安徽省芜湖市2021年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案_第1页
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文档简介

6/25安徽省芜湖市2021年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本题共10小题,每小题4分,共40分。1.下列各式是最简二次根式的是()A. B. C. D.【分析】先根据二次根式的性质化简,再根据最简二次根式的定义判断即可.【解答】解:A、=3,故不是最简二次根式,故A选项错误;B、是最简二次根式,符合题意,故B选项正确;C、=2,故不是最简二次根式,故C选项错误;D、=,故不是最简二次根式,故D选项错误;故选:B.【点评】本题考查了对最简二次根式的定义的理解,能理解最简二次根式的定义是解此题的关键.2.下列各式计算正确的是()A.6﹣2=4 B.5+5=10 C.4÷2=2 D.4×2=8【分析】直接利用二次根式的加减、乘除运算法则分别判断得出答案.【解答】解:A.6﹣2=4,故此选项不合题意;B.5+5无法合并,故此选项不合题意;C.4÷2=2,故此选项不合题意;D.4×2=8,故此选项符合题意;故选:D.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.AB∥CD,AD∥BC B.AD∥BC,AB=CD C.OA=OC,OB=OD D.AB=CD,AD=BC【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断.【解答】解:A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可以判定;B、无法判定,四边形可能是等腰梯形,也可能是平行四边形;C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可以判定;D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可以判定;故选:B.【点评】本题考查平行四边形的判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法,属于中考常考题型.4.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a2=c2﹣b2 D.a:b:c=3:4:6【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可.【解答】解:A、∠A+∠B=∠C,又∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,是直角三角形;B、∠A:∠B:∠C=1:2:3,又∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,是直角三角形;C、由a2=c2﹣b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;D、32+42≠62,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形.故选:D.【点评】本题考查了直角三角形的判定,注意在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.5.如图,有两棵树分别用线段AB和CD表示,树高AB=15米,CD=7米,两树间的距离BD=6米,一只鸟从一棵树的树梢(点A)飞到另一棵树的树梢(点C),则这只鸟飞行的最短距离AC=()A.6米 B.8米 C.10米 D.12米【分析】根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.【解答】解:如图,设大树高为AB=15m,小树高为CD=7m,过C点作CE⊥AB于E,则EBDC是矩形,连接AC,∴EB=7m,EC=6m,AE=AB﹣EB=15﹣7=8(m),在Rt△AEC中,AC==10m,故小鸟至少飞行10m.故选:C.【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.6.当有意义时,a的取值范围是()A.a≥2 B.a>2 C.a≠2 D.a≠﹣2【分析】本题主要考查代数式中字母的取值范围,代数式中主要有二次根式和分式两部分.【解答】解:根据二次根式的意义,被开方数a﹣2≥0,解得a≥2;根据分式有意义的条件,a﹣2≠0,解得a≠2.∴a>2.故选:B.【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负数.7.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为()A.42 B.32 C.42或32 D.37或33【分析】本题应分两种情况进行讨论:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相加即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出;(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相减即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出.【解答】解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD===9,在Rt△ACD中,CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为:15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,BD===9,在Rt△ACD中,CD===5,∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为:15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.故选:C.【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识,在解本题时应分两种情况进行讨论,易错点在于漏解,同学们思考问题一定要全面,有一定难度.8.如图,△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,连接BD,则BD长()A. B.2 C.3 D.4【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°,再进一步根据勾股定理进行求解.【解答】解:∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形,∴∠DCE=∠CDE=60°,BC=CD=3.∴∠BDC=∠CBD=30°.∴∠BDE=90°.∴BD=.故选:C.【点评】此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理.9.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BF=4CF,四边形DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为()A.3 B.4 C.6 D.8【分析】连接EC,过A作AM∥BC交FE的延长线于M,求出平行四边形ACFM,根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等,△ADE的面积和△AME的面积相等,推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半,求出CF×hCF的值即可.【解答】解:连接EC,过A作AM∥BC交FE的延长线于M,∵四边形CDEF是平行四边形,∴DE∥CF,EF∥CD,∴AM∥DE∥CF,AC∥FM,∴四边形ACFM是平行四边形,∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同,∴△BDE的面积和△CDE的面积相等,同理△ADE的面积和△AME的面积相等,即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半,是×CF×hCF,∵△ABC的面积是24,BC=3CF∴BC×hBC=×3CF×hCF=24,∴CF×hCF=16,∴阴影部分的面积是×16=8,故选:D.【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,三角形的面积的应用,主要考查学生的推理能力和转化能力,题目比较好,但是有一定的难度.10.如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为()A. B.C. D.【分析】根据题意,利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半,根据面积关系可得周长关系,以此类推可得正方形A8B8C8D8的周长.【解答】解:顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1,则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半,即,则周长是正方形ABCD的;顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2,则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半,即正方形ABCD的,则周长是正方形ABCD的;顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3,则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半,即正方形ABCD的,则周长是正方形ABCD的;顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4,则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半,即正方形ABCD的,则周长是正方形ABCD的;故第n个正方形周长是原来的,以此类推:正方形A8B8C8D8周长是原来的,∵正方形ABCD的边长为1,周长为4,∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为,故选:C.二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分。11.(5分)﹣=.【分析】先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可得出答案.【解答】解:原式=3﹣=2.故答案为:2.【点评】此题考查了二次根式的加减运算,属于基础题,解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并,难度一般.12.(5分)命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角.【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.【解答】解:命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”.故答案为:相等的角为对顶角.【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.13.(5分)如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=4,则AB的长为4.【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD,AD∥CD,然后根据角平分线定义证明DE=DC,进而可以解决问题.【解答】解:在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD∥CD,∴∠DEC=∠BCE,∵AD=2AB,∴AD=2CD,∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DCE=∠DEC,∴DE=DC,∴AD=2DE,∵AD=AE+DE,∴DE=AE=4,∴AB=4,故答案为:4.【点评】本题考查了平行四边形的性质,解决本题的关键是掌握平行四边形的性质.14.(5分)已知:点B是线段AC上一点,分别以AB,BC为边在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE,点M,N分别是AD,CE的中点,连接MN.若AC=6,设BC=2,则线段MN的长是.【分析】连接DC和AE,取AC的中点P,连接PM、PN,过P作PQ⊥MN于点Q,过点D作DH⊥AB于点H,证明△ABE≌△DBC,得到AE=DC,利用中位线的性质证明PM=PN,由勾股定理都觉得CD的长度,便可得PM与PN的长度,根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC,根据∠DMA=∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可,再解直角三角形求得NQ,便可得MN的长度.【解答】解:连接DC和AE,取AC的中点P,连接PM、PN,过P作PQ⊥MN于点Q,过点D作DH⊥AB于点H,∵△ABD和△BCE都是等边三角形,∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°,∴∠ABE=∠DBC,在△ABE和△DBC中,,∴△ABE≌△DBC(SAS).∴AE=DC.∠AEB=∠DCB,∵P为AC中点,N为EC中点,∴PN=AE.同理可得PM=DC.∴PM=PN.∵AC=6,BC=2,∴AB=4,∵△ABD是等边三角形,∴BD=AB=4,∴DH=BD•sin60°=2,BH=,∴,∴PM=PN=,∵P为AC中点,N为EC中点,∴PN∥AE.∴∠NPC=∠EAC.同理可得∠MPA=∠DCA,∴∠MPA+∠NPC=∠EAC+∠DCA.又∠DCA=∠AEB,∴∠MPA+∠NPC=∠EAC+∠AEB=∠CBE=60°.∴∠MPN=180°﹣60°=120°,∴∠NPQ=∠MPQ=60°,∴MQ=NQ=PN•sin60°=,∴.解法二:如图,过点M作MH⊥AB于H,过点N作NG⊥BC于G,过点N作NK⊥MH于K.想办法求出MK,NK,路勾股定理求解.故答案为:.三、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)15.(8分)计算:×﹣÷+(π﹣2021)0.【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及零指数幂的性质分别化简,再合并得出答案.【解答】解:原式===.16.(8分)已知:a=,b=.求值:(1)ab;(2)a2﹣3ab+b2;【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.【解答】解:(1)ab=(+)(﹣)=5﹣3=2.(2)a﹣b=+﹣+=2,∴a2﹣3ab+b2=(a﹣b)2﹣ab=12﹣2=10.四、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)17.(8分)如图所示,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=1,AD=5,且∠C=90°,求四边形ABCD的面积.【分析】连接BD,根据已知条件运用勾股定理可求BD,再运用勾股定理逆定理可证△ABD为直角三角形,然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来,两者面积相加即为四边形ABCD的面积.【解答】解:连接BD,∵∠C=90°,∴△BCD为直角三角形,∵BD2=BC2+CD2=22+12=()2,∵BD>0,∴BD=,在△ABD中,∵AB2+BD2=20+5=25,AD2=52=25,∴AB2+BD2=AD2,∴△ABD为直角三角形,且∠ABD=90°,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6.故四边形ABCD的面积是6.【点评】考查了勾股定理和勾股定理逆定理,通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形,使面积的求解过程变得简单.18.(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线,且与对角线AC分别相交于点E、F.求证:AE=CF.【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,根据平行线的性质得出∠BAC=∠DCF,根据角平分线定义得出∠ABE=∠CDF,那么利用AAS证明△ABE≌△CDF,推出AE=CF.【解答】证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,所以∠BAC=∠DCF,又因为BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线,所以∠ABE=∠ABC,∠CDF=∠ADC,所以∠ABE=∠CDF,所以△ABE≌△CDF(ASA),所以AE=CF.【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形,然后证明两三角形全等.五、(本大题共2小题,每小题10分,共20分)19.(10分)在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.以格点为顶点.(1)在图1中画一个边长分别为、2、的三角形;(2)在图2中画出一个两边长都为,面积都为2的三角形.【分析】(1)利用网格根据勾股定理即可在图1中画一个边长分别为、2、的三角形;(2)利用网格根据勾股定理和三角形的面积公式即可在图2中画出一个两边长都为,面积都为2的三角形.【解答】解:(1)如图,△ABC即为所求;(2)如图,△DEF,△MNQ即为所求.20.(10分)图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.(1)在Rt△ABC中,AC=m,BC=n,∠ACB=90°,若图①中大正方形的面积为61,小正方形的面积为1,求(m+n)2;(2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到图②所示的“数学风车”,求这个风车的外围周长(图中实线部分).【分析】(1)由题意(n﹣m)2=1,m2+n2=61,推出2mn=60,可得(m+n)2=m2+n2+2mn=121.(2)由(1)可知,求出m,n的值,再利用勾股定理求解即可.【解答】解:(1)由题意(n﹣m)2=1,m2+n2=61,∴2mn=60,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=61+60=121;(2)由(1)可知,∴,∴AC=5,BC=6,∵∠ACB=90°,AC=5,CD=12,∴AD===13,∴这个风车的外围周长=4(13+6)=76.六、(本题满分12分)21.(12分)如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC、DE,求证:四边形ACED是平行四边形.【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AD∥BC,AB=CD,根据平行线的性质得出∠DAE=∠AEB,求出∠BAE=∠AEB,根据等腰三角形的判定得出即可;(2)根据等腰三角形的性质得出AF=EF,求出△ADF≌△ECF,根据全等三角形的性质得出DF=CF,再根据平行四边形的判定得出即可.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,∴∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB,∴BE=CD;(2)∵BE=AB,BF平分∠ABE,∴AF=EF,在△ADF和△ECF中,,∴△ADF≌△ECF(ASA),∴DF=CF,又∵AF=EF,∴四边形ACED是平行四边形.【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.七、(本题满分12分)22.(12分)观察下列各式:请利用你所发现的规律,解决下列问题:(1)第4个算式为:;(2)求的值;(3)请直接写出的结果.【分析】根据题目的规律进行计算即可.不难发现由根号形式转化为积的形式.因此(1)可以猜想到接下来的第4个算式为:,(2)题中可以根据题目进行每一项的转化.从而计算出结果;(3)第(2)题进一步扩展到n项即可.详见解答过程.【解答】解:(1)依题意:接下来的第4个算式为:故答案为(2)原式====(3)原式====八、(本题满分14分)23.(14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=16,∠A=6

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