2022年新教材高中数学第八章立体几何初步3简单几何体的表面积与体积练习（含解析）

简单几何体的表面积与体积(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(多选题)正方体ABCD­A1B1C1D1A．这两部分的表面积也相等B．截面可以是三角形C．截面可以是五边形D．截面可以是正六边形【解析】选AD.平面α截这个正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则平面α一定经过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等；根据对称性，截面不会是三角形、五边形，可以是六边形，如图．2．(2021·温州高一检测)一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为()A．eq\f(π,2)B．πC．eq\r(2)πD．eq\r(3)π【解析】选D.如图所示，设圆锥的母线为l，底面圆半径为r，因为∠ABO＝60°，所以eq\f(r,l)＝sin60°，解得r＝eq\f(\r(3),2)l，因为底面圆的周长为2πr，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为θ＝eq\f(2πr,l)＝eq\f(2π×\f(\r(3),2)l,l)＝eq\r(3)π.3．(2020·合肥高一检测)圆锥和圆柱的底面半径、高都是R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为()A．(eq\r(2)＋1)∶4 B．eq\r(2)∶2C．1∶2 D．(eq\r(2)＋1)∶2【解析】选A.由题意圆锥的表面积为：πR2＋eq\f(1,2)×eq\r(2)R×2πR＝(1＋eq\r(2))πR2，圆柱的表面积为：2πR2＋π×2R×R＝4πR2，所以圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为：(eq\r(2)＋1)∶4.4．(2021·镇江高一检测)玻璃金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标．玻璃金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能为地下设施提供良好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，享誉世界．金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为()A．575B．625C．675D．725【解析】选C.如图，四棱锥P­ABCD，PO＝21米，AB＝34米，过O作OE⊥BC，连接PE，则OE＝eq\f(1,2)AB＝17米，PE＝eq\r(212＋172)＝eq\r(730)米，所以四棱锥P­ABCD的侧面积为S＝4×eq\f(1,2)×34×eq\r(730)＝68eq\r(730)≈1837.26平方米，又每块玻璃面积为2.72平方米，所以建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为eq\f(1837.26,2.72)≈675.二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知球在底面半径为1、高为2eq\r(2)的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【解析】已知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点M为BC边上的中点，由题设BC＝2，AM＝2eq\r(2)，则AB＝AC＝3，设内切球的圆心为O，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，设内切球的半径为r，则S△ABC＝eq\f(1,2)(AB＋AC＋BC)·r＝eq\f(1,2)×(3＋3＋2)×r＝2eq\r(2)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故圆锥内半径最大的球的体积V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(\r(2),3)π.答案：eq\f(\r(2),3)π【加固训练】(2021·合肥高一检测)已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是________．【解析】如图，△DAE是等边三角形，其外接圆的半径就是圆锥外接球的半径，因为△DAE的边长是2，所以高DO＝eq\r(3)，外接圆的半径是eq\f(2\r(3),3).故此圆锥外接球的体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(32\r(3)π,27).答案：eq\f(32\r(3)π,27)6．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2，现在需要在粽子内部放入一颗蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．【解析】由粽子的形状是所有棱长均为8cm的正四棱锥，得每个侧面三角形的面积为eq\f(1,2)×8×8×eq\f(\r(3),2)＝16eq\r(3)cm2.所以粽子的表面积为4×16eq\r(3)＋8×8＝(64eq\r(3)＋64)cm2；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，正四棱锥的高为h＝eq\r(（4\r(3)）2－42)＝4eq\r(2)cm，设球的半径为r，所以四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×(64eq\r(3)＋64)r＝eq\f(1,3)×64×4eq\r(2)，解得r＝2eq\r(2)(eq\r(3)－1)cm.所以eq\f(r,h)＝eq\f(\r(3)－1,2)，即其半径与正四棱锥的高的比值为eq\f(\r(3)－1,2).答案：64eq\r(3)＋64eq\f(\r(3)－1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2021·静安高一检测)如图，我们知道，圆锥是Rt△AOP(及其内部)绕OP所在的直线旋转一周形成的几何体，我们现将直角梯形AOO1A1(及其内部)绕OO1所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台，设⊙O1的半径为r，⊙O的半径为R，OO1(1)求证：圆台的体积V＝eq\f(1,3)πh·eq\f(R3－r3,R－r)；(2)若R＝2，r＝1，h＝eq\r(3)，求圆台的表面积S.【解析】(1)如图，因为△PA1O1∽△PAO，所以eq\f(PO1,PO1＋h)＝eq\f(r,R)，得PO1＝eq\f(rh,R－r)，所以V＝eq\f(1,3)πR2·PO－eq\f(1,3)πr2·PO1＝eq\f(1,3)πR2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(rh,R－r)＋h))－eq\f(1,3)πr2·eq\f(rh,R－r)＝eq\f(1,3)πh·eq\f(R3－r3,R－r)；(2)在△PAO中，过点A1作A1B⊥AO，B为垂足，则在Rt△ABA1中，AB＝R－r＝1，A1B＝eq\r(3)，所以∠A1AB＝60°，则PA＝4，PA1＝2.所以该圆台的表面积S＝eq\f(1,2)·2πR·PA－eq\f(1,2)·2πr·PA1＋πR2＋πr2＝8π－2π＋4π＋π＝11π.8.一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在正三棱锥P­ABC的三条侧棱上，A0，B0，C【解析】设三棱锥的底面中心为O，连接PO，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(PO1,PO)，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝eq\f(h,a)x，于是OO1＝h－PO1＝h－eq\f(h,a)x＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a))).所以所求三棱柱的侧面积为S＝3x·heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,