直线与圆锥曲线经典例题及练习

=====WORD完整版--可编辑--专业资料分享==========WORD完整版--可编辑--专业资料分享=====----完整版学习资料分享--------完整版学习资料分享----直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能..直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法..当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例题】【例1】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线产%+1与椭圆交于P和Q，且OP±OQ，IPQ1=-^0，求椭圆方程.2解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)，P(%1,y1),Q(%2,y2)由I由Iy=%+1mx2+ny2=1得(m+n)x2+2nx+n-1=0,/=4n2—4(m+n)(n-1)>0,即m+n—mn>0,由OPJ_OQ，所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+%2)+1=0,2(n-1) 2n- +1=0,..m+n=2m+nm-n▽44(m+n-mn) v10乂2 =(_)2,m+n23将m+n=2,代入得m•n=4由①、②式得m=1,n=3或m=3,n=12 2 2 2故椭圆方程为—+3y2=1或3x2+1y2=1.2 2 2 2【例2】 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐

在一标为(5,0),倾斜角为4的直线l与线段04相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.解：由题意，可设l的方程为y=%+m,-5<m<0.{v=%+m，消去v,得%2+(2m-4)%+m2=0 ①V2=4%・•直线l与抛物线有两个不同交点M、N,••方程①的判别式/=(2m—4)2—4m2=16(1—m)>0,解得m<1,又一5<m<0,•m的范围为(一5,0)设M(%1,v1),N(%2,v2)贝U%1+%2=4—2m,%/%2=m2,IMN1=4<2(1-m).点A到直线l的距离为d=5+m.2S△=2(5+m)<1—m，从而S&2=4(1—m)(5+m)2=2(2—2m>(5+m)(5+m)<2(2-2m+5；m+5+m)3=128.S△<8y'2，当且仅当2—2m=5+mWm=-1时取等号.故直线l的方程为v=%—1,△AMN的最大面积为8粒.【例3】已知双曲线C：2%2—v2=2与点P(1,2)。(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若0(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为%=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为v—2=k(%—1),代入C的方程，并整理得(2—k2)%2+2(k2—2k)%—k2+4k—6=0 (*)3)当2—k2=0，即k=±y'2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ii)当2—k2，0,即k丹m2时/=[2(k2—2k)]2—4(2—k2)(—k2+4k—6)=16(3—2k)①当/=0,即3—2k=0,k=3时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.2=====WORD完整版=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享 完整版学习资料分享 完整版学习资料分享 :WORD:WORD完整版----可编辑----专业资料分享 完整版学习资料分享 ②当/>0,即代2，又k牡五，故当2或「2<k</或,①<仁3时方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当/<0,即k>2时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k二±0或k=2,或k不存在时，1与C只有一个交点;当於<k<3，或一：2<-2或…2时,1与C有两个交点;当k>3时，i与c没有交点.2(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12—y12=2,2x22—y22=2两式相减得：2(x1—x2)(x1+x2)=(y1—y2)(y1+y2)又.x1+x2=2,y1+y2=2・•・2(x1—x2)=y1—y1但渐近线斜率为±t：2，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.【例4】如图，已知某椭圆的焦点是F1(—4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且IF1B1+1F2B1=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:IF2AI、IF2BI、IF2a成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.F1F.B'解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=IF1BI+IF2B1=10,得a=5,又c=4,所以b=aa2-c2=3.故椭圆方程为x2+22=1.25 9(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得IF2BI=IyB1=5.因为椭圆右准线方程为x=25，离心率为4，根据椭圆定义，有IFAI=&(互—x.),IFCI=—(—―x9),2 54 1 2 54 2由IF2AI、IF2BI、IF2。成等差数列，得

"(———x.)+™(—―x0)=2x2，由此得出：x+x=8.54 1 54 2 5 12设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.2⑶解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上./ 9x2+25y2=9x25得《1 119x2+25y2=9x2522①一②得9(x12—x22)+25(y12—y22)=0,即9x(上三)+25().(=2)=0(x#x2)2 2x一x12将x1+x2=x=4, y1 +y2 =y, y1一 y2 =一1 (k刈)代入上式，得 9x4+25y (—1)=02 0 2 0x一xk 0k1 2(k，0)一25 . 即k=记y0(当k=0时也成立).由点P(4,y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0—4k=y0—25y0=—196y0.由点P(4,y0)在线段BB’(B与B关于x轴对称)的内部，得一9<yn<9,所以一16<m<16.5 05 5 5解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为y—y0=—1(x—4)(kM) ③k将③代入椭圆方程导/1,得(9k2+25)x2—50(ky0+4)x+25(ky0+4)2—25x9k2=0所以x+x=5°(%0+4)=8,解得k=-y.(当k=0时也成立)129k2+25 36,0(以下同解法一).【例5】已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y210x+20=0相切.过点尸(-4,0)作斜率为1的直线l，使得l和G交于A,B两点，和y轴交于点C,并且点P在4线段AB上，又满足|PA||PB|=|PC|2.(1)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨=====WORD完整版=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享--------完整版学习资料分享----迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为：y=kx，5k\则由渐近线与圆x2+y210x+20=0相切可得：1=".kk2+1所以，k=±|.双曲线G的渐近线的方程为：y=±1x.（2）由（1）可设双曲线G的方程为：x2—4y2=m.把直线l的方程y=1（x+4）代入双曲线方程，整理得3x2—8上—6—4m=0.48 16今m\o"CurrentDocument"则x+x=—,xx=- （大）a83 A8 3PA•P8=PC2,PABC,共线且P在线段AB上，(x-x)(x-x)=x-x)2,PABP PC即：(x+4)(-4-x)=16，整理得:4(x:+x)+xx+=320ABAB将（大）代入上式可解得：m=28.x2y2所以，双曲线的方程为二-一二1.28 7（3）由题可设椭圆S的方程为:S+S=1（a>2右）.下面我们来求出S中垂直于1的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为M（xy,1),N(xy, ),MN的中点为P(x,y)，则1 2 2 0 0x2y2—i—+—i—=128a2x2y2-^-+-^-=128a2两式作差得:(x-x)(x+x)(y-y)(y+y) 1 2 1 2_+1 2 1 2_=028 a2jy-y/由于T2=-4,x-x1 2xx+=2x,yy+=2y1 2 0 1 2 0=====WORD完整版--可编辑--专业资料分享=====WORD完整版--可编辑--专业资料分享=====WORD完整版=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享===== 完整版学习资料分享 完整版学习资料分享 所以,女-2=0,x4y所以，垂直于1的平行弦中点的轨迹为直线28-胃=0截在椭圆s内的部分.a2 1又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，112=2.所以，a2=56,x2 y2椭圆S的方程为：—+-z~r=1.2856点评：解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具)．【例6】设抛物线过定点A(-1,0)，且以直线x=1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线1与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-1平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围.解：(1)设抛物线的顶点为G(x,y),则其焦点为F(2x-1,y).由抛物线的定义可知:|AF^=|AF^=点到直线x=1的距离=2.所以所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：x2+十=1(-1).(2)因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定.所以，要求m的取值范围，还应该从直线1与轨迹C相交入手.显然，直线1与坐标轴不可能平行，所以，设直线1的方程为1：y=-1x+b,代入椭圆方k程得：x2-2bx+b2-4=0

k— — 4b2,(4k2+1-由于1与轨迹C交于不同的两点M，N所以，A=1r-4［丁12-4)>0，即：

4k2—k2b2+1>0 (k*0).(*)一… 1 2bk J13又线段MN恰被直线x=--平分，所以，x+x=-一-=2X-2 MN4k2+1 I2)74 4k2+1所以，bk=—.一2代入(*)可解得:-◎<k<立(k丰0).下面，只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围.由于y=kx+m为弦MN的垂直TOC\o"1-5"\h\z 」1 \y=—+b

02k1 4k2+1y=—+b

02k1 4k2+12k 2k7 1 7 1在l:y=--X+b中，令x=--，可解得:k 2/1―将点P-7,-2k代入y=kx+m，可得:I2J所以，-牛<所以，-牛<m<34r且m20・从以上解题过程来看，求m的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法: J 1 3解法二.设弦MN的中点为尸［-2,y0J，则由点M,N为椭圆上的点，可知:两式相减得:xx+MN，代入上式得：k=-今4x2+y2=4M M4x2+y2=4

一 NN一x.4(xMWORD完整版--可编辑--专业资料分享WORD完整版--可编辑--专业资料分享----完整版学习资料分乎--------完整版学习资料分乎----又点P-，'旬在弦MN的垂直平分线上,所以‘y"JJ1 3由点P1-2,yJ在线段BB‘上（B’…J3所以，m=y+-k=y.o2 4o1、B为直线x=--与椭圆的交点，如图），所以，也即:—"1'3<y<<30所以-3r<m<号且m20点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.从构造不等式的角度来说，“将直线l的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MNJ1 1 的中点1-2,y0j在椭圆内”是等价的.【例7】 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.又M是其准线上一点.试证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列.证明依题意直线MA、MB、MF的斜率显然存在，并分别设为勺点A、B、M的坐标分别为A（7弓），B（x2，y2）M（一p由“AB过点F（f，0）”得 lAB：x=ty+2将上式代入抛物线y2=2px中得：y2_2pty—p2=0可知 yJy2=-p2又依“y12=2px1及y22=2px2”可知「p二七+p=2P（y12*"）=====WORD完整版…■可编辑…■专业资料分享=====WORD完整版…■可编辑…■专业资料分享----完整版学习资料分享--・片/片/+勺有口■因此勺+k2TOC\o"1-5"\h\zy -m y 一 m1-4 +2-2 X +P X + PX X1 2 2 2-C/P2 、2y2(——一m)2p2(y1一m)+ 1 y1 =一2mP(y12+P2) P(y12+P2)p0一mm =——P-(-P)P故k+k=2k1 2 3即直线MA、MF、MB的斜率成等差数列.【例8】已知a=(x,0),b=(1,y)(a+；3b)±(a一c3b)(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程；(2)若直线l:y=kx+m(kmW0)与曲线C交于A、B两端，D(0,—1)，且有IADI=IBDI,试求的取值范围。解：(1)a+3bb=(x,0)+v-3(1,y)=(x+、巧3y)a一v-3b=(X,0)一v-3(1,y)=(x一乙八3y)•••(a+v'3b)±(a—33b) •••(a+33b)・(a—・於b)=0•*.(x+13)(x—<3)+v3y"(—\13y)=0 得——y2=1••.P点的轨迹方程为三-y2=13y=kx+m(2)(2)考虑方程组《^3--y2=1消去y,得(1—3k2)x2—6kmx—3m2—3=0(*)显然1显然1—3k2W0△二(6km)2—4(—3m2—3)=12(m2+1)—3k2>0设X1设X1,X2为方程*的两根，6km2 1—3k2xx+x 3km：.X= 2= 0 2 1—3k2故AB中点M的坐标为(3km1—3k2•线段AB的垂直平分线方程为::.my=kx+m= 0 0 1—3k2m1一3k2)m/1、/ 3km、y =(—)(x )1—3k2 k1—3k2将D(0,—1)坐标代入，化简得：4m=3k2—1=====WORD完整版--可编辑--专业资料分享==========WORD完整版--可编辑--专业资料分享=====----完整版学习资料分享---WORD完整版--可编辑WORD完整版--可编辑----专业资料分享------完整版学习资料分享---故m、k满足《m2+1—3k故m、k满足《4m=3k24m=3k2—1解得：m<0或m>4XV4m=3k2-1>-1故me（—工0）u（4,包）.4【直线与圆锥曲线练习】、选择题21.斜率为1的直线l与椭圆5+y2=1相交于A、B两点，则ABI的最大值为()A.2B.W410C. A.2B.W410C. 58v10D. 5.抛物线产以2与直线尸k%+b(k刈)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为%厂%2,直线与%轴交点的横坐标是%3,则恒有()A.%3=%1+%2C.%1+x2+%3A.%3=%1+%2C.%1+x2+%3=0D.%1%2+%2%3+%3%1=0、填空题.已知两点M(1,5)、N(—4,—5),给出下列曲线方程：①4%+2y—1=0,4 4②%2+y2=3,©%+y2=1,@%2—y2=1,在曲线上存在点P满足IMPI=INPI的所有曲线方程是.正方形ABCD的边AB在直线y=%+4上，C、D两点在抛物线y2=%上，则正方形ABCD的面积为.在抛物线y2=16%内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是三、解答题.已知抛物线y2=2p%(p>0),过动点M(q,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且IAB区2p.⑴求。的取值范围.N(2)若线段AB的垂直平分线交%轴于点N,N求^NAB面积的最大值..已知中心在原点，顶点41、A2在％轴上，离心率e=詈的双曲线过点P(6,6).(1)求双曲线方程.(2)动直线l经过△A1PA2的重心6,与双曲线交于不同的两点M、M问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论..已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(V2,0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线尸％对称.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l过点A，斜率为k,当0Vk<1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为无，试求k的值及此时B点的坐标.直线与圆锥曲线参考答案一、1.解析：弦长IABI=Y2.475—t<411°.答案：C2解析：解方程组，；：二人得ax2—♦b=。,可知％1+x2=a，x1x2=-a，x3=-%代入验证即可.答案：B二、3.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交占.-^-.答案：②③④.解析：设C、D所在直线方程为尸x+仇代入y2=x，利用弦长公式可求出ICDI的长，利用ICDI的长等于两平行直线尸x+4与尸x+b间的距离，求出b的值，再代入求出ICDI的长.答案：18或50.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2)(y1—y2)=16(x1—x2).即：=k=8.x—xy+y1 2 ,1 ’2故所求直线方程为y=8x—15.答案：8x—y—15=0三、6.解：(1)设直线l的方程为：y=x—a，代入抛物线方程得(x—a)2=2px,即x2—2(a+p)x+a2=0=====WORD完整版=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====--------完整版学习资料分享----====WORD完整版--可编辑--专业资料分享====WORD完整版--可编辑--专业资料分享----完整版学习资料分享----完整版学习资料分享--\AB\=J2'\'4(a+p)2-4a2<2p.A4ap+2p2<p2,即4ap<—p2又p>0,Aa<—p.(2)设4(%],匕)、B(x2,y2),AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1—a,y2=x2—a,x1+x2=2a+2