鞍山市铁东区2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

9/21鞍山市铁东区2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题每小题3分，共24分。1．（3分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与自身重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与自身重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）已知三角形的三边长分别为2、x、10，则x的值可能是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后即可选择答案．【解答】解：因为10﹣2＝8，10+2＝12，所以8＜x＜12，所以x的可能取值是10．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出x的取值范围是解题的关键．3．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高是（）A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF【分析】根据三角形的高的定义解答即可．【解答】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，故选：B．【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．4．（3分）如图，已知∠DAB＝∠CAB，添加下列条件不能判定△DAB≌△CAB的是（）A．∠DBE＝∠CBE B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB【分析】根据全等三角形的判定方法（SSS、SAS、AAS、ASA）解决此题．【解答】解：A．添加∠DBE＝∠CBE，根据三角形外角的性质，得∠D＝∠DBE﹣∠DAB，∠C＝∠EBC﹣∠CAB，那么∠D＝∠C，从而根据AAS判定△DAB≌△CAB，故A不符合题意．B．添加∠D＝∠C，根据AAS判定△DAB≌△CAB，故B不符合题意．C．添加DA＝CA，根据SAS判定△DAB≌△CAB，故C不符合题意．D．添加DB＝CB，无法判定△DAB≌△CAB，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．5．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3cm，则PD的长为（）A．大于等于3cm B．大于3cm C．小于等于3cm D．小于3cm【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PC＝1cm，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，因为OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，所以PE＝PC＝3cm，因为点D是OB上的动点，所以PD的最小值为3cm．故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．求出P点到OB的距离为解决问题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB垂直平分线上一点，∠ADC＝80°，则∠C的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD，根据三角形外角的性质得到∠B＝∠BAD＝40°，再由AB＝AC即可解答．【解答】解：因为D是AB垂直平分线上一点，所以AD＝BD，所以∠B＝∠BAD，因为∠ADC＝80°，所以∠B＝∠BAD＝40°，因为AB＝AC，所以∠C＝∠B＝40°．故选：C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质和三角形外角的性质解答．7．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝16，CG＝4，观察图中尺规作图的痕迹△ACG的面积为（）A．64 B．32 C．16 D．8【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．【解答】解：由作图可知，CG⊥AB，因为CA＝CB，所以AG＝GB，所以S△ACG＝•S△ABC＝××16×4＝16，故选：C．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是（）A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（1，﹣2）【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：因为点P到△ABC三个顶点距离相等，所以点P是线段BC、AB的垂直平分线的交点，由图可知，点P的坐标为（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．二、填空题每小题3分，共24分。9．（3分）五边形ABCDE的内角和为540°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．【解答】解：五边形的内角和＝（5﹣2）180°＝540°，故答案为：540．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解答本题的关键．10．（3分）若△ABC≌△ABD，BC＝4，AC＝5，AB＝2，则AD的长为5．【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．【解答】解：因为△ABC≌△ABD，AC＝5，所以AD＝AC＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．11．（3分）等腰三角形底边为2，腰长为5，则它的周长为12．【分析】根据等腰三角形的性质可得到另一个腰长，从而不难求得周长．【解答】解：因为等腰三角形的底边为2，腰长为5，所以周长＝2+5+5＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等．12．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【分析】根据三角板的度数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．【解答】解：如图，∠1＝45°﹣30°＝15°，∠α＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．故答案为：75°【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，如果AD＝1，那么BD＝3．【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得∠A＝60°，∠ACD＝30°，再根据直角三角形含30°角的性质可得AC，AB的长，即可求出BD的长．【解答】解：因为∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，因为∠A＝60°，因为CD⊥AB，所以∠ADC＝90°，所以∠ACD＝90°﹣60°＝30°，因为AD＝1，所以AC＝2AD＝2，所以AB＝2AC＝4，所以BD＝AB﹣AD＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（a，﹣2），点B（5，﹣b）关于x轴对称，则a+b的值为3．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：因为点A（a，﹣2），点B（5，﹣b）关于x轴对称，所以a＝5，﹣b＝2，解得a＝5，b＝﹣2，所以a+b的值是：5﹣2＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．15．（3分）如图，等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为边AC上一点（不与A、C重合），DF⊥DE交BC于点F，连接EF交CD于点O，当△EOD为等腰三角形时，∠EOD的度数为90°或67.5°．【分析】证△ADE≌△CDF（ASA），得DE＝DF，则△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝45°，分三种情况：①DE＝DO时，②当OE＝OD时，③当ED＝EO时，分别由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．【解答】解：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以AC＝BC，∠A＝45°，因为CD⊥AB，所以∠DCF＝∠ACB＝45°＝∠A，AD＝BD，所以CD＝AB＝AD，又因为DF⊥DE，所以∠EDF＝90°＝∠ACB，所以∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，所以△ADE≌△CDF（ASA），所以DE＝DF，所以△DEF是等腰直角三角形，所以∠DEF＝45°，当△EOD为等腰三角形时，分三种情况：①DE＝DO时，∠EOD＝∠DEF＝45°，此时E与A重合，不合题意舍去；②当OE＝OD时，∠ODE＝∠DEF＝45°，则∠EOD＝180°﹣45°﹣45°＝90°；③当ED＝EO时，∠EOD＝∠EDO＝×（180°﹣45°）＝67.5°；综上所述，当△EOD为等腰三角形时，∠EOD的度数为90°或67.5°，故答案为：90°或67.5°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明△ADE≌△CDF是解题的关键．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为15°．【分析】连接AD交CE于Q，连接BQ，由等边三角形的轴对称性知CE是BD的垂直平分线，得BP＝DP，则当点P与Q重合时，AP+BP的值最小，即可解决问题．【解答】解：连接AD交CE于Q，连接BQ，因为△BCD是等边三角形，点E是BD的中点，所以CE是BD的垂直平分线，所以BP＝DP，所以当点P与Q重合时，AP+BP的值最小，因为AC＝BC，BC＝CD，所以AC＝CD，因为∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+60°＝150°，所以∠CDA＝15°，由等边三角形的轴对称性可知：∠CBQ＝∠CDQ＝15°，所以∠CBP＝15°，故答案为：15°．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．三、作图题（5分）17．（5分）尺规作图：如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）过点C作直线CD⊥AB，垂足为D；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）直接写出与∠ACD相等的角为∠B．【分析】（1）利用尺规作CD⊥AB于点D即可．（2）利用等角的余角相等即可．【解答】解：（1）如图，直线CD即为所求．（2）因为∠ACB＝∠ADC＝90°，所以∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠B＝90°，所以∠ACD＝∠B，故答案为：∠B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．四、证明与计算18-20题每题5分，21题7分，共22分。18．（5分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，∠DAE＝10°，∠B＝42°，求∠C的度数．【分析】直接利用三角形内角和定理结合角平分线的性质得出∠CAE＝40°，进而得出答案．【解答】解：因为AE是高，∠DAE＝10°，所以∠AED＝90°，则∠ADE＝80°，因为∠ABC＝42°，所以∠BAE＝48°，因为AD是角平分线，所以∠BAD＝∠DAC＝∠BAE﹣∠DAE＝48°，所以∠CAE＝38°，所以∠C＝90°﹣38°＝52°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握角平分线的定义是解题关键．19．（5分）已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．【分析】根据AAS，可得△ABE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得答案．【解答】证明：在△ABE和△ACD中，，所以△ABE≌△ACD（AAS）．所以AC＝AB（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据AAS判定三角形全等，在判定对应边相等．20．（5分）如图：AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．【分析】先用SSS证△ADB≌△BCA，得到∠DBA＝∠CAB，利用等角对等边知AE＝BE，从而证得△EAB是等腰三角形．【解答】证明：在△ADB和△BCA中，，所以△ADB≌△BCA（SSS），所以∠DBA＝∠CAB，所以AE＝BE，所以△EAB是等腰三角形．【点评】本题考查了三角形全等判定及性质和等腰三角形的性质；三角形的全等的证明是正确解答本题的关键．21．（7分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，A、E、B、D在一条直线上，BC＝EF，CE⊥AD，FB⊥AD，垂足分别是E、B．求证：AC＝DF．【分析】证Rt△BCE≌Rt△EFB（HL），得∠CBE＝∠FEB，再证△ABC≌△DEF（ASA），即可得出结论．【解答】证明：因为CE⊥AD，FB⊥AD，所以∠CEB＝∠FBE＝90°，在Rt△BCE和Rt△EFB中，，所以Rt△BCE≌Rt△EFB（HL），所以∠CBE＝∠FEB，在△ABC和△DEF中，，所以△ABC≌△DEF（ASA），所以AC＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．五、解答题（2题7分，23题8分，共15分）22．（7分）在△ABC中，D为边BC上一点DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF，DA＝AC，∠B＝21°，求∠FDC的度数．【分析】根据角平分线的性质和定义得到∠BED＝∠CFD＝90°，∠BAD＝∠CAD，求得∠BDE＝69°，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠C，设∠C＝∠ADC＝x，求得∠CAD＝180°﹣2x，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝159°﹣x，列方程即可得到结论．【解答】解：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED＝∠CFD＝90°，∠BAD＝∠CAD，因为∠B＝21°，所以∠BDE＝69°，因为AD＝AC，所以∠ADC＝∠C，设∠C＝∠ADC＝x，所以∠CAD＝180°﹣2x，因为∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝159°﹣x，所以2×（180°﹣2x）＝159°﹣x，解答：x＝67°，所以∠C＝67°，所以∠FDC＝90°﹣∠C＝23°．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．23．（8分）如图，点C为线段AB上一动点，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，过点C作CF⊥DE于点F，CF所在直线交DA延长线于点G．（1）求证：CF平分∠DCE；（2）若AB＝6，求DG长度．【分析】（1）证△ACD≌△BEC（SAS），得CD＝CE，再由等腰三角形的性质即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AD＝BC，CD＝CE，∠ADC＝∠BCE，再由等腰三角形的性质得CF平分∠DCE，则∠DCF＝∠ECF，然后证∠AGC＝∠BCF＝∠ACG，则AG＝AC，进而求解即可．【解答】（1）证明：因为AD∥EB，所以∠DAC＝∠B，在△ACD和△BEC中，，所以△ACD≌△BEC（SAS），所以CD＝CE，因为CF⊥DE，所以CF平分∠DCE；（2）解：由（1）得：△ACD≌△BEC（SAS），所以AD＝BC，CD＝CE，∠ADC＝∠BCE，因为CF⊥DE，所以CF平分∠DCE，所以∠DCF＝∠ECF，因为∠DCF＝∠AGC+∠ADC，∠ECF＝BCF+∠BCE，所以∠AGC＝∠BCF＝∠ACG，所以AG＝AC，所以DG＝AD+AG＝BC+AC＝AB＝6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△ACD≌△BEC是解题的关键．六、探究题（10分）24．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一点，连接AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰△A