浙江专用2024-2025学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷第5章一元函数的导数及其应用知识梳理新人教A版

第5章一元函数的导数及其应用学问梳理一、导数的概念及运算1.导数的概念(1)假如当Δx→0时，平均改变率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时改变率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x改变时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，假如通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论：1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f（x）)))′＝－eq\f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不肯定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时改变趋势，其正负号反映了改变的方向，其大小|f′(x)|反映了改变的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、导数与函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)上单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数推断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.常用结论：1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.三、导数与函数极值、最值1.函数的极值(1)函数的微小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a旁边其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的微小值.(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b旁边其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)微小值点、极大值点统称为极值点，微小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连绵不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.常用结论：1.求最值时，应留意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，须要分类探讨，不行想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与微小值之间没有必定的大小关系.解压轴题学问拓展（五大类方法技巧）：（指对同构、洛必达法则、极值点偏移、指数、对数均值不等式等机技巧具体解剖）：①方法技巧：指对同构在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，假如我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.(1)五个常见变形：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝lnxex，x－lnx＝lneq\f(ex,x).(2)三种基本模式①积型：aea≤blnbeq\o(→,\s\up17(三种同构方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤（lnb）elnb……f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb……f（x）＝xlnx，,取对：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）……f（x）＝x＋lnx，))②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)eq\o(→,\s\up17(三种同构方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)……f（x）＝\f(x,lnx)，,取对：a－lna＜lnb－ln（lnb）……f（x）＝x－lnx，))③和差型：ea±a＞b±lnbeq\o(→,\s\up17(两种同构方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb……f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb……f（x）＝x±lnx.))②方法技巧洛必达法则在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分别参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时假如出现“eq\f(0,0)”型或“eq\f(∞,∞)”型的代数式，就设法求其最值.“eq\f(0,0)”型的代数式，是高校数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.洛必达法则法则1若函数和满意下列条件：(1)及；(2)在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；(3)，那么=。法则2若函数和满意下列条件：(1)及；(2)，和在与上可导，且；(3)，那么=。③方法技巧极值点偏移(1)极值点不偏移已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满意eq\f(x1＋x2,2)＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值改变快慢相同，如图(1).图(1)(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.(2)极值点偏移若eq\f(x1＋x2,2)≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值改变快慢不同，如图(2)(3).图(2)(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0；图(3)(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0.(3)极值点偏移问题的常见解法①(对称化构造法)构造协助函数：对结论x1＋x2＞2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2＞xeq\o\al(2,0)型，构造函数F(x)＝f(x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),x)))，通过探讨F(x)的单调性获得不等式.②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝eq\f(x1,x2)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.④方法技巧指数、对数均值不等式极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值不等式.一、对数均值不等式结论1对随意的a，b＞0(a≠b)，有eq\r(ab)＜eq\f(a－b,lna－lnb)＜eq\f(a＋b,2).证明不妨设a＞b＞0(0＜a＜b时同理可得)首先，由eq\r(ab)＜eq\f(a－b,lna－lnb)等价于lna－lnb＜eq\f(a－b,\r(ab))，即lneq\f(a,b)＜eq\f(\f(a,b)－1,\r(\f(a,b))).令x＝eq\r(\f(a,b))＞1，只要证lnx2＜eq\f(x2－1,x)，即证2xlnx－x2＋1＜0.令f(x)＝2xlnx－x2＋1(x＞1)，则f′(x)＝2lnx＋2－2x，f″(x)＝eq\f(2,x)－2＜0，f′(x)在(1，＋∞)单调递减，f′(x)＜f′(1)＝0，f(x)在(1，＋∞)单调递减，即f(x)＜f(1)＝0.故eq\r(ab)＜eq\f(a－b,lna－lnb).其次，eq\f(a－b,lna－lnb)＜eq\f(a＋b,2)等价于lna－lnb＞eq\f(2（a－b）,a＋b)，即lneq\f(a,b)＞eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)－1)),\f(a,b)＋1).令x＝eq\f(a,b)＞1，只要证lnx＞eq\f(2（x－1）,x＋1)，即证(x＋1)lnx－2x＋2＞0.设g(x)＝(x＋1)lnx－2x＋2(x＞1)，同理可证g(x)在(1，＋∞)单调递增，有g(x)＞g(1)＝0.故eq\f(a－b,lna－lnb)＜eq\f(a＋b,2).二、指数均值不等式结论2对随意实数m，n(m≠n)，有eeq\f(m＋n,2)＜eq\f(em－en,m－n)＜eq\f(em＋en,2).证明在指数均值不等式中，令em＝a、en＝b，则m＝