复合函数单调性课件

复合函数单调性复合函数单调性是数学中一个重要的概念，它描述了复合函数在不同区间上的单调性变化规律。理解复合函数单调性有助于我们更深入地理解函数的性质，并能够更好地解决相关问题。什么是复合函数？定义当一个函数的输出值作为另一个函数的输入值时，这两个函数就组成了一个复合函数。表达式如果函数f的定义域为A，函数g的定义域为B，且f(A)包含于B，则称g(f(x))为f和g的复合函数。表示方法通常用符号“o”表示复合函数，即g(f(x))=gof(x)。复合函数的概念复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。一个函数的输出作为另一个函数的输入。例如，函数f(x)=x^2和函数g(x)=x+2可以组合成一个复合函数h(x)=f(g(x))，即h(x)=(x+2)^2。复合函数的定义域是满足g(x)在f(x)的定义域内且g(x)在自身定义域内的x的值。复合函数的值是将g(x)的值代入f(x)中得到的。复合函数的性质可导性如果内层函数在定义域内可导，外层函数在其对应值域内可导，那么复合函数在其定义域内可导。单调性复合函数的单调性与内层函数和外层函数的单调性有关。如果内层函数和外层函数都单调递增或都单调递减，那么复合函数单调递增。如果内层函数和外层函数一个单调递增，另一个单调递减，那么复合函数单调递减。奇偶性复合函数的奇偶性取决于内层函数和外层函数的奇偶性。如果内层函数和外层函数都是奇函数或都是偶函数，那么复合函数是偶函数。如果内层函数和外层函数一个奇函数，一个偶函数，那么复合函数是奇函数。周期性如果内层函数是周期函数，那么复合函数也是周期函数，但周期可能与内层函数的周期不同。求复合函数的导数1链式法则复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。2公式设y=f(u),u=g(x),则y=f(g(x))的导数为dy/dx=f'(u)*g'(x).3应用链式法则广泛应用于求解复合函数的导数，例如多层嵌套的函数。链式法则对于理解和计算复合函数的导数至关重要。它提供了求解复合函数导数的系统方法。复合函数的单调性单调递增函数图像从左到右上升，则函数为单调递增函数。单调递减函数图像从左到右下降，则函数为单调递减函数。单调性复合函数的单调性取决于内外函数的单调性。判断复合函数单调性的步骤第一步：求导分别求出内外函数的导数，并确定其定义域。第二步：分析导数符号分析内外函数导数的符号，并在其定义域内确定函数的单调性。第三步：综合判断结合内外函数的单调性，确定复合函数的单调性。举例1：f(x)=x^2,g(x)=x+2此例中，f(x)=x^2，g(x)=x+2。根据复合函数的定义，我们可以得到复合函数h(x)=f(g(x))=(x+2)^2。接下来，我们将使用单调性判断步骤来分析复合函数的单调性。解析步骤1：求f'(x)和g'(x)1求f'(x)对函数f(x)求导，得到导函数f'(x)。2求g'(x)对函数g(x)求导，得到导函数g'(x)。3示例例如，对于f(x)=x^2，求f'(x)=2x;对于g(x)=x+2，求g'(x)=1。解析步骤2：判断f'(x)和g'(x)的符号1求f'(x)的符号判断f'(x)在定义域上的正负性2求g'(x)的符号判断g'(x)在定义域上的正负性3综合分析根据f'(x)和g'(x)的符号得出复合函数的单调性解析步骤3：综合f'(x)和g'(x)的符号得出结论1复合函数的单调性通过分析f'(x)和g'(x)的符号，可以得出复合函数h(x)的单调性。2f'(x)和g'(x)同号当f'(x)和g'(x)符号一致时，复合函数h(x)的单调性与它们相同。3f'(x)和g'(x)异号当f'(x)和g'(x)符号相反时，复合函数h(x)的单调性与f'(x)的符号相反。举例2：f(x)=-x^2,g(x)=x+3在本例中，f(x)=-x^2，g(x)=x+3。f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减。g(x)在(-∞,+∞)上单调递增。因此，复合函数h(x)=f(g(x))=-(x+3)^2在(-∞,-3)上单调递增，在(-3,+∞)上单调递减。解析步骤1：求f'(x)和g'(x)求f'(x)首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。求g'(x)然后，求出函数g(x)的导数g'(x)。准备下一步完成f'(x)和g'(x)的求解后，我们将进行下一步，分析f'(x)和g'(x)的符号。解析步骤2：判断f'(x)和g'(x)的符号1确定f'(x)符号根据f(x)的表达式，判断f'(x)在定义域内的符号2确定g'(x)符号根据g(x)的表达式，判断g'(x)在定义域内的符号3确定复合函数导数符号根据f'(x)和g'(x)的符号，综合判断复合函数导数在定义域内的符号解析步骤3：综合f'(x)和g'(x)的符号得出结论1判断符号确定f'(x)和g'(x)的符号变化2综合判断根据f'(x)和g'(x)的符号，判断复合函数的单调性3得出结论确定复合函数的单调区间根据f'(x)和g'(x)的符号变化，我们可以确定复合函数f(g(x))的单调性。例如，如果f'(x)>0且g'(x)>0，则f(g(x))在定义域内是单调递增的。相反，如果f'(x)<0且g'(x)>0，则f(g(x))在定义域内是单调递减的。举例3：f(x)=ln(x),g(x)=x^2本例中，f(x)=ln(x)的定义域为(0,+∞)，g(x)=x^2的定义域为(-∞,+∞)。复合函数h(x)=f(g(x))=ln(x^2)的定义域为x≠0。解析步骤1：求f'(x)和g'(x)1f(x)=ln(x)求f(x)的导数，使用导数公式：ln(x)的导数为1/x。2g(x)=x^2求g(x)的导数，使用导数公式：x^n的导数为nx^(n-1)。3计算结果f'(x)=1/x，g'(x)=2x。解析步骤2：判断f'(x)和g'(x)的符号求导数f'(x)=1/x,g'(x)=2x。判断符号当x>0时，f'(x)>0,g'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0,g'(x)<0。综合分析可知，f'(x)和g'(x)的符号在x>0和x<0时都相同。解析步骤3：综合f'(x)和g'(x)的符号得出结论1f'(x)>0g'(x)>02f'(x)<0g'(x)<03f'(x)>0g'(x)<04f'(x)<0g'(x)>0根据f'(x)和g'(x)的符号，我们可以推断复合函数h'(x)的符号，进而判断复合函数h(x)的单调性。例如，当f'(x)>0且g'(x)>0时，h'(x)>0，则h(x)在该区间内单调递增。复合函数单调性的应用优化问题寻找最大值或最小值。函数图像绘制函数图像，判断函数的单调区间。方程求解判断方程根的个数和位置。思考题1若f(x)=x^2,g(x)=sinx,求复合函数y=f[g(x)]的单调区间。此题考察复合函数单调性的应用，需要根据f(x)和g(x)的单调性以及复合函数的定义来判断y=f[g(x)]的单调区间。先求f(x)和g(x)的导数，再判断f(x)和g(x)在对应区间内的单调性，最终利用复合函数的定义得出y=f[g(x)]的单调区间。思考题2已知函数f(x)在(a,b)上单调递增，g(x)在(c,d)上单调递减，若f(x