河北省衡水中学2025届高三数学上学期四调试题含解析

河北省衡水中学2024届高三数学上学期四调试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则在复平面内对应的点位于（）A.实轴上 B.虚轴上C.第一、三象限的角平分线上 D.其次、四象限的角平分线上【答案】C【解析】【分析】依据复数的四则运算得出，然后在利用复数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一、三象限的角平分线上．故选：.2.已知向量，满意，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据及相关公式求出，再依据投影向量的计算公式即可求解.【详解】由，得，则，即，则，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：.3.在直角三角形中，，则（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】【分析】依据数量积的定义即可求得结果.【详解】因为为直角三角形，且，所以,且,所以.故选:A.4.设，，为平面内随意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】设与的夹角为，，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行推断即可.【详解】设与的夹角为（），，当与的夹角为钝角时，因为，，所以，当时，所以，所以，所以，所以为钝角或，所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，故选：B5.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创建的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由黄金分割比可得，结合矩形的特征可用表示出，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点，，因，由黄金分割比可得，于是得，即有，同理有，而，即，从而有，所以.故选：D6.已知复数z满意，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，由复数相等，得出的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案.【详解】设，则，整理得：,所以，消去得,因为方程有解，所以，解得：.故选：D.7.已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：甲：；乙：；丙：；丁：．假如只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】先依据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：，则，故P为△ABC的重心；乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满意要求，当乙成立时，其他三个均不肯定成立.故选：B．8.对于给定的正整数，设集合，，且∅．记为集合中的最大元素，当取遍的全部非空子集时，对应的全部的和记为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据的定义，推出的表达式，再计算即可.【详解】依据题意知A为集合的非空子集，满意的集合只有1个，即；满意集合有2个，即{2}，{1，2}；满意的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满意的集合有个，所以，则，两式相减得，所以，所以；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设非零向量的夹角为为随意非零向量，定义运算，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.C. D.若，则的最大值为1【答案】ACD【解析】【分析】依据的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A，因为，并且，所以，解得或，所以，故选项A正确；对于B，不妨取，设与的夹角，与的夹角为，与的夹角为，则，，此时，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，当时，，当且仅当时取等号，所以，故选项D正确；故选：ACD.10.已知复数满意，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.【答案】BD【解析】【分析】依据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设则，不满意，也不满意，故选项AC错误；对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，由向量加法几何意义知，故，故选项B正确；对于D，设，则，所以，，故选项D正确；故选：BD.11.如图放置边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（）A B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】设，由边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，可得出的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可.【详解】设，因为，所以，，，故，，所以．同理可得，所以，所以．因为，所以，则，故的值可能是，2．故选：12.已知函数及其导函数的定义域均为R，对随意的，，恒有，则下列说法正确的有（）A. B.必为奇函数C. D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】赋值法求的值，推断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，推断B；赋值法结合换元法推断C;利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，推断D.【详解】对于A，令，则由可得，故或，故A错误；对于B,当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，为偶函数，则为奇函数；综合以上可知必为奇函数，B正确；对于C，令，则，故。由于,令,即，即有，故C正确；对于D，若，令，则，则，故令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且，故，故D正确，故选：BCD【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特别值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维实力要求高，解答的关键是利用赋值法确定的周期性.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的虚部是_______．【答案】##【解析】【分析】由复数的概念与四则运算求解【详解】由题意化简得，故故z的虚部是，故答案为：14.若函数的图像关于直线对称，则___________.【答案】【解析】【分析】由题知，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，所以函数在时取得最值，所以，结合协助角公式得：，即，整理得：，解得.故答案为：15.在中，，是线段上的动点，有下列三个结论：①；②；③．则全部正确结论的序号是__________．【答案】①【解析】【分析】依据条件知是等边三角形，建立直角坐标系，用平面对量逐项分析.【详解】因为，所以是等边三角形，取BC的中点为O，连接AO，以O为坐标原点，BC所在的直线为轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图，设，则，所以，，，即，故①正确；，故②错误；，故③错误；故答案为：①.16.已知向量，满意，，，则向量与的夹角的最大值是_______．【答案】##【解析】【分析】依据条件化简整理可得，然后利用向量的夹角公式和均值不等式即可求解.【详解】由，得．又由，得，则，即，即，所以，当且仅当时取等号，所以向量与的夹角的最大值是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数，，其中.（1）若复数为实数，求的值；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得，再列出等量关系，求解即可；（2）先计算，结合和余弦函数的性质，分析即得解【小问1详解】由题意，若复数为实数，则故，解得：【小问2详解】由题意，，由于，故故故故的取值范围是18.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．（1）求B和b的值；（2）求面积的最大值．【答案】（1），b=2；（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利用正弦定理可求得b；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面积公式可求得答案.【小问1详解】解：因为，所以，，即，因为，所以，又，所以，所以，又的外接圆半径，所以由正弦定理得；【小问2详解】解：由余弦定理得，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故面积的最大值为．19.如图，在平行四边形ABCD中，，，，E为CD中点，，．（1）若，求实数的值；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，依题意可得，从而得到的坐标，再依据，即可得到，依据平面对量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得的坐标，依据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得．【小问1详解】在平行四边形中，，，，建立如图坐标系，则，，，，为中点，故，，故，，，，，所以，；【小问2详解】由（1）可知，，，，所以，，，对称轴为．，当时，的最大值为，当时，最小值为，所以．20.若函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减．（1）求函数的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据函数的奇偶性求出，，由函数单调性，利用导函数求出，确定函数解析式；（2）点不在曲线上，设切点为，依据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到，设，通过探讨其单调性，极值状况，求出的取值范围.【小问1详解】因为函数为奇函数，则，故，，又因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，因，所以，即，解得：，经检验符合题意，所以．【小问2详解】，因为曲线方程为，，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满意，因为，故切线的斜率为，整理得：，因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个实根．设，则，由，得，，得或，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的极值点为，，所以关于的方程有三个实根的必要条件是，解得：，又当时，，当时，，所以时，必有三个实根，故所求的实数的取值范围是．【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导探讨函数单调性，极值和最值状况，从而解决问题.21.治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣扬、环保处理等一系列措施，预料从今年起先，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年削减20万吨，从第6年起先，每年的垃圾排放量为上一年的．（1）写出S市从今年起先的年垃圾排放量与治理年数的表达式；（2）设为从今年起先n年内的年平均垃圾排放量．假如年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试推断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【答案】（1）（2）有效，理由见详解【解析】【分析】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；（2）先依据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【小问1详解】设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.当时，是首项为，公差为的等差数列，所以；当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为【小问2详解】设为数列的前项和，则．由于由（1）知，时，，所以为递减数列，时，，所以为递减数列，且，所以为递减数列，于是因此，所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的22.已知函数（1）求证：；（2）设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将所证不等式转化为，再构造函数，求导分析函数的单调性，并求出最小值证明即可；（2）令，再求导分，和三种状况探讨可得的单调性，结合零点存在性定理可得的零点区间，进而推断出有最大值即可.【小问1详解】要证明，只要证明设，则，令，则；令，则，所以在上单调递减，在单调递增，所以，即，即，即．【小问2详解】由题可得，令，则，①当时，，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无