自动控制原理 课件 7.5 离散系统的稳定性分析

7.5离散系统的稳定性分析

与连续系统相同，离散系统必须稳定，才有可能正常工作，因此稳定性分析是离散系统分析的重要内容。对于线性连续系统，通常在s域研究系统稳定性问题，而离散系统则在

域研究系统稳定性。因为

变换是从拉普拉斯变换推广而来，所以首先应从s域和

域的映射关系开始研究。7.5.1

s平面到z平面的映射若令根据

变换的定义，复变量

和

的关系为则于是，

平面与

平面之间的映射关系为当

时，,表示s平面的虚轴映射到z平面上是以原点为圆心的单位圆；当

时，,表示s平面的虚轴映射到z平面上是以原点为圆心的单位圆内部区域；当

时，,表示s平面的虚轴映射到z平面上是以原点为圆心的单位圆外部区域。

线性定常连续系统稳定与否取决于系统的特征根在

s平面上的位置，若特征根全部位于s左半平面，则系统稳定。根据s平面和

z平面的映射关系，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是:特征方程的根（即脉冲传递函数的极点）均位于

z平面单位圆内，系统是稳定的。只要有一个特征根在单位圆外，系统就不稳定。若特征根位于单位圆上，系统处于临界稳定状态，在工程上属于不稳定范畴。7.5.2离散系统稳定的充分必要条件

线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：特征方程的根（即脉冲传递函数的极点）均位于

z平面单位圆内，系统是稳定的。只要有一个特征根在单位圆外，系统就不稳定。若特征根位于单位圆上，系统处于临界稳定状态，在工程上属于不稳定范畴。设典型闭环离散系统如图7-4-6所示，其闭环脉冲传递函数为闭环特征方程为

将

z平面的单位圆内的区域映射到

w

平面的左半平面。这种变换称为双线性变换，又称

w变换。7.5.3线性离散系统的稳定判据1.w变换与w域中的劳斯判据如果令则有z和

w

均为复变量，令则有当

时，

，

平面的单位圆映射于

平面的虚轴。当

时，

，

平面的单位圆映内射于

平面的左半平面。当

时，

，

平面的单位圆映外射于

平面的右半平面。

通过双线性变换，可将离散系统以

z为变量的特征方程D(z)变换为以

w

为变量的特征方程

D(w)，然后在

w

域内利用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性，将这种方法称为

w

域中的劳斯稳定判据。解：例7-24

已知离散系统的特征方程

D(z)=

3z3

+

2z2

+

z+1

=

0，试判断该离散系统的稳定性。利用双线性变换

，得整理得列劳斯表由于劳斯表第一列系数全为正，即所有根均在

z平面单位圆内，故该离散系统稳定。

劳斯稳定判据是确定连续系统是否稳定的简单有效方法，只有通过双线性变换才可以用于离散系统，而不能直接应用于

z域。朱利稳定判据是可以直接在

z域判断离散系统特征方程的根是否在单位圆内的判据。2.朱利稳定判据设线性定常离散系统的闭环特征方程为朱利表其中

离散系统稳定的充分必要条件是共(n-1)个约束条件所有条件均满足时,离散系统稳定,否则系统不稳定。解：根据闭环特征方程列朱利表可得例7-25

已知线性离散系统闭环特征方程为

D(z)=3z4

+

z3

-z

2

-

2z+1

=0试用朱利稳定判据判断系统的稳定性。因为满足满足不满足由于不满足朱利稳定准则，故该离散系统不稳定。解：系统的开环脉冲传递函数为例7-26

设带有零阶保持器的线性离散系统如图7-5-4所示，当采样周期T分别取1s和0.

1s

时，试求离散系统稳定时的K

值范围。系统闭环特征方程为当T=1s时，闭环特征方程为满足系统稳定的条件为解得T=1s离散系统稳定时K的取值范围为

0<

K<

2.39。若T=0.

1s时，通过计算可得离散系统稳定时K的取值范围为

0<K<20.3。

通过例7-26可见，采样周期

T

和开环增益

K都对离散系统的稳定性有影响。当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定；当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利。判断线性离散系统的稳定性，最直接的方法是求出系统的所有特征根，根据特征根是否位于平面的单位圆内来判断系统的稳定性。利用MATLAB中的函数roots()可求特征根，函数abs()可求特征根的模值，函数zplane()可绘制离散系统带单位圆的零极点图，其中极点用“×”表示，零点用“o”表示。7.5.4MATLAB实现解：MATLAB程序如下。例7-27

已知离散系统结构图如图7-5-5所示，采样周期T=1s

，试判断该离散系统的稳定性。clc;clearnum=[3];den=[1,2,0,0];[num1,den1]=c2dm(num,den,1,'imp');[numd,dend]=feedback(num1,den1,1,1);r=roots(dend)abs(r)zplane(numd,dend)执行该程序，运行结果为图7-5-6离散系统零极点分布图r=0.6000+1.1205i