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文档简介
福建省福州市鼓楼区2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.2.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.3.已知函数满足,当时,,则()A.或 B.或C.或 D.或4.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().A. B. C. D.5.若集合,,则A. B. C. D.6.关于函数在区间的单调性,下列叙述正确的是()A.单调递增 B.单调递减 C.先递减后递增 D.先递增后递减7.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:①是奇函数时,是奇函数;②是偶函数时,是奇函数;③是偶函数时,是偶函数;④是奇函数时,是偶函数⑤是偶函数;⑥对任意的实数,.那么正确论断的编号是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤8.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()A. B.C.1 D.39.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()A.在上是减函数 B.在上是增函数C.不是函数的最小值 D.对于,都有10.已知随机变量的分布列是则()A. B. C. D.11.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.12.要得到函数的导函数的图像,只需将的图像()A.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.14.已知函数为奇函数,,且与图象的交点为,,…,,则______.15.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.16.在中,为定长,,若的面积的最大值为,则边的长为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)当时,①求函数在点处的切线方程;②比较与的大小;(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.18.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是边长为2的菱形,点E,F分别为棱DC,BC的中点,点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证:(1)直线平面EFG;(2)直线平面SDB.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分别是AC,B1C1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.20.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:同意不同意合计男生a5女生40d合计100(1)求a,d的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521.(12分)已知函数的最大值为2.(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;(Ⅱ)中,,角所对的边分别是,且,求的面积.22.(10分)已知数列中,,前项和为,若对任意的,均有(是常数,且)成立,则称数列为“数列”.(1)若数列为“数列”,求数列的前项和;(2)若数列为“数列”,且为整数,试问:是否存在数列,使得对任意,成立?如果存在,求出这样数列的的所有可能值,如果不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.2、C【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.3、C【解析】
简单判断可知函数关于对称,然后根据函数的单调性,并计算,结合对称性,可得结果.【详解】由,可知函数关于对称当时,,可知在单调递增则又函数关于对称,所以且在单调递减,所以或,故或所以或故选:C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式,抽象函数给出式子的意义,比如:,,考验分析能力,属中档题.4、A【解析】
作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴这个四棱锥中最长棱的长度是.故选.【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题.5、C【解析】
解一元次二次不等式得或,利用集合的交集运算求得.【详解】因为或,,所以,故选C.【点睛】本题考查集合的交运算,属于容易题.6、C【解析】
先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选:C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.7、A【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数,则,所以,所以是偶函数;当是奇函数时,则,所以,所以是偶函数;当为非奇非偶函数时,例如:,则,,此时,故⑥错误;故③④正确.故选:A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.8、D【解析】
在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为,所以,即,又,所以公差,所以,即,因为函数,在时,单调递减,且;在时,单调递减,且.所以数列的最大值是,且,所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.9、B【解析】
根据函数对称性和单调性的关系,进行判断即可.【详解】由得关于对称,若关于对称,则函数在上不可能是单调的,故错误的可能是或者是,若错误,则在,上是减函数,在在上是增函数,则为函数的最小值,与矛盾,此时也错误,不满足条件.故错误的是,故选:.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用,结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.10、C【解析】
利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得,得,所以,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,是基本知识的考查.11、B【解析】
利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.12、D【解析】
先求得,再根据三角函数图像变换的知识,选出正确选项.【详解】依题意,所以由向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选:D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算,考查诱导公式,考查三角函数图像变换,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
根据均值的定义计算.【详解】由题意,∴.故答案为:1.【点睛】本题考查均值的概念,属于基础题.14、18【解析】
由题意得函数f(x)与g(x)的图像都关于点对称,结合函数的对称性进行求解即可.【详解】函数为奇函数,函数关于点对称,,函数关于点对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,与图像的交点为,,…,,两两关于点对称,.故答案为:18【点睛】本题考查了函数对称性的应用,结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键,属于中档题.15、【解析】
取的中点为M,由可得,可得M在上,当最小时,弦的长才最大.【详解】设为的中点,,即,即,,.设,则,得.所以,.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.16、【解析】
设,以为原点,为轴建系,则,,设,,,利用求向量模的公式,可得,根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.【详解】解:设,以为原点,为轴建系,则,,设,,则,即,由,可得.则.故答案为:.【点睛】本题考查向量模的计算,建系是关键,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)①见解析,②见解析;(2)见解析【解析】
(1)①把代入函数解析式,求出函数的导函数得到,再求出,利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程;②令,利用导数研究函数的单调性,可得当时,;当时,;当时,.(2)由题意,,在上有唯一零点.利用导数可得当时,在上单调递减,当,时,在,上单调递增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,则,再由在上恒成立,得在上单调递减,进一步得到在上单调递增,由此可得.【详解】解:(1)①当时,,,,又,切线方程为,即;②令,则,在上单调递减.又,当时,,即;当时,,即;当时,,即.证明:(2)由题意,,而,令,解得.,,在上有唯一零点.当时,,在上单调递减,当,时,,在,上单调递增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,则,在上恒成立,在上单调递减,又,,.在上单调递增,.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属难题.18、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.(2)证明与即可.【详解】(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)利用平行四边形的方法,证明平面.(2)通过证明平面,由此证得.【详解】(1)设是中点,连接,由于是中点,所以且,而且,所以与平行且相等,所以四边形是平行四边形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)连接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四边形是矩形且,所以四边形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1),有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关;(2)详见解析.【解析】
(1)根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关(2)由题意可知X服从二项分布,利用公式计算概率及期望即可.【详解】(1)因为100人中同意父母生“二孩”占60%,所以,文(2)由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关(2)①由题知持“同意”态度的学生的频率为,即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大,故X服从二项分布,即从而X的分布列为X01234X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布,属于中档题.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由题意,f(x)的最大值为所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R,由题意,得化简得sinA+si
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