教育统计学（第5版）课件：概率及概率分布

概率及概率分布第一节概率的基本概念第二节二项分布第三节正态分布第一节概率的基本概念

一、概率的定义概率的寻求方法不同1、后验概率的定义以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A概率的估计值。这种概率是用随机事件A出现的频率估计的，故称为后验概率或统计概率。小贴士

事件：试验的每一个可能结果

掷一颗骰子出现的点数为3用大写字母A，B，C，…表示随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件掷一颗骰子可能出现的点数小贴士简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本事件抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面”必然事件：每次试验一定出现的事件，掷一颗骰子出现的点数小于7不可能事件：每次试验一定不出现的事件，掷一颗骰子出现的点数大于6事件的概率

事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小，记为P(A)当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.7502550751001252、先验概率的定义满足俩个条件：其一，试验的所有可能结果是有限的；其二，每一种可能结果出现的可能性相等。若所有可能结果的总数为N，随机事件A包括M个可能结果，则事件A的概率为

P=M/N先验概率是在特定条件下直接计算出来的，是随机事件的真实概率，不是由频率估计出来的。试验重复次数充分大时，后验概率也接近先验概率二、概率的性质

1.非负性对任意事件A，有P(A)

02.规范性一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件A，有0P(A)1必然事件的概率为1；P(

)=1；不可能事件的概率为0。即P(

)=0

三、概率的加法和乘法

1.概率的加法规则若两个事件A与B互斥，则事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An两两互斥，则有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)互斥事件

在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥事件AB

互斥事件的文氏图

互斥事件及其概率(例题分析)【例6.1】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：

A：600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑

B：恰好有100个家庭拥有电脑

C：特定户张三家拥有电脑说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由

(1)A与B

(2)A与C

(3)B与C互斥事件及其概率(例题分析)解：(1)事件A与B是互斥事件。因为你观察到恰好有265个家庭拥有电脑，就不可能恰好有100个家庭拥有电脑

(2)事件A与C不是互斥事件。因为张三也许正是这265个家庭之一，因而事件与有可能同时发生

(3)事件B与C不是互斥事件。理由同(2)互斥事件概率的加法规则

(例题分析)

解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有

6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6

根据互斥事件的加法规则，得

【例6.2】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率.2.概率的乘法

A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，则称事件A与B事件独立，或称独立事件若两个事件相互独立，则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积，即

P(AB)=P(A)·P(B)若事件A1,A2,,An相互独立，则

P(A1,A2,

,An)=P(A1)·P(A2)·

·P(An)独立事件与乘法公式(例题分析)【例6.8】一个旅游经景点的管理员根据以往的经验得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下来的两个游客都照相留念的概率

解：设A=第一个游客照相留念

B=第二个游客照相留念在没有其他信息的情况下，我们可以假定事件A

和事件B是相互立的，所以有

P(AB)=P(A)·P(B)=0.80×0.80=0.64独立事件与乘法公式(例题分析)【例6.9】假定我们是从两个同样装有3个红球2个蓝球的盒子摸球。每个盒子里摸1个。求连续两次摸中红球的概率

解：设A=

从第一个盒子里摸到红球

B=

从第二个盒子里摸到红球

依题意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×3/5=0.36第三节正态分布xf(x)小贴士由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的概率分布许多现象都可以由正态分布来描述可用于近似离散型随机变量的分布例如：二项分布经典统计推断的基础xf(x)

一、正态曲线

1、正态曲线函数

f(x)=随机变量X的频数

=正态随机变量X的均值

=正态随机变量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值(-

<x<

)小贴士1.图形是关于x=

对称钟形曲线，且峰值在x=

处2.均值

和标准差

一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”3.均值

可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。

越大，正态曲线扁平；

越小，正态曲线越高陡峭4.当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交5.正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1

和对正态曲线的影响xf(x)CAB

=1/2

1

2

=12.正态曲线的特点第一，曲线在Z=0处为最高点。第二，曲线以Z=0处为中心，双侧对称。第三，曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交。第四，标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。第五，曲线从最高点向左右延伸时，在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。二、正态分布的面积与纵线1.累积正态分布函数abxf(x)2.标准正态曲线下面积的求法

标准正态分布的概率密度函数随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化(标准分数)为标准正态分布

标准正态分布的分布函数标准分数的概念：原始数据与其算术平均数之差除以标准差之商，用符号Z表示。含义：以平均数为标准，以标准差为单位表示一个数据在团体中的位置，例如，标准分数为1，表明原始数据在平均数以上一个标准差的位置。标准分的性质：标准分的平均数为零，标准差为1。标准分数

z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。标准正态分布Xms一般正态分布

=1Z标准正态分布

标准正态分布表的使用（1）已知Z分数，求概率P（2）从概率求Z分数（3）已知概率或Z分数，求概率密度函数值0ZxP累积正态分布函数标准正态曲线下面积的求法：利用教材323页的附表1。附表1的特点：第一，表内仅列有标准正态曲线下的面积。第二，表内仅载有从Z=0到右边Z值之间的面积。第三，表中间的数值均表示Z=0至某个Z值之间的面积。附表1中第一列为Z值，第二列Y值，第三列为P值。（1）已知Z值求面积第一，求Z=0到某一Z值之间的面积第二，求俩个Z值之间的面积第三，求某一Z值以上或以下的面积求考试成绩中特定区间的人数某年级200名学生考试成绩呈正态分布，平均分为85分，标准差为10分，学生甲的成绩微70分，全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？在平均分上下多少分中间包括85%的学生？某次升学考试，学生成绩符合正态分布，1000名考生英语平均60分，标准差15分，试求70—80分之间有多少人？90分以上有多少人？在平均分上下多少分中间包括90%的学生？（2）已知面积求Z值第一，求Z=0以上或以下某一面积对应的Z值第二，求与正态曲线上端或下端某一面积相对应的Z值第三，求与正态曲线下中央部位某一面积相对应的Z值（3）正态曲线的纵线第一，已知Z值求纵线高度第二，已知面积求纵线高度三、正态分布在测验记分方面的应用1、将原始分转换为标准分2、确定录取分数线例如，某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生200人，平均分66.78分，标准差为9.19分，若表扬前20名，其最低分应是多少？某生得80分，他在参赛者中排列第几名？3、确定等级评定的人数例如，某年级智力测验成绩呈正态分布，准备按分数高低将学生分为人数相同的三组，全体学生智力平均分100分，标准差15分，三组学生的分数上下限各是多少？93.55分106.45分4、品质评定数量化一、二项试验一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”这里“成功”是指我们感兴趣的某种特征一次试验“成功”的概率为p＝P(A)，失败的概率为q=1-p，且概率p对每次试验都是相同的试验是相互独立的，并可以重复进行n次在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X第二节二项分布二、二项分布函数

用n次方的二项展开式表达在n次二项试验中成功事件出现不同次数的概率分布称为二项分布。设X为n次重复试验中出现成功的次数，X取x的概率为二项分布(例题分析)

【例6.10】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽取5个。求5个产品中：

(1)没有次品的概率是多少？

(2)恰好有1个次品的概率是多少？

(3)有3个以下次品的概率是多少？从男生占2/5的学校中随机抽取6个男生，问正好抽到4个男生的概率上多少？至多抽到2个男生的概率是多少？三、二项分布图当p=q,不管n多大，二项分布呈对称形。当n很大时，二项分布接近于正态分布。当n趋近于无限大时，正态分布是二项分布的极限。当p不