江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第8章概率8.2离散型随机变量及其分布列8.2.2离散型随机变量的数字特征第2课时离散型随机变量的方差与标准差分层作业苏教版选择性必修第二册

第2课时离散型随机变量的方差与标准差基础达标练1.设一个随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量X=则X的方差D(X)等于()A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m)2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,则D(2X-5)=()A.6 B.8C.3 D.43.设随机变量X的概率分布列为P(X=k)=pk·(1-p)1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是()A.0和1 B.p和p2 C.p和1-p D.p和p(1-p)4.以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在竞赛中的得分状况为X1(甲得分)012P(X1=xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2=xi)0.30.30.4现有一场竞赛,派哪位运动员参与较好?()A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定5.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量Y取值,,,,的概率也均为0.2,若记D(X),D(Y)分别为X,Y的方差,则()A.D(X)>D(Y)B.D(X)=D(Y)C.D(X)<D(Y)D.D(X)与D(Y)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关6.若在一次试验中某事务发生次数的方差等于0.25,则该事务在一次试验中发生的概率为.

7.已知随机变量X的分布列为X01xPm若E(X)=1.1,则D(X)=.

8.已知海关大楼顶端镶有A,B两面大钟,设它们的日走时误差分别为随机变量X1,X2(单位:s),其分布列如下:X1-2-1012P0.050.050.80.050.05X2-2-1012P0.10.20.40.20.1依据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.实力提升练9.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为()A. B. C.3 D.10.(多选题)已知随机变量X的分布列是X123Pab若E(X)=,则()A.a= B.b= C.D(X)= D.D(X)=11.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则()A.抽取2次后停止取球的概率为B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为12.已知随机变量ξ的全部可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=,则E(ξ)=,当D(ξ)取最小值时,mn=.

13.依据以往的阅历,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表所示.降水量X/mmX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610若历史气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延误天数Y的均值是,工期延误天数Y的方差为.

14.随机变量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E(X)=,则D(X)=.

15.甲、乙两个野生动物爱护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,记两个爱护区内每个季度发觉违反爱护条例的事务次数为随机变量X,Y,分布列如下:甲爱护区X0123P0.30.30.20.2乙爱护区Y012P0.10.50.4试评定这两个爱护区的管理水平.16.一袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4),现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.拓展探究练17.甲、乙、丙三人参与2024年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)18.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名学生坐一个座位,设座位与编号相同的学生的人数是ξ,则E(ξ)=,D(ξ)=.

第2课时离散型随机变量的方差与标准差1.D由题意知X听从两点分布,故D(X)=m(1-m).2.B∵E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,∴D(X)=×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,∴D(2X-5)=4D(X)=4×2=8.3.D由题可知随机变量X听从两点分布,∴E(X)=p,D(X)=p(1-p).4.A∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2),即甲比乙得分稳定,选甲参与较好.5.A6.0.5设该事务在一次试验中发生的概率为p,事务在一次试验中发生次数记为X,明显X听从两点分布,则D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.7.0.49由随机变量分布列的性质可得m=1--=.又E(X)=0×+1×+x·=1.1,解得x=2.所以D(X)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.8.解由题得,E(X1)=0,E(X2)=0,∴E(X1)=E(X2).D(X1)=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5,D(X2)=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2.∴D(X1)<D(X2),说明A大钟日走时误差更稳定.综上可知,A大钟的质量较好.9.C由题意,x1,x2满意解得或∵x1<x2,∴x1=1,x2=2,∴x1+x2=3.10.ABC由题意得a+b=.①由E(X)=+2a+3b=,得2a+3b=,②联立①②,得a=,b=.所以D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=.故选ABC.11.BD设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=××=.抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=+=,B选项正确;取球次数ξ的均值为E(ξ)=1×+2×+3×=,C选项错误;取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-2×+2-2×+3-2×=,D选项正确.12.由分布列的性质得+=1,即m+n=1,所以E(ξ)=m·+n·==,D(ξ)=m-2×+n-2×=m-2×+1-m-2×=m-2≥0,当且仅当m=n=时等号成立,此时mn=.13.39.8由已知条件和概率的加法公式知,P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8.14.由题意得解得a=,b=,c=,故D(X)=-1-2×+0-2×+1-2×=.15.解甲爱护区违规次数X的均值和方差为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙爱护区违规次数Y的均值和方差为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个爱护区内每个季度发生的违规事务的平均次数相同,但甲爱护区的违规事务次数相对分散和波动,乙爱护区内的违规事务次数更加集中和稳定.所以乙爱护区管理水平较高.16.解(1)X的取值为0,1,2,3,4,其分布列为X01234P∴E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.(2)由D(Y)=a2D(X)得2.75a2=11,得a=±2,又E(Y)=aE(X)+b,∴当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4,∴或17.D由题意得X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴E(X)=1×+2×+3×=,D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=,Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,∴E(Y)=0×+1×+2×=,D(Y)=0-2×+1-2×+2-2×=,∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)