自动控制原理 课件 7.8 离散系统的数字校正

7.8离散系统的数字校正

类似于连续系统，线性离散系统的设计是指在系统的被控对象、执行元件和测量元件等已经确定的前提下，设计数字校正装置（数字控制器），以使系统满足性能指标的要求。线性离散系统的设计方法主要有模拟化设计和离散化设计两种。由于离散化设计方法比较简便，可以实现比较复杂的控制规律，因此更具有一般性。本节主要介绍离散化设计方法，研究数字控制器的脉冲传递函数及最少拍控制系统的设计等问题。7.8.1数字控制器的脉冲传递函数定义广义被控对象的脉冲传递函数为

设离散系统如图7-8-

1所示，图中D(z)

为数字控制器的脉冲传递函数，Gh(s)为零阶保持器的传递函数，G0(s)为被控对象的传递函数。定义广义被控对象的脉冲传递函数为误差脉冲传递函数为数字控制器的脉冲传递函数为显然或由此可得离散化设计方法的具体设计步骤如下。(1)根据已知的被控对象，针对控制系统的性能指标要求及其他约束条件，确定理想的闭环脉冲传递函数

或误差脉冲传递函数

；(2)确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)

；(3)根据D(z)编制控制算法程序。

所谓最少拍系统，是指在典型输入信号作用下，能以最少采样周期即最少拍结束响应过程，且在采样点上无稳态误差的离散系统。最少拍系统实质上是时间最优控制系统，系统的性能指标就是调节时间最短或尽可能短。7.8.2最少拍控制系统的设计

最少拍系统的设计原则是，若广义被控对象的脉冲传递函数

G(z)在

z平面单位圆上及单位圆外没有零点和极点(除(1,

j0)点外)，且不含有延迟环节，要求选择闭环脉冲传递函数

，使系统在典型输入信号作用下，经最少拍后能使输出序列在各采样点上的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器脉冲传递函数D(z)

。单位斜坡信号单位阶跃信号单位加速度信号最少拍系统的设计，通常是针对典型输入作用进行的，常见的典型输入信号有通常，典型输入信号可以写成一般形式式中，

B(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多项式。

q取1

、2

、3分别对应单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号。根据最少拍设计要求，要使系统在采样点上无稳态误差，应满足由上式表明，使

ess*

为零的条件是

中应包含

(1

-

z-1

)m

因子，即其中

F

(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多项式。为使稳态误差最快衰减到零，即为最少拍系统，就应使

最简单，取

m=q,

F

(z)=1，此时所得

既满足准确性要求又满足快速性要求。此时

下面分别讨论最少拍系统在典型输入信号作用下数字控制器脉冲传递函数的确定方法。1.单位阶跃输入当输入信号为

，即

，此时取

，则

可得数字控制器的脉冲传递函数为单位阶跃响应的

z变换和误差信号的

z变换分别为于是有

可见最少拍系统经过一个采样周期即一拍输出便可以完全跟踪输入信号r(t)=

1(t)

。系统的调节时间

ts=T

，这样的离散系统称为一拍系统。最少拍系统在单位阶跃信号作用下的输出及误差序列如图7-8-2所示。2.单位斜坡输入则

可得数字控制器的脉冲传递函数为单位斜坡响应的

z变换和误差信号的

z变换分别为当输入信号为

，即

，此时取

，于是有

可见系统经过二拍输出便可以完全跟踪输入信号

r(t)=

t

的变化，系统的调节时间

ts=2T，这样的离散系统称为二拍系统。最少拍系统在单位斜坡信号作用下的输出及误差序列如图7-8-3所示。3.单位加速度输入则

可得数字控制器的脉冲传递函数为单位加速度响应的

z变换和误差信号的

z变换分别为当输入信号为

，即

，此时取

，于是有

最少拍系统在单位加速度信号作用下的输出及误差序列如图7-8-4所示。可见，最少拍系统经过三拍输出便可以完全跟踪输入信号的变化。此时系统的调节时间

。表7-8-1最少拍系统的设计结果由以上分析，将各种典型输入信号作用下最少拍系统的设计结果列于表7-8-1中例7-33已知线性定常离散系统如图所示，其中

，

，采样周期

。若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，试确定数字控制器的脉冲传递函数

。解：系统的广义被控对象的脉冲传递函数为为满足系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，应选择数字控制器的脉冲传递函数为系统误差序列和输出响应序列分别为

显然，离散系统在单位斜坡输入作用下，经过两个采样周期后过渡过程结束，调整时间为二拍，且在采样点上系统的输出完全跟踪输入，稳态误差为零。因此，所求的数字控制完全满足设计指标要求。

应当指出，上述校正方法只能保证在采样点处稳态误差为零，而在采样点之间系统的输出可能会出现波动，因而这种系统称为有纹波系统。纹波的存在不仅影响控制精度，而且会增加系统的机械磨损和功耗，这当然是不希望的。适当地增加瞬态响应时间可以实现无纹波输出，由于篇幅所限，这里就不再详述。7.8.3MATLAB实现例7-34利用MATLAB设计例7-33最少拍控制系统。

解：MATLAB程序如下。clc;clearG0=zpk([],[0,-1],10);G=c2d(G0,1,'zoh');z=tf([10],[1],1);phil=(1-1/z)^2;phi=2/z-(1/z)^2;D=phi/(G*phil)sys0=feedback(G,1);sys=feedback(G*D,1);t=0:1:8;u=t;figure(1)lsim(sys0,u,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('校正前系统的单位斜坡响应');figure(2)lsim(sys,u,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('校正后系统的单位斜坡响应');执行该程序，运行结果为D=0.54366z^3(z-0.5)(z-0.3679)(z-1)------------------------------------z^3(z+0.7183)(z-1)^2Sampletime:1secondsDiscrete-timezero/pole/gainmodel.由仿真结果得到系统的数字控制器脉冲传递函数为图7-8-5校正前后系统的单位斜坡响应曲线校正前后系统的单位斜坡响应曲线如图7-8-5所示。由图可见，校正前系统不稳定，校正后系统在第二拍跟踪上单位斜坡信号，满足设计要求。(a)校正前(b)校正后例7-35利用MATLAB/Simulink分析例7-33的最少拍控制系统。

解：利用Simulink搭建闭环离散系统的仿真模型如图7-8-6所示图7-8-6闭环离散系统的仿真模型设置相关参数，并将仿真时间设为10s，启动仿真，示波器输出系统的单位斜坡响应曲线如图7-8-7所示。由图可见，离散系统在单位斜坡输入作用下，经过两个采样周期后过渡过程结束，调整时间为二拍，且在采样点上系统的输出完全跟踪输入，稳态误差为零。图7-8-7单位斜坡输入时的系统输出本例是针对单位斜坡输入设计的最少拍系统的数字控制器，那么所设计的系统在单位阶跃或单位加速度输入时，系统的输出情形如何？对于单位阶跃输入，利用Simulink搭建闭环离散系统的仿真模型如图7-8-8所示。图7-8-8闭环离散系统的仿真模型仿真结果如图7-8-9所示，由图可知，系统也是经过二拍后过渡过程结束，但在第一个采样时刻时，有100%的超调量。图7-8-9单位阶跃输入时的系统输出对于单位加速度输入，利用Simulink搭建闭环离散系统的仿真模型如图7-8-10所示。图7-8-10闭环离散系统的仿真模型仿真结果如图7-8-11所示。由图可知，系统过渡过程仍为二拍，但