空间向量与立体几何知识总结

授课教师：全国章年级：高二上课时间：教材版本：人教版总课时：已上课时：课时学生签名：课题名称教学目标重点、难点、考点教学步骤及内容空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示为坐标向量，则存在)A(x,y,zrrrr为坐标向量，则存在)A(x,y,z空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量〃，设i,j,k(单位正交基底)123uurr唯一的有序实数组qa2,a3)，使a="尸2j+03k，有序实数组(<2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-町z中的坐标，记作a=(a,a,a).在空间直角坐标系O-^123uurr对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(羽y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.TOC\o"1-5"\h\z二、空间向量的直角坐标运算律 x\o"CurrentDocument"r r(1)若a=(a,a,a),b=(b,b,b),rri23 i23则a+b=(a+b,a+b,a+b),rri12 23 3ra一b=(a一b,a一b,a一b),九a=(九a,九a,九a)(九eR),rr1 1 2 2 3 3 1 2 3a//b=a=Xb,a=Xb,a=Xb(九eR),1 12 23 3uuu(2)若A(x,y,z),B(x,y,z)，则AB=(x一x,y一y,z一z).1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。'b='arrrr1 1(3)a//bob=Xaojb=Xa(入eR)2 2b=Xa33 3三、空间向量直角坐标的数量积1、设a,b是空间两个非零向量，我们把数量IaIIbIcos<a,b>叫作向量a,b的数量积，IaIIbIcos<a,b> 规定：零向量与任一向量的数量积为0。2、模长公式r —r , IaI=<a・a=Jx2+x2+x2TOC\o"1-5"\h\z1 2 33、两点间的距离公式：若A(x,y,z),B(x,y,z),111 222uuruur 则IAbI=ABB2=、J(x一x)2+(y一y)2+(z一z)2，. '21 21 2 1或d=.(x一x)2+(y一y)2+(z-z)2.A.B22 1 2 1 2 14、,rr4、,rr夹角：cos：a.brrrrrr注：①a±boa•b=0(a,b是两个非零向量);5、6、r②Ia|2二空间向量数量积的性质:_rr.r.rr_r.rrr_.r.①a•e=IaIcos<a,e>.②a1boa•b=0.③IaI2=运算律①a-b=b-a； ②(>a)-b=X(b-a)； ③a-(b+c)=a-b+a-c四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作n±a，如果n±a，那么向量n叫做平面a的法向量。注：①若l±a，则称直线l为平面a的法线；②平面的法向量就是法线的方向向量。③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法：(1)直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。(2)待定系数法：建立空间直接坐标系①设平面的法向量为n=(x,y,z)②在平面内找两个不共线的向量a=(x,y,z)和b=(x,y,z)③建立方程组:rrrn-a=0<rrn-b=0④解方程组，取其中的一组解即可。五、证明1、2、1、2、证明两直线平行已知两直线a和b,A,Bea,C,Deb，则a//bo证明直线和平面平行(1)已知直线aaa,A,Bea,C,D,Eea且三点不共线，

uuiiuuur存在唯一的实数X使AB=XCDuur iur uur则a//ao存在有序实数对X,日使ab=XCD+RCE3、(2)已知直线aaa,A,Bea,和平面a的法向量n，则a/aoAB±n证明两个平面平行3、4、已知两个不重合平面a,P，法向量分别为m,n，则a/pom//n证明两直线垂直4、已知直线a,b。A,Bea,C,Deb，则a±boAB•CD=05、6、证明直线和平面垂直已知直线a和平面证明两个平面垂直uurira5、6、证明直线和平面垂直已知直线a和平面证明两个平面垂直uurira，且A、Bea，面a的法向量为m，则a1aoAB//murr已知两个平面a,P，两个平面的法向量分别为m,n，则a1p六、计算角与距离1、求两异面直线所成的角urrom±n已知两异面直线a,b,A,Bea,C,Deb，则异面直线所成的角0为：cos°二uiuruuurAB•CD

uiuruuurAB•CD

UUTitUMT

ABCD【空间向量基本定理】例1.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，且PA，平面ABCD,M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC成定比2,N分分析;结合图形，从向量MN出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用函\而、陋表示出来，PD成定比1,求满足如=.他+了力：）+工研的实数乂、丫、分析;结合图形，从向量MN出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用函\而、陋表示出来，即可求出x、y、z的值。如图所示，取PC的中点E,连接NE,则MN=EN-EM。点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组3*可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD，底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EFLPB于点F。⑴证明：PA,： 方 方形ABCD—%跖CQi中，e、f分别是直Qi,%力的中点，求:（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

**点评：（1）两条异面直线所成的角日可以借助这两条直线的方向向量的夹角中求得，即1c0,5。（2）直线与平面所成的角R主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角中求得，即*1nsmc口,何或COSe=SifLCp（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例4.长方体ABCD一人声凸口1中，ab=4,ad=6，.l=斗，M是A1cl的中点，P在线段BC上，＜|CP|=2,Q是DD］的中点，求：(1)(2)(3)异面直线AM与(1)(2)(3)M到直线PQ的距离；M到平面ABP的距离。Ai7^p1Ai7^p本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。（1）一次方程平面的法向量的求法：设”=足^^），利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元联立后取其一组解。（1）一次方程(2)角为0则sin(2)角为0则sin6=竺•n(3)”一i—R的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为线面角的求法：设n是平面的一个法向量，ab是平面的斜线l的一个方向向量，则直线上与平面&1所成AB,CDcos{nL,iij=叫叫,（叫，11j②设%，%分别是二面角d—1—B的两个平面J®的法向量，则 就是二面角的平面角或其补角。（4）异面直线间距离的求法：1】1口是两条异面直线，n是111口的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是1】1口上的任意两点，则底.|ABn|（5）点面距离的求法：设n是平面B的法向量，AB是平面里的一条斜线，则点B到平面工的距离为（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。练习：_ uuuriuur2uuruuruur.若等边AABC的边长为24，平面内一点M满足CM=yBB+-CA，则MA•MB= 6 3.在空间直角坐标系中，已知点A（1,0,2）,B（1,-3,1）,点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是。

.（本小题满分12分）ABCD,如图，在五面体ABCDEF中，FA±平面ABCD,AABOMAD±1±PAC±ABCAABCACE,F,OPAPBACAC=16PA=PC=10GOCFG//BOE2AABOMFM±BOEMOAOB图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD1底面ABCD，点E在棱PB上.(I)求证：平面AEC1平面PDB；(II)当PD=