安徽省无为市2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

9/27安徽省无为市2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案选择题本题共10小题，每题4分，共40分。每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。1．全民阅读已成为一种良好风尚，现在的图书是人们阅读的好地方．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（）【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取（）A．10 B．40 C．70 D．130【分析】根据三角形的三边关系，则第三根木条的取值范围是大于两边之差50，而小于两边之和110．【解答】解：80﹣30＜x＜80+30，即50＜x＜110．故选：C．【点评】考查了三角形的三边关系，关键是根据三角形的三边关系得出范围解答．3．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n的值（）A．3 B．﹣14C．7 D．﹣8【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，再计算m+n即可．【解答】解：由题意，得m+2＝﹣4，n+5＝﹣3，解得m＝﹣6，n＝﹣8．m+n＝﹣14．故选：B．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．【解答】解：因为△ACB≌△A′CB′，所以∠A′CB′＝∠ACB＝70°，因为∠ACB′＝100°，所以∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，所以∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理求出∠ACD的度数，根据线段垂直平分线的性质得出∠BCD＝∠B，再由三角形外角的性质求出∠BCD的度数，进而可得出结论．【解答】解：因为CD＝AC，∠A＝50°，所以∠ADC＝∠A＝50°，所以∠ACD＝180°﹣50°﹣50°＝80°．因为由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线，所以BD＝CD，所以∠BCD＝∠B＝∠ADC＝25°，所以∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝80°+25°＝105°．故选：D．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．6．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BF＝CD【分析】根据全等三角形的全等定理逐个判断即可．【解答】解：A．符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；B．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；C．因为∠ACD＝∠BFE，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠BFE＝∠E+∠D，∠A＝∠D，所以∠B＝∠E，即符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；D．因为BF＝CD，所以BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，因为∠A＝∠D，AB＝DE，所以不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．7．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【分析】根据等边三角形的判定判断．【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．所以都正确．故选：D．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．8．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（）A．60° B．70° C．75° D．90°【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．【解答】解：因为AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，所以∠BCA＝∠A＝15°，所以∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，所以∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，所以∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，所以∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，所以∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，所以∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFC）＝180°﹣120°＝60°．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD＝∠BAD＝∠B，推出AD＝BD，AD＝2CD即可．【解答】解：因为在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠CAB＝60°，因为AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD＝30°，所以∠CAD＝∠BAD＝∠B，所以AD＝BD，AD＝2CD，所以BD＝2CD，根据已知不能推出CD＝DE，即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；故选：D．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．10．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（）A．14 B．13 C．12 D．10【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论．【解答】解：因为△ABC是等边三角形，所以AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，因为∠B＝60°，∠BFG＝90°，所以∠G＝30°，因为BF＝7，所以BG＝2BF＝14，所以EG＝8，所以CE＝CG＝4，所以AC＝BC＝10，故选：D．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分。11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为．【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AC＝2AE，AD＝DC，从而可得答案．【解答】解：因为DE是AC的垂直平分线，AE＝3，所以AC＝2AE＝6，AD＝DC，因为AB+BD+AD＝13，所以△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案为：19．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．12．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进5米后向左转40°，再沿直线前进5米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．【解答】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，所以共转了9次，一次沿直线前进5米，9次就前进45米．故答案为：45．【点评】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°．13．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，则PC的长为．【分析】由角平分线定理得到PE＝PD，由平行线的性质和角平分线的定义得出∠COP＝∠CPO，利用三角形外角的性质求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出结果．【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，如图所示：因为∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PE＝PD＝4，因为PC∥OA，所以∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，所以∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，所以∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，所以PC＝2PE＝8．故答案为：8．14．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动秒后，可得等边三角形AMN？【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，因为△AMN是等边三角形，所以t＝10﹣2t，解得t＝，所以点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．故答案为：（1）10；（2）．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．三、解答题本大题2小题，每题8分，满分16分。15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标：；（3）△ABC的面积＝；（4）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小，并求出△PAC周长的最小值．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）点C（﹣1，2）关于y轴的对称点C′的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．（3）△ABC的面积＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质等知识点．16．生活中处处有数学．（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是；（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．【分析】（1）利用三角形的稳定性进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定与性质进而填空得出即可．【解答】解：（1）如图1所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是：三角形的稳定性．故答案为：三角形具有稳定性；（2）合适，理由如下：因为AB∥CD，所以∠B＝∠C，因为点M是BC的中点，所以MB＝MC，在△MEB与△MCF中，所以△MEB≌△MFC（SAS），所以ME＝MF，所以想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及线段的性质和三角形稳定性等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．四、解答题本大题2小题，每题8分，满分16分。17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．【解答】解：（1）因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，所以∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，所以∠CBD＝130°．因为BE是∠CBD的平分线，所以∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）因为∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，所以∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又因为∠F＝25°，所以∠F＝∠CEB＝25°，所以DF∥BE．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．【分析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作直线即可；（2）由∠A＝36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．【解答】解：（1）如图所示：BD即为所求；（2）因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C，因为∠A＝36°，所以∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC＝36°，所以∠BDC＝36°+36°＝72°，所以BD＝BC，所以△DBC是等腰三角形．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．五、解答题本大题2小题，每题10分，满分20分。19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，所以△DBE≌△ECF，所以DE＝EF，所以△DEF是等腰三角形；（2）因为△DBE≌△ECF，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4，因为∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠B＝（180°﹣40°）＝70°所以∠1+∠2＝110°所以∠3+∠2＝110°，所以∠DEF＝70°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．20．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．（1）求证△ACD≌△CBE；（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质求出∠ACB，从而得到∠BFC．【解答】（1）证明：因为小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，所以t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，因为在△ACD和△CBE中，，所以△ACD≌△CBE（SAS）；（2）解：因为△ACD≌△CBE，所以∠EBC＝∠ACD，因为∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，所以∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，＝180°﹣∠ACB，因为∠A＝∠ABC＝∠ACB，所以∠ACB＝60°，所以∠BFC＝180°﹣60°＝120°，所以∠BFC无变化．六、解答题（本题12分）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．（1）当∠B＝30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出DE＝BE，求出∠D＝∠B＝30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A＝∠DEA＝60°，即可得出答案；（2）求出∠A＝∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可．【解答】解：（1）AE＝EF，理由是：因为线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G，所以DE＝BE，因为∠B＝30°，所以∠D＝∠B＝30°，所以∠DEA＝∠D+∠B＝60°，因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，所以∠A＝60°，所以∠A＝∠DEA＝60°，所以△AEF是等边三角形，所以AE＝EF；（2）点E是在线段AF的垂直平分线，理由是：因为∠B＝∠D，∠ACB＝90°＝∠FCD，所以∠A＝∠DFC，因为∠DFC＝∠AFE，所以∠A＝∠AFE，所以EF＝AE，所以点E是在线段AF的垂直平分线．七、解答题本题满分12分。34．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，P是线段AD的中点，Q是线段BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求证：△CPQ为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，得出∠ACD＝∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE，得出对应边相等即可；（2）由△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，证出PD＝QE，再由SAS证明△CDP≌△CEQ，得出CP＝CQ，∠PCD＝∠QCE，然后证出∠PCQ＝60°，即可得出结论．【解答】（1）证明：因为△ABC、△CDE都是等边三角形，所以AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，所以∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，所以△ACD≌△BCE（SAS），所以AD＝BE；（2）证明：因为△ACD≌△BCE，所以∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，又因为点P、Q分别是线段AD、BE的中点，所以PD＝AD，QE＝BE，所以PD＝QE，在△CDP和△CEQ中，，所以△CDP≌△CEQ（SAS），所以CP＝CQ，∠PCD＝∠QCE，又因为∠DCE＝60°，所以∠QCE+∠QCD＝60°，所以∠PCD+∠QCD＝60°，即∠PCQ＝60°，所以△CPQ为等边三角形．八、解答题本题满分14分。23．在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE＝∠AED，设∠DAC＝n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n＝36°，则∠BAD＝，∠CDE＝；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．【分析】（1）如图①，将∠BAC＝100°，∠DAC＝36°