信阳市罗山县2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案

9/23信阳市罗山县2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题共10小题，每小题3分，满分30分。1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．3+2【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：A、﹣＝2﹣＝，故此选项正确；B、+无法合并，故此选项错误；C、4﹣3＝，故此选项错误；D、3+2无法合并，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握运算法则是解题关键．3．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解答】解：A、原式＝|x|，不是最简二次根式；B、是最简二次根式；C、原式＝2，不是最简二次根式；D、原式＝，不是最简二次根式，故选：B．【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．4．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（）A．10 B．12 C．24 D．48【分析】根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式得出BD•AC＝AB•BC，即可求得答案．【解答】解：已知三角形的三边分别是BC＝15，AB＝20，AC＝25，BD是AC上的高，因为BC＝15，AB＝20，AC＝25，所以AC2＝AB2+BC2，所以三角形ABC为直角三角形，因为BD是AC上的高，所以BD•AC＝AB•BC，所以BD＝12．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形面积，以及勾股定理逆定理，解答此题的关键是根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形．5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．6．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．76 B．72 C．68 D．52【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．7．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽＝2+3+2+3＝10cm，AB为对角线．AB＝＝2cm．故选：B．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．8．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E．连接CE，则△CDE的周长为（）A．3 B．5 C．8 D．11【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC＝AD+CD＝8，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，因为AB＝3，BC＝5，所以AD+CD＝8，因为OE⊥AC，所以AE＝CE，所以△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S＝，其中p＝；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）A． B． C． D．【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．【解答】解：因为S＝，所以若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S＝＝，故选：B．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．10．如图1，已知AC是矩形纸片ABCD的对角线，AB＝3，∠ACB＝30°，现将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中A′B′C′，当四边形A′ECF是菱形时，平移距离AA′的长是（）A． B． C．2 D．【分析】由∠A＝30°，A′B＝DC＝3，可得AD＝3，通过特殊角30°的函数值，把线段A′E、A′F用AA′的代数式表示出来，由A′E＝A′F，可求出AA′的值．【解答】解：如图（2）设AA′＝x，因为∠A＝30°，A′B＝DC＝3，所以AD＝3，所以A′D＝3﹣x，A′E＝因为四边形A′ECF是菱形所以A′E∥FC，A′E＝A′F，所以∠DA′F＝∠A＝30°，所以A′F＝＝，所以＝，所以x＝2故选：C．二、填空题共5小题，共15分。11．计算+×的结果是6．【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式＝2+，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝2+＝2+4＝6．故答案为6．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．12．已知，则1.01．【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．【解答】解：因为，所以＝＝＝＝1.01；故答案为：1.01．【点评】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．13．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站12千米的地方．【分析】设AE＝x千米，则BE＝（36﹣x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE＝ED建立方程，解方程即可．【解答】解：设AE＝x千米，则BE＝（36﹣x）千米，在Rt△AEC中，CE2＝AE2+AC2＝x2+242，在Rt△BED中，DE2＝BE2+BD2＝（36﹣x）2+122，因为CE＝ED，所以x2+242＝（36﹣x）2+122，解得x＝12，所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．故答案为12．【点评】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案．14．如图，矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，△AOB是等边三角形，则AD的长为cm．【分析】先求得∠ACB＝30°，再求出AB＝4cm，由勾股定理求得AD的长．【解答】解：因为△AOB是等边三角形，所以∠BAC＝60°，所以∠ACB＝30°，因为AC＝8cm，所以AB＝4cm，在Rt△ABC中，BC＝＝＝4cm，因为AD＝BC，所以AD的长为4cm．故答案为：4．15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，因为E，F分别是边AB，BC的中点，所以AE＝CF＝×2＝，因为AD∥BC，所以∠DPH＝∠FCH，因为∠DHP＝∠FHC，因为DH＝FH，所以△PDH≌△CFH（AAS），所以PD＝CF＝，所以AP＝AD﹣PD＝，所以PE＝＝＝2，因为点G，H分别是EC，CP的中点，所以GH＝EP＝1；方法二：设DF，CE交于O，因为四边形ABCD是正方形，所以∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，因为点E，F分别是边AB，BC的中点，所以BE＝CF，所以△CBE≌△DCF（SAS），所以CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，因为∠CDF+∠CFD＝90°，所以∠BCE+∠CFD＝90°，所以∠COF＝90°，所以DF⊥CE，所以CE＝DF＝＝，因为点G，H分别是EC，PC的中点，所以CG＝FH＝，因为∠DCF＝90°，CO⊥DF，所以∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，所以∠FCO＝∠CDO，因为∠DCF＝∠COF＝90°，所以△COF∽△DOC，所以＝，所以CF2＝OF•DF，所以OF＝＝＝，所以OH＝，OD＝，因为∠COF＝∠COD＝90°，所以△COF∽△DCF，所以，所以OC2＝OF•OD，所以OC＝＝，所以OG＝CG﹣OC＝﹣＝，所以HG＝＝＝1。【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解笞题共8题：共75分。16．（10分）计算：（1）﹣（﹣）（2）（a2﹣）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣+4＝；（2）原式＝a2﹣＝9a3﹣＝a3．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17．（9分）当2＜m＜3时，化简﹣3|m﹣4|．【分析】直接利用m的取值范围，进而化简二次根式以及绝对值进而得出答案．【解答】解：因为2＜m＜3，所以﹣3|m﹣4|，＝﹣3（4﹣m），＝•（3﹣m）﹣12+3m，＝﹣3﹣12+3m，＝3m﹣15．【点评】此题主要考查了二次根式以及绝对值的化简，正确掌握相关性质是解题关键．18．（9分）已知，如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）．【分析】（1）如图，连接AC，由于AB＝BC＝1，且∠B＝90°根据勾股定理即可求出AC的长度，而CD＝，DA＝1，利用勾股定理的逆定理即可证明△ACD是直角三角形，由此即可求出∠BAD的度数；（2）首先把求四边形ABCD的面积分割为求△ABC和△ACD的面积，然后利用三角形的面积公式可以分别求出这两个三角形的面积，最后就可以求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）如图，连接AC，因为AB＝BC＝1，且∠B＝90°，所以∠BAC＝45°，AC＝＝，而CD＝，DA＝1，所以CD2＝AD2+AC2，所以△ACD是直角三角形，即∠DAC＝90°，所以∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°；（2）因为S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，而S△ABC＝AB×BC＝，S△ACD＝AD×CA＝，所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝（+1）．【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式、以及利用割补法求不规则图形的面积，有一定的难度，对于学生的能力要求比较高．19．（9分）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米进行计算即可．【解答】解：因为CD⊥AC，所以∠ACD＝90°，因为∠ABD＝135°，所以∠DBC＝45°，所以∠D＝45°，所以CB＝CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，2CD2＝8002，CD＝400（米），答：直线L上距离D点400米的C处开挖．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（9分）如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．【分析】根据垂直，利用内错角相等两直线平行可得AE∥CF，在根据平行四边形的性质证明△ABE与△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．【解答】解：四边形AECF是平行四边形．理由如下：因为AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，所以∠AEF＝∠CFE＝90°，所以AE∥CF（内错角相等，两直线平行），在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF，在△ABE与△DCF中，所以△ABE≌△CDF（AAS），所以AE＝CF，所以四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，利用三角形全等证明得到AE＝CF是证明的关键．21．（9分）如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c＝10，a﹣b＝2．（1）正方形EFGH的面积为4，四个直角三角形的面积和为96；（2）求（a+b）2的值．【分析】（1）由题意可知HE＝a﹣b＝2，可求得正方形EFGH的面积，利用四个直角三角形的面积和＝正方形ABCD的面积﹣正方形EFGH的面积，可求得答案；（2）利用勾股定理可求得a2+b2的值，利用四个直角三角形的面积可求得2ab，则可求得答案．【解答】解：（1）因为HE＝a﹣b＝2，所以S正方形EFGH＝HE2＝4，因为AD＝c＝10，所以S正方形ABCD＝AD2＝100，所以四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96，故答案为：4；96；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，所以4×ab＝96，解得2ab＝96，因为a2+b2＝c2＝100，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．【点评】本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：①当BE＝2时，四边形BECD是矩形；②当BE＝4时，四边形BECD是菱形．【分析】（1）证△EBF≌△DCF（AAS），得DC＝BE，再由DC∥AB，即可得出结论；（2）①由矩形的在得∠CEB＝90°，再求出∠ECB＝30°，则BE＝BC＝2；②由菱形的性质得BE＝CE，再证△CBE是等边三角形，即可得出BE＝BC＝4．【解答】（1）证明：因为AB∥CD，所以∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，因为点F是BC的中点，所以BF＝CF，在△DCF和△EBF中，，所以△EBF≌△DCF（AAS），所以DC＝BE，又因为DC∥AB，所以四边形BECD是平行四边形；（2）解：①BE＝2；因为四边形BECD是矩形，所以∠CEB＝90°，因为∠ABC＝120°，所以∠CBE＝60°，所以∠ECB＝30°，所以BE＝BC＝2，故答案为