江苏省常州市2024-2025学年高三数学上学期期中试题

Page12江苏省常州市2024-2025学年高三数学上学期期中试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，，则集合（）A． B． C． D．2．记的内角为A，B，C，则“A＝B”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知等比数列的公比q＞0，且，，则（）A．8 B．12 C．16 D．204．如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（）A． B． C． D．5．若的绽开式中含的项的系数为21，则a＝（）A．－3 B．－2 C．－1 D．16．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（）附：随机变量听从正态分布，，．A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.34137．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了便利观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当时，，则的值约为（）A． B． C． D．8．设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列的公差d＜0，且．的前n项和记为，若是的最大值，则k的可能值为（）A．5 B．6 C．10 D．1110．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（）A．B的最小值为 B．C． D．的取值范围为11．已知函数及其导函数定义域均为，若，对随意实数x都成立，则（）A．函数是周期函数 B．函数是偶函数C．函数的图象关于中心对称 D．函数与的图象关于直线对称12．在棱长为1的正方体中，以8个顶点中的随意3个顶点作为顶点的三角形叫做K－三角形，12条棱中的随意2条叫做棱对，则（）A．一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为B．一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为C．一组棱对中两条棱所在直线在相互平行的条件下，它们的距离为的概率为D．一组棱对中两条棱所在直线在相互垂直的条件下，它们异面的概率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的最小正周期为______．14．已知正方体中，过点A作平面的垂线，垂足为H，则直线AH与平面所成角的正弦值为______．15．在中，，，BC边上的中线长为，则的面积为______．16．将数列与的全部项放在一起，按从小到大的依次排列得到数列，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）已知两个变量y与x线性相关，某探讨小组为得到其详细的线性关系进行了10次试验，得到10个样本点探讨小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点满意，，依据这8个样本点求得的线性回来方程为（其中）．后为稳妥起见，探讨小组又增加了2次试验，得到2个偏差较小的样本点，，依据这10个样本点重新求得线性回来方程为（其中，）．（1）求的值；（2）证明回来直线经过点，并指出与3的大小关系．参考公式：线性回来方程，其中，．19．（本小题满分12分）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称．（1）求的值；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域．20．（本小题满分12分）甲、乙两地教化部门到某师范高校实施“优才聘请安排”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后干脆签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参与甲地教化部门“优才聘请安排”的详细状况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的状况）．性别人数参与考核但未能签约的人数参与考核并能签约的人数男生4515女生6010今年，该校数学系毕业生小明打算参与两地的“优才聘请安排”，假定他参与各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中0＜m＜1．（1）推断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参与甲地教化部门“优才聘请安排”能否签约与性别有关；（2）若小明能与甲、乙两地签约分别记为事务A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．参考公式与临界值表：，n＝a＋b＋c＋d．0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.63521．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A－BCD中，已知平面平面BCD，，，BD＝2，E为BC的中点．（1）若，求直线BD与AE所成角的余弦值；（2）已知点F在线段AC上，且，求二面角F－DE－C的大小．22．（本小题满分12分）已知函数，，．（1）若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；（2）令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．常州市教化学会学业水平监测高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【解析】，，，，选B．2．【答案】C【解析】中，A＝B是的充要条件，选C．3．【答案】A【解析】等比数列中，，∴，，∴，又q＞0，∴q＝2，，选A．4．【答案】D【解析】，解除B，，解除AC，选D．5．【答案】C【解析】绽开式第r＋1项，的系数，∴a＝－1，选C．6．【答案】B【解析】时，∴，，，∴，选B．7．【答案】D【解析】令，则，则，，，∴，选D．8．【答案】C【解析】法一：x＝0.2，，，，令，，，，0＜x＜1时，，，，，，，∴a＜b，令，，，∴在，，∴a＞c，∴c＜a＜b，选C．法二：秒杀，运用到（，），∴c＜a＜b，选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AB【解析】，∴，∴，d＜0，∴是的最大值，选AB．10．【答案】BC【解析】a，b，c成等比数列，，，∴，，A错．，B对．，C对．令，则，∴b＝aq，，∴，∴，D错．11．【答案】ABC【解析】为奇函数关于原点对称，关于x＝2对称，是周期为8的周期函数，A对．，，即，即，即为偶函数，B对．，∴，即，∴关于对称，C对，选ABC．与关于x＝2对称，与不关于x＝2对称，D错．12．【答案】BCD【解析】方法一：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，4×6＝24，即24个等腰直角三角形．，明显直角三角形不行能有72个，则A错．对于B，等边三角形有：，，，，，，，共8个，∴等腰三角形共有32个，，B对．对于C，相互平行的棱共有个结果，距离为的有3×2＝6个结果，，C对．对于D中一组棱对中相互垂直的共有个结果，共面的有4×4＋4×2＝24个结果，，D对．方法二：对于A，直角三角形共有，为等腰直角三角形的概率，A错．对于B，等腰三角形共有，为等边三角形的有8个，故又是等边三角形的概率，B正确．对于C，相互平行的棱有对，距离为的有6对，，C正确．对于D，相互垂直的棱有12×4＝48对，相互异面的有12×2＝24对，故，D正确．选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】，．14．【答案】【解析】∵平面，∴与平面所成角与AH与平面所成角相等，∵平面，∴为与平面所成角，．15．【答案】【解析】，∴，则AC＝4，设BC中点为D，，，，则，．16．【答案】2024【解析】3×684＝2052，，，当等差数列算到3×（684－10）＝2024（第674项）时，包含恰好的前10项，∴．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）等差数列的公差为2，前n项和为，则，因为，，成等比数列，所以，即，化为，解得．所以．（2），．18．【解析】（1）这8个样本点横坐标平均数，纵坐标平均数，则．（2）样本点，分别记为，，则这10个样本点横坐标平均数，纵坐标平均数．依据线性回来方程系数公式得，，故y＝nx＋m过点．．19．【解析】（1），所以．因为函数图象关于直线对称，所以，，所以，，因为函数的最小正周期T满意，所以，解得，所以．（2）由（1）得，，所以．因为，所以，，，在上的值域为．20．【解析】（1）因为，且，所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参与甲地教化部门“优才聘请安排”能否签约与性别有关．（2）因为小明参与各程序的结果相互不影响，所以，则．Y的可能取值为0，1，2，3．，，，．随机变量Y的分布列：Y0123P．因为E（X）＞E（Y），所以，即，所以，所以P（A）＞P（B）．21．【解析】（1）取BD中点O，连结OA，OC，因为，O为BD中点，所以，又因为平面平面BCD，平面平面BCD＝BD，平面BCD，所以平面ABD，又因为平面ABD，所以，因为，，，OC，平面OAC，所以平面OAC，又因为平面OAC，所以．中，，O为BD中点，BD＝2，所以OC＝2．中，，O为BD中点，BD＝2，，所以OA＝1．以OB，OC，OA为坐标轴，建立平面直角坐标系O－xyz，则，，，，所以，所以，，所以直线BD与AE所成角的余弦值为．（2）设OA＝a，则，，，，，则，，设平面FDE法向量为，则，所以，取x＝2，y＝－3，z＝0，得到平面FDE的一个法向量，