压u与流过它的电流i的关系(即伏安特性)是一条位于u=Us且平行于电流轴的直线，如图1.5-2(b)所示。如果uS是随时间变化的,则平行于电流轴的直线也随之改变其位置,如图1.5-2(c)所示图1.5-2电压源的特性

(2)电压源的电流由电压源和与它相连的外电路共同决定。电压源的端口电压u与电流i可表示为(1.5-1)顺便指出,电压源的端电压与电流常采用非关联参考方向,如图1.52(a)所示。此时,电压源发出的功率为p=uSi,它也是外电路N吸收的功率。如果电压源的端口电压uS恒等于零,则其伏安特性与电流轴相重合,该电压源相当于短路。1.5.2电流源一个二端元件，如其端口电流值总能保持为给定的电流is(t)，而与其端口电压无关，则称其为电流源。电流源的图形符号如图1.53所示。如iS(t)为恒定值,则称为直流电流源或恒定电流源。太阳能电池是一种光电传感器,它将光能转换为电能。太阳能电池上的电流随光的强弱而变化,但基本上与其两端的电压无关,因此可看作电流源。图1.5-3电流源符号将理想电流源接上外部电路N，可观测其端口的电压u和电流i，如图1.5-4(a)所示。电流源具有如下特点:

(1)无论其端口电压u为何值，电流源的电流i总保持i(t)=is(t)。如果is是直流电流源Is(Is为常数)，则电流源的伏安特性是一条位于i=Is且平行于电压轴的直线，如图1.5-4(b)所示。如果is是随时间变化的，则平行于电压轴的直线也随之改变其位置，如图1.5-4(c)所示。图1.5-4电流源的特性

(2)电流源的端口电压由电流源和与它相连的外电路共同决定。电流源的端口电压u与电流i可表示为(1.5-2)电流源的端口电压与电流也常采用非关联参考方向,如图1.5-4(a)所示。此时,电流源发出的功率为p=uiS,它也是外电路N吸收的功率。如果电流源的电流iS恒等于零,则其伏安特性与电压轴相重合,该电流源相当于开路。独立电源的特点是,电压源的电压uS和电流源的电流iS,都不受电路中其它因素的影响,是独立的。它们作为电源或输入信号,在电路中起着“激励”作用,将在电路中产生电压和电流,这些由激励引起的电压和电流就是“响应”。

例1.5-1

如图1.5-5所示的电路，求电压源产生的功率和电流源产生的功率。

解由图可见，根据电流源的定义，电流I=Is=1A,它也是通过电压源的电流。由于Us与I为关联参考方向，故电压源吸收的功率图1.5-5例1.5-1图根据KVL，电流源的端口电压

U=RI+Us=RIs+Us=5V由于Is与其端口电压U为非关联参考方向，故电流源产生的功率

PIs=UIs=5W电阻R消耗的功率：

从该例可看出,独立源并不总是发出功率。充电中的可充电电池就是独立源吸收功率的一个实例。对于一个完整的电路,电源发出的总功率为PUS+PIS=-2+5=3W,电阻吸收的功率为PR=3W。即发出功率与吸收功率互相平衡,这是能量守恒原理的体现。1.5.3电路中的参考点在电路分析中，常常指定电路中的某节点为参考点，计算或测量其它各节点对参考点的电位差，称其为各节点的电位，或各节点的电压。如图1.5-6(a)所示的电路，若选节点d为参考点，节点a、b、c的节点电位或节点电压分别用Una、Unb、Unc表示;在不致混淆的情况下，也常用Ua、Ub、Uc表示，则

Una=Uad=US1

，Unb=Ubd=R3I3

Unc=Ucd=－US2

，Und=Udd=0

由此可见,参考点的电位为零。在电力工程中,常选大地为参考点,即认为大地的电位为零。在电子线路中,常规定一条公共导线作为参考点,这条公共导线常是众多元器件的汇集点,常称为地线。元件的一端若与地线相接,称为接地,接地的符号如图1.5-6(a)和(b)中的d处。需要强调指出,电路中某点的电位随参考点选取位置的不同而改变,不指明参考点而谈论某点的电位是没有意义的;而电压是两点之间的电位差,与参考点的选取无关。在电子线路中,为了电路图的简练醒目,对于有一端接地(参考点)的电压源常不再画出电源符号,而只在电源的非接地的一端处标明电压的数值和极性。按这种简略画法,图1.5-6(a)的电路可画为图1.5-6(b)。图1.5-6参考点

例1.5-2

如图1.5-6(b)所示的电路，已知Us1=6V，Us2=3V，R1=2Ω，R2=6Ω,R3=6Ω，求节点b的节点电压Ub。

解首先标明各支路电流（或电压）的参考方向。显然有，Ua=US1=6V，Uc=－US2=－3V。由图可见，ab间的电压所以

bc间的电压Ubc=Ubd

－Ucd=Ub

－Uc

=Ub

－(－3)=Ub+3所以

对于节点b，根据KCL有

I1=I2+I3图1.5-7例1.5-4图将I1、I2、I3代入上式，得

例1.5-4

如图1.5-7所示的电路，,US=12V，N为某用电设备，今测得UN=6V，IN=1A，其参考方向如图所示。(1)求未知电阻R;(2)电压源和电流源产生的功率。可解得Ub=3V。

解首先标明有关电流I1、I2、I3的参考方向。

(1)为求得电阻R，需要求得Uc和I3。若以d为参考点，则

Ua=Us=12V，Ub=UN=6V所以根据KCL，对于节点b，有

I2=I1-IN=0.5A对于节点c，有

I3=I2+Is=1.5A

cd两点间的电压，即c点的电压(以d为参考点)

Uc=Ucd=Ucb+Ubd=-6I2+UN=3V

所以，电阻(Ucd与I3为关联参考方向)

(2)为求得电压源和电流源产生的功率，需求出电压源的电流I和电流源的端电压U，其参考方向如图1.5-7所示，它们都是非关联参考方向。根据KCL，电压源的电流

I=I1+Is=1.5+1=2.5A所以，电压源产生功率

PUs=UsI=12×2.5=30W

根据KVL，电流源的端电压

U=Ucd+Uda=Uc-Ua=3-12=-9V所以，电流源产生的功率

PIs=UIs=(-9)×1=-9W实际上,电流源吸收功率为9W。1.5.4受控源非独立电源是指电压源的电压或电流源的电流不是给定的时间函数，而是受电路中某支路电压或电流控制的，因此常称为受控源。根据控制量是电压还是电流，受控的电源是电压源还是电流源，受控源有四种基本形式，它们是:压控电压源(VCVS)、流控电压源(CCVS)、压控电流源(VCCS)和流控电流源(CCCS)。图1.5-8是它们的电路符号，受控源的电源符号用菱形表示。独立电源是一端口元件，只需一个方程就可以表征其特性。而受控源是二端口元件，其元件特性需用两个方程来描述。其端口电压、电流关系分别为(1.5-3)(1.5-5)(1.5-4)(1.5-6)式中μ,r,g,α是控制系数,其中μ和α无量纲,r和g分别具有电阻和电导的量纲。当这些系数为常数时,被控电源数值与控制量成正比,这种受控源称为线性非时变受控源。图1.5-8受控源的四种形式受控源是一种有源元件。下面以VCVS为例讨论受控源的有源性。将VCVS的控制关系代入式(1.2-7)，得由于uC、iS在电路中可能为正也可能为负,上式不能确保对任意t均不小于零。因此,受控源是有源元件。需要指出,独立源和受控源是两个不同的物理概念。独立源在电路中起着“激励”作用,它是实际电路中电能量或电信号“源泉”的理想化模型;而受控源是描述电子器件中某支路对另一支路控制作用的理想化模型,它本身不直接起“激励”作用。图1.5-9例1.5-4图

解图1.5-9是含流控电压源的电路。可以求得控制电流

i1=6/12=0.5A从而受控源的端电压u2=4i1=2V。于是未知电流

ix=u2/5=0.4A

例1.5-4

如图1.5-9所示的电路，求ix。

解如图是含有压控电流源的电路。可以求得控制电压u1=4×1＝4V从而受控源的电流i2=0.5u1=2A。由于ux与i2为非关联参考方向，所以

ux=-5i2=-10V

例1.5-5

如图1.5-13所示的电路，求5Ω电阻两端的电压ux。图1.5-10例1.5-5图

例1.5-6

图1.5-11所示是放大器的简化模型。已知R1=2Ω，R2=15Ω，α=4，输入电压ui=2cost(V)，求输出电压uo。

解对于节点a，根据KCL，考虑到i2=αi1，有i3=i1+i2=(1+α)i1图1.5-11例1.5-6图输入电压

ui=R1i3=R1(1+α)i1

输出电压

uo=-R2i2=-R2αi1

所以即可见,输入电压被放大到6倍,但极性相反。1.6电路等效1.6.1电路等效的概念

对于结构、元件参数完全不同的两部分电路B和C，如图1.6-1所示。若B和C具有完全相同的端口电压电流关系(VCR)，则称B与C是端口等效的，或称电路B和C互为等效电路。图1.6-1具有相同端口VCR的两部分电路相等效的两部分电路B与C在电路中可以相互替换，替换前的电路与替换后的电路对任意外部电路A中的电压、电流、功率是等效的，如图1.6-2(a)、(b)所示。也就是说，用图1.6-2(b)的电路求A中的电压、电流、功率与用图1.6-2(a)的电路求A中的电压、电流、功率具有同等效果。习惯上将这种替换称为电路的等效变换。图1.6-2电路等效变换关于电路等效的概念,可重点归纳为以下三点:(1)电路等效变换的条件是相互替换的两部分电路B与C具有完全相同的VCR;(2)电路等效的对象是外部电路A(即电路未变化的部分)中的电压、电流、功率;(3)电路等效的目的是简化电路的分析和计算。1.6.2电阻的串联和并联等效

为了便于理解上述等效的概念，下面通过推导大家熟知的串联电阻等效公式和并联电阻等效公式来加以说明。图1.6-3(a)是由n个电阻R1，R2，…，Rn串联组成的一端口电路B。电阻串联的基本特征是通过各电阻的电流是同一电流。图1.6-3(b)是仅由一个电阻Req构成的一端口电路C。对于B，根据KVL可得到它的端口VCR为

u=u1+u2+…+un=(R1+R2+…+Rn)i

(1.6-1a)对于电路C，其端口VCR为

u=Reqi

(1.6-1b)

如果

Req=R1+R2+…+Rn

(1.6-2a)则B和C的端口VCR完全相同，从而二者等效。在电路中，若用Req代替n个串联电阻，则对其外部电路来说，它们起的作用是相同的。式(1.6-2a)就是大家熟知的串联电阻等效公式。电阻Req称为n个电阻串联的等效电阻。图1.6-3电阻的串联电阻串联时，各电阻的电压(1.6-2b)图1.6-4(a)是n个电导(电阻)相并联组成的一端口电路。电导(电阻)并联的基本特征是各电导(电阻)的端电压是同一电压。图1.6-4(b)中的一端口电路仅含一个电导(电阻)。它们的端口VCR分别为(1.6-3b)i=i1+i2+…+in=（G1+G2+…+Gn

）u

(1.6-3a)

i=Gequ

如果

Geq=G1+G2+…+Gn

或(1.6-4a)图1.6-4电阻的并联电导并联时，各电导上的电流(1.6-4b)最常遇到的是两个电阻相并联的情形，如图1.6-5所示。其等效电阻最常遇到的是两个电阻相并联的情形，如图1.6-5所示。其等效电阻(1.6-5a)为了简便,常用符号“∥”表示两个元件并联,上式可写为

两支路电流分别为

(1.6-5(b))兼有电阻串联和并联的电路称为混联电路。在混联的情况下,应根据电阻串联、并联的基本特征,仔细判别电阻间的连接方式。然后利用前面的串、并联公式进行化简和计算图1.6-5两个电阻并联图1.6-6例1.6-1题图

例1.6-1

如图1.6-6所示的电路。

(1)求ab两点间的电压uab;

(2)若ab用理想导线短接，求流过该短路线上的电流iab。解

(1)由图可见，R1与R2为串联，R3与R4也为串联。由分压公式可求得所以，ab间的电压

uab=uac+ucb=uac-ubc=2V(2)若ab短接，如图1.6-7(a)所示。这时，R1与R3为并联，R2与R4为并联，并联后的电路如图1.6-7(b)所示。图1.6-7例1.6-1解图按图1.6-7(a)，应用分流公式得根据KCL，可求得ab间短路线上的电流iab=i1-i2=0.4A1.6.3电阻Y形电路与△形电路的等效变换

图1.6-8(a)所示电路中,各个电阻之间既不是串联也不是并联,显然不能用电阻串并联的方法求ab端的等效电阻。如果能将图1.6-8(a)中虚线围起来的B电路用图1.6-8(b)中虚线围起来的C电路等效替换,则从图1.6-8(b)就可以用电阻串并联的方法求ab端的等效电阻。下面讨论B电路与C电路之间的等效变换条件。

图1.6-8三角形和Y形电路等效图1.6-9(a)中,电阻R1,R2,R3为Y形(或称T形、星形)连接电路,图1.6-9(b)中,电阻R12,R23,R31是△形(或称π形、三角形)连接电路。图1.69Y形和△形电路

Y形电路和△形电路都是通过三个端子与外部相连的，是两种典型的三端电阻电路，也可看成是两个具有公共端子的二端口电阻电路。为使两者等效，要求两者的端口VCR完全相同。对于图1.6-9(a)、(b)中的三端电路,由KCL、KVL可知i3=i1+i2u12=u13-u23显然,3个电流变量和3个电压变量中各有2个是相互独立的。首先求Y形电路的VCR,由图1.6-9(a),根据KVL有u13=R1i1+R3(i1+i2)=(R1+R3)i1+R3i2u23=R2i2+R3(i1+i2)=R3i1+(R2+R3)i2(1.6-6)对于△形电路，由图1.6-9(b)，根据KCL有联立求解以上两式得为使Y形电路与△形电路等效,式(1.6-6)与式(1.6-7)必须完全相同,故有(1.6-9)由式(1.6-8),可得出已知△形电路的电阻,计算其相应等效的Y形电路中各电阻的公式为

(1.6-10)由式(1.6-9),可得出已知Y形电路的电阻,计算其等效的△形电路中各电阻的公式为若Y形电路的三个电阻相等，即R1=R2=R3=RY，则其等效△形电路的电阻也相等，即R12=R23=R31=R△。其关系为

R△=3RY

(1.6-11)

例1.6-2

如图1.6-10(a)所示的电路，求ad端的等效电阻Req。

解对图1.6-10(a)所示的电路，不能直接用电阻串、并联的方法简化。若用△-Y变换将比较方便。图1.6-10例1.6-2图

(1)可以将图1.6-9(a)电路中节点a、b、c间的△形电路等效变换为Y形电路，如图1.6-9(b)所示。若令等效Y形电路中接于节点a、b、c的电阻分别为Ra、Rb和Rc，则根据式(1.6-9)可得

它们已分别标明在图1.6-9(b)中。按图1.6-9(b)，用电阻串、并联的方法，不难求得ad端的等效电阻

(2)也可将图1.6-9(a)电路中连接到节点ac、bc、dc的三个Y形连接的电阻等效变换为△形电路，如图1.6-9(c)所示。按式(1.6-6)计算的各电阻值已标明在图1.6-9(c)中。按图1.6-9(c)不难求得ad端的等效电阻Req=6Ω。1.6.4等效电阻前面已叙述了等效电阻的概念和一些计算方法,现在讨论一般电路。如有一个不含独立源的二端电阻电路N,如图1.611所示。设其端口电压u与电流i为关联参考方向,则其端口等效电阻可定义为式(1.612)表明,二端电路N的端口VCR是只要设法求出电路N的端口VCR,或者测得端口电压u和电流i,就可求得等效电阻Req图1.6-11二端电路

例1.6-3

图1.6-11(a)和(b)是只含受控源的一端口电路，若控制系数r>0，且已知，分别求图(a)和(b)电路的等效电阻。图1.6-12例1.6-3图

解

(1)由图1.6-12(a)可见，按设定的参考方向，一端口电路的端口电流i=i2=i1，端口电压(考虑到u1=0)

u=u2+u1=u2=ri1故其等效电阻Req=u/i=r可见,图(a)的二端电路等效为电阻r。

(2)由图1.6-12(b)可见，二端口电路的端口电流i=i2=-i1，端口电压(考虑到u1=0)

u=u2-u1=u2=ri1故其等效电阻Req=u/i=-r可见,图(b)的二端电路等效为负电阻-r。图1.6-13例1.6-4图

例1.6-4

如图1.6-13所示的一端口电路，求其等效电阻。

解按图1.6-13，根据KCL，有

i2=i-αi1

由于i=i1，故i2=(1-α)i。对于u、R1、R2的回路，由KVL，有

u=R1i1+R2i2

=R1i+R2(1－

)i

=[R1+R2(1－)]i故得图1.6-13电路的等效电阻由上式可见,若R1>0,R2>0,则当α<(R1+R2)/R2时,Req为正电阻,当α>(R1+R2)/R2时,Req为负电阻。1.7.1独立源的串联和并联

电压源和电流源的串联和并联有几种不同的情况。为了简明，这里都以两个电源为例进行说明，根据以下论述，读者不难推广到多个电源的情形。1.7含独立源电路的等效

图1.7-1是电压源相串联的情况。根据电压源的定义和KVL，两个电压源us1和us2相串联，可等效为一个电压源us

。若参考极性规定如图1.7-1(a)所示，则等效电源的电压

us(t)=us1(t)+us2(t)

t(1.7-1a)若参考极性规定如图1.7-1(b)所示，则等效电源的电压

us(t)=us1(t)-us2(t)

t(1.7-1b)图1.7-1电压源的串联按电压源的定义，电压源的电流可为任意值，而根据KCL，两电源串联时，二者的电流应为同一电流，这个电流仍然可以是任意值。这样，等效电压源也符合电压源的定义。图1.7-2是两个电流源相并联的情形。根据电流源的定义和KCL，两个电流源is1和is2相并联可等效为一个电流源is。按参考方向规定的不同，图1.7-2(a)和(b)的等效电流源的电流分别为(1.7-2a)iS(t)=iS1(t)+iS2(t)

iS(t)=iS1(t)－iS2(t)(1.7-2b)图1.7-2电流源的并联按电流源的定义,电流源的端电压可为任意值,而根据KVL,两电源并联时,二者的端电压应为同一电压。这个电压仍然可以是任意值。所以,等效电流源也符合电流源的定义。图中双向箭头⇔表示二者互为等效,即两个(或多个)电源可等效为一个电源;反之,如果需要,一个电源也可分解为两个(或多个)电源。只有电压值相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。其等效电路为其中的任一个电压源，如图1.7-3所示。只有电流值相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。其等效电路为其中的任一个电流源，如图1.7-4所示。图1.7-3电压源的并联图1.7-4电流源的串联图1.7-5电流源与电压源或电阻串联另外,由于电流源所在支路的电流有确定的值,并等于iS。因此,电流源iS与其它元件(电压源或电阻等)相串联,总可等效为电流源,其电流为iS,如图1.75所示。原电路中电流源端电压u1可为任意值,因而等效后端口电压u也可为任意值,这符合电流源的定义。需特别注意,端口电压u不等于原电路中电流源的端电压u1。根据电压源的定义，电压源两端的电压有确定的值，并等于us。因此，电压源us与其它元件(电流源或电阻等)相并联，总可等效为电压源，其电压为us，如图1.7-6所示。原电路中电压源电流i1可为任意值，因而端口电流i也可为任意值，这符合电压源的定义。需特别注意，端口电流i不等于原电路中电压源的电流i1。图1.7-6电压源与电流源或电阻并联1.7.2实际电源的两种模型及其等效变换

图1.7-7(a)所示是一个实际的直流电源(譬如电池)，外接一个可变电阻，测量出其端口的伏安特性如图1.7-7(b)中的实线所示，可见其端电压随着输出电流的增大而略有降低。在正常的工作范围内(其端口电流不超过额定值，否则会损坏电池)，其端口伏安特性可近似为一条直线，如图1.7-7(b)中虚线所示。图1.7-7实际电源及其伏安特性曲线如果将图1.7-7(b)中的直线加以延长而作为实际电源的端口伏安特性，如图1.7-7(c)所示，可以看出，其在电压轴的截距为Us(i=0时的电压，即开路电压)，在电流轴的截距为Is(u=0时的电流，即短路电流)，则该直线的斜率为-Rs(Rs=Us/Is)，于是可写出该直线方程为u=Us-Rsi

(1.7-3)根据KVL，可画出上式的等效电路，如图1.7-8(a)所示。式(1.7-3)表明，在一定条件下，一个实际电源可以用理想电压源Us与线性电阻Rs相串联的组合作为它的模型。图1.7-8实际电源的等效电路模型及互换式(1.7-3)可改写为i=US/RS-u(1/RS)

由于RS=US/IS,即US/RS=IS,上式可改写为i=IS–u(1/RS)(1.7-4)根据KCL,可画出上式的等效电路,如图1.7-8(b)所示。式(1.7-4)表明,在一定条件下,一个实际电源可以用理想电流源IS与线性电阻RS的并联组合作为它的模型。可见,一个实际电源可以有两种不同结构的电路模型。由以上讨论还可以看出，由于式(1.7-3)和(1.7-4)是同一伏安特性的不同表示，因此图1.7-8(a)的电路与图(b)的电路的端口伏安特性完全相同，二者是互相等效的，其条件是Rs=Us/Is。也就是说，一电压源Us与电阻Rs串联的支路可以等效为一电流源Is与Rs相并联的电路，反之亦然。它们之间的关系是(1.7-5)

例1.7-1

如图1.7-9所示的电路，求电流I。

解:按电源模型互换的规则，将支路ab′、bc、b′c的电压源与电阻串联的组合等效为电流源与电阻并联的组合，如图1.7-10(a)所示。按电流源并联和电阻并联的规则，将图1.7-10(a)变换为图(b)。将图1.710(b)中电流源与电阻并联的组合等效变换为电压源与电阻的串联组合,如图1.710(c)所示。这是一个单回路电路,不难求得电流I=(6-2)/(2+2+4)=0.5A图1.7-9例1.7-1题图图1.7-10例1.7-1解图由图1.7-10(c)可求得

Uab=-2I+6=5V

Ubc=-2I-2=-3V返回原电路图1.7-9，其有关部分重画于图1.7-11中。需要特别注意的是,在电路变换过程中,电路结构将发生变化,因此,应随时留意电路中哪些部分(支路、节点……)已经改变,哪些部分没有发生变化。譬如,若想求图1.79中的Ibb',显然,从变换后的电路图1.7-10(b)或(c)无法求得,不过,由图1.7-10(c)可以求出电压Uab和Ubc,再返回原电路图1.7-9(或图1.7-10(a))图1.7-11例1.7-1部分重画图由图1.7-11可求得对于节点b，根据KCL得

Ibb′=I1+I2-1=1.75A

例1.7-2

如图1.7-12(a)所示的电路，求电流i1。

解将受控电流源与2