江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第7章计数原理7.1两个基本计数原理第2课时分类计数原理与分步计数原理的综合应用分层作业苏教版选择性必修第二册

第2课时分类计数原理与分步计数原理的综合应用基础达标练1.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则因焊接点脱落导致电路不通的状况有()A.9种 B.11种C.13种 D.15种2.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是()A.100 B.90 C.81 D.723.把10个相同的苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有()A.4种 B.5种C.6种 D.7种4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为()A.42 B.30 C.20 D.125.某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是()A.9×8×7×6×5×4×3×2B.8×97C.9×107D.8.1×1076.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参与,每人只报名参与一项,且甲、乙不参与同一项,则不同的报名方法种数为.

7.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个.

8.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有种.

9.某文艺小组有20人,其中会唱歌的有14人、会跳舞的有10人,从中选出会唱歌与会跳舞的各1人参与演出,且既会唱歌又会跳舞的至多选1人,有多少种不同的选法?10.在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数?11.如图是某校的校内设施平面图,现有不同的颜色作为各区域的底色,为了便于区分,要求相邻区域不能运用同一种颜色.若有6种不同的颜色可选,求有多少种不同的着色方案.宿舍区餐厅教学区实力提升练12.一植物园的参观路途如图所示,若要全部参观并且路途不重复,则不同的参观路途共有()A.6种 B.8种 C.36种 D.48种13.(多选题)已知集合A={-1,2,3,4},m,n∈A,则对于方程+=1的说法正确的是()A.可表示3个不同的圆B.可表示6个不同的椭圆C.可表示3个不同的双曲线D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个14.某超市内一排共有6个收费通道,每个通道处有1号、2号两个收费点,依据每天的人流量,超市打算周一选择其中的3处通道,要求3处通道互不相邻,且每个通道至少开通一个收费点,则周一这天超市选择收费的支配方式共有种.

15.现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以随意选取,则不同的选取种数为,m,n都取到奇数的概率为.

16.(1)从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;(2)从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数.拓展探究练17.如图,一环形花坛被分成A,B,C,D四个区域,现有4种不同的花可供选种,要求在每个区域里种1种花,且相邻的2个区域种不同的花,则不同种法的种数为()A.96 B.84 C.60 D.4818.某同学支配用不超过30元的现金购买笔与笔记本.已知笔的单价为4元,笔记本的单价为5元,且笔至少要买2支,笔记本至少要买2本,不同的购买方案有多少种?第2课时分类计数原理与分步计数原理的综合应用1.C依据可能脱落的个数分类探讨,若脱落一个,则有(1),(4),共2种状况;若脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种状况;若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种状况;若脱落4个,则有(1,2,3,4)共1种状况.综上,共有2+6+4+1=13(种)状况.故选C.2.C分两步,第1步选b,因为b≠0,所以有9种不同的选法;第2步选a,因为a≠b,所以也有9种不同的选法.由分步计数原理知共有9×9=81(个)点满意要求.3.A若三堆苹果中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5个,每堆至少1个,只有2种分法,即“1和4”“2和3”两种分法.若三堆苹果中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分法,即“2和4”“3和3”两种分法.若苹果最多的一堆为3个或3个以下,则这是不行能的.所以不同的分法共有2+2=4(种).4.A原定的5个节目产生6个空位,将其中1个新节目插入,有6种不同的插法,然后6个节目产生7个空位,将另一个新节目插入,有7种不同的插法.由分步计数原理知共有7×6=42(种)不同的插法.5.D电话号码是七位数字时,该城市可安装电话9×106部,同理升为八位时可安装电话9×107部,所以可增加的电话部数是9×107-9×106=8.1×107.6.54甲有三个培训可选,甲、乙不参与同一项,所以乙有两个培训可选,丙、丁各有三个培训可选,依据分步计数原理,不同的报名方法种数为3×2×3×3=54.7.17当A={1}时,B有23-1=7(种)状况;当A={2}时,B有22-1=3(种)状况;当A={3}时,B有1种状况;当A={1,2}时,B有22-1=3(种)状况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种状况,所以集合M的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).8.96完成承建任务可分五步.第1步,支配1号子项目,有4种不同的承建方案;第2步,支配2号子项目,有4种不同的承建方案;第3步,支配3号子项目,有3种不同的承建方案;第4步,支配4号子项目,有2种不同的承建方案;第5步,支配5号子项目,有1种承建方案.由分步计数原理,共有4×4×3×2×1=96(种)不同的承建方案.9.解第1类,首先从只会唱歌的10人中选出1人,有10种不同的选法,从会跳舞的10人中选出1人,有10种不同的选法,共有10×10=100(种)不同的选法;第2类,从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人,再从只会跳舞的6人中选1人,共有4×6=24(种)不同的选法.所以一共有100+24=124(种)不同的选法.10.解分两类:第1类是以3,5,7为首位的四位奇数,可分三步完成:先排千位有3种方法,再排个位有4种方法,最终排中间两个数有8×7种方法,所以满意要求的数有3×4×8×7=672(个).第2类是首位是4或6的四位奇数,也可分三步完成,满意要求的数有2×5×8×7=560(个).由分类计数原理得,满意要求的数共有672+560=1232(个).11.解操场可从6种颜色中任选1种着色;餐厅可以从剩下的5种颜色中任选1种着色;宿舍区、操场和餐厅颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选一种着色;教学区、宿舍区和餐厅的颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选1种着色.依据分步计数原理,知共有6×5×4×4=480(种)不同的着色方案.12.D选择参观路途分步完成:第1步选择三个“环形”路途中的一个,有3种方法,再按逆时针或顺时针方向参观,有2种方法;第2步选择余下两个“环形”路途中的一个,有2种方法,也按逆时针或顺时针方向参观,有2种方法;最终一个“环形”路途,也按逆时针或顺时针方向参观,有2种方法.由分步计数原理,共有3×2×2×2×1×2=48(种)方法.故选D.13.ABD当m=n>0时,方程+=1表示圆,故有3个,选项A正确;当m≠n且m,n>0时,方程+=1表示椭圆,焦点在x轴、y轴上的椭圆分别有3个,故有3×2=6(个),选项B正确,D正确;当mn<0时,方程+=1表示双曲线,故有3×1+1×3=6(个),选项C错误.14.108设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6,从中选择3个互不相邻的通道,有135,136,146,246共4种不同的选法.对于每个通道,至少开通一个收费点,即可以只开通1号收费点,只开通2号收费点,同时开通两个收费点,共3种不同的支配方式.由分步计数原理,周一这天超市选择收费的支配方式共有4×33=108(种).15.63因为正整数m,n满意m≤7,n≤9,所以(m,n)全部可能的取值有7×9=63(种),其中m,n都取到奇数的状况有4×5=20(种),因此所求概率为.16.解(1)如图,由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C必需颜色相同,B,D必需颜色相同,所以共有5×4×3×1×1=60(种)不同的涂色方法.(2)由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C可以颜色相同,B,D可以颜色相同,并且两组中只有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法(如:B,D颜色相同);再从5种颜色中,选出四种颜色涂在S,A,B,C四个顶点上,最终D涂B的颜色,有5×4×3×2=120(种)不同的涂色方法.依据分步计数原理,共有2×120=240(种)不同的涂色方法.17.B当A,C区域种同样的花时,A,C区域有4种种法,B区域有3种种法,D区域有3种种法;当A,C区域种不同的花时,A区域有4种种法,C区域有3种种法,B区