2025年新高考数学一轮复习第2章第04讲指数与指数函数(八大题型)(练习)(学生版+解析)

第04讲指数与指数函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u模拟基础练 2题型一：指数幂的运算 2题型二：指数函数的图象及应用 2题型三：指数函数过定点问题 3题型四：比较指数式的大小 3题型五：解指数方程或不等式 4题型六：指数函数的最值与值域问题 4题型七：指数函数中的恒成立问题 4题型八：指数函数的综合问题 5重难创新练 6真题实战练 9题型一：指数幂的运算1．已知，计算：.2．.3．化简求值:(1)；(2)．题型二：指数函数的图象及应用4．若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

5．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为.7．设、分别是方程与的根，则.题型三：指数函数过定点问题8．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是.9．对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是．10．已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第象限.11．已知常数且，假设无论a取何值，函数的图像恒过定点，且点的横坐标为．又已知常数且，假设无论b取何值，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．题型四：比较指数式的大小12．若，则（

）A． B． C． D．13．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（

）A． B． C． D．14．已知，则（

）A． B．C． D．题型五：解指数方程或不等式15．方程的解为．16．方程的解为．17．不等式的解集是.18．设，则关于x的不等式的解集是.题型六：指数函数的最值与值域问题19．函数的最大值是．20．函数的最小值是.21．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为．22．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.(1)求与的解析式；(2)若在上的最小值为，求的值.题型七：指数函数中的恒成立问题23．不等式对任意都成立，则实数的取值范围．24．若实数，使得恒成立，则实数a的取值范围是．25．已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是．26．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.题型八：指数函数的综合问题27．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是．28．已知函数，.(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.29．已知函数(1)求不等式的解集；(2)求的值域；(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．30．（2024·河南·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，，且．(1)求函数，的解析式；(2)求不等式的解集．31．设函数（且）是定义域为的奇函数．（1）若，试求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值及取得最小值时的的值．1．（2024·广东茂名·模拟预测）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（

）A． B．3 C．1 D．或32．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（

）A． B． C． D．3．已知实数满足，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（

）A． B． C． D．5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（

）A． B． C． D．6．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（

）A．1 B． C． D．07．（2024·福建南平·二模）对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（

）A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.9198．（2024·广东广州·二模）若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对10．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数单调递增B．函数值域为C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称11．（多选题）（2024·福建厦门·三模）若，则（

）A． B． C． D．12．（多选题）（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（

）A．若，则与的全部元素之和等于3874B．若表示实数集，表示正实数集，则C．若表示实数集，则D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域13．（2024·四川·模拟预测）已知实数满足下列等式，则.14．（2024·全国·模拟预测）已知为均不等于1且不相等的正实数．若函数是奇函数，则．15．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是．16．（2024·上海黄浦·二模）设，函数.(1)求的值，使得为奇函数；(2)若，求满足的实数的取值范围.17．已知函数，且.(1)求a的值；(2)当时，恒成立，求m的取值范围.18．已知关于x的不等式的解集为．(1)求集合；(2)若，且，，，求的最小值．19．已知函数，.(1)若，求的值；(2)若方程在上有实数解，求实数的取值范围.1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（

）A． B． C． D．3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））函数的图像可能是（

）．A． B．C． D．5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））已知，，，则（）A． B．C． D．6．（2020年山东省春季高考数学真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．7．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷））设函数，其中.（1）设集合不能构成一个三角形的三条边，且.则所对应的的零点的取值集合为.（2）若是三角形的三条边，则下列结论正确的是.①.②，使不能构成一个三角形的三条边长.③若三角形是钝角三角形，则，使.8．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（江西卷））不等式的解集为．9．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版））设函数则满足的x的取值范围是.10．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（山东卷））函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．第04讲指数与指数函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u模拟基础练 2题型一：指数幂的运算 2题型二：指数函数的图象及应用 3题型三：指数函数过定点问题 5题型四：比较指数式的大小 6题型五：解指数方程或不等式 7题型六：指数函数的最值与值域问题 8题型七：指数函数中的恒成立问题 9题型八：指数函数的综合问题 11重难创新练 15真题实战练 24题型一：指数幂的运算1．已知，计算：.【解析】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以.2．.【答案】【解析】.故答案为：.3．化简求值:(1)；(2)．【解析】（1）；（2）=题型二：指数函数的图象及应用4．若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】由题意函数与函数互为反函数，所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，对比选项可知A符合题意.故选：A.5．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，要使图象不经过第一象限，则，解得.故选：B.6．当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为.【答案】【解析】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，当时，如图所示，由图可知，，恒成立，故不满足题意；当时，如图所示，由图可知，要，恒成立，需，即，解得，故综上可知：a的取值范围是.7．设、分别是方程与的根，则.【答案】【解析】如图，分别作出函数，，的图象，且函数与、分别相交于点，.由题意，．而与互为反函数，直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称.所以.所以.故答案为：.题型三：指数函数过定点问题8．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是.【答案】【解析】在函数中，当，即时，，所以点P的坐标是.故答案为：9．对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是．【答案】【解析】由函数，当时，可得，所以该函数恒经过定点.故答案为：.10．已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第象限.【答案】二【解析】由已知条件得当时，，则函数恒过点，即，此时，由于由向下平移五个单位得到，且过点，由此可知不过第二象限，故答案为：二.11．已知常数且，假设无论a取何值，函数的图像恒过定点，且点的横坐标为．又已知常数且，假设无论b取何值，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．【答案】【解析】由对数函数过定点可知：函数的图像恒过定点，则有，又因为指数函数的图像恒过定点，所以点的坐标为，故答案为：.题型四：比较指数式的大小12．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵指数函数在上单调递增，且，∴，即.∵幂函数在上单调递增，且，∴，即，∴.故选：A.13．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，求导得，当时，，则在上单调递减，则，即，而，于是，所以.故选：D14．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因为，故即，故.因为，所以，所以.故选：C.题型五：解指数方程或不等式15．方程的解为．【答案】【解析】因为，所以，即，所以.故答案为：.16．方程的解为．【答案】【解析】因为且，由指数函数的图象和性质可知：当时，恒大于等于1，所以要使方程有解，则有解得：，，所以原方程的解为，故答案为：.17．不等式的解集是.【答案】【解析】．故答案为：．18．设，则关于x的不等式的解集是.【答案】【解析】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为.故答案为：题型六：指数函数的最值与值域问题19．函数的最大值是．【答案】9【解析】由题可知：，所以又指数函数为R上的增函数，所以的最大值为故答案为：920．函数的最小值是.【答案】【解析】令t=2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]．原函数化为g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4，当t=1时，g（t）有最小值，即f（x）有最小值为-4．故答案为：-4．21．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为．【答案】【解析】由题意可知时，，当且仅当时取得等号，时，，当且仅当时取得等号，故.故答案为：.22．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.(1)求与的解析式；(2)若在上的最小值为，求的值.【解析】（1）为偶函数，，又为奇函数，，，①，即，②由得：，可得.（2），所以，，令，因为函数、在上均为增函数，故在上单调递增，则，设，，对称轴，①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，则，解得：或（舍）；②当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.综上：.题型七：指数函数中的恒成立问题23．不等式对任意都成立，则实数的取值范围．【答案】．【解析】原不等式可化为对恒成立，令，则，所以，当时，，所以.故答案为:.24．若实数，使得恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】要使在实数时恒成立等价于在实数时恒成立，则，令，为减函数，∴在上为减函数，故当时，，即实数a的取值范围是．故答案为：.25．已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是．【答案】【解析】因为是指数函数，所以，解得或者，又因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以，所以，令，要使得即恒成立，则，所以，解得，故答案为：26．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，当时，，，又因为是定义在实数集R上的奇函数，所以，即当时，.所以函数的解析式为；（2）因为对于任意实数，不等式恒成立，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，整理得在R上恒成立，令，因为，所以，当且仅当即时，等号成立，从而在上恒成立，所以在上恒成立，令，，则，因为函数在单调递减，可得的最大值为，所以，所以.题型八：指数函数的综合问题27．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是．【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示．由，得，解得或．由图象易知，直线与的图象有3个交点，所以方程有3个不同的实数根，因为方程有7个不同的实数根，所以直线与的图象有4个交点，故，解得，故实数的取值范围是．故答案为：28．已知函数，.(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）∵，，∴，即在有解，令，所以,当时；当趋向于0或时趋向于，即.（2），即，令，因为，所以为增函数，所以，则，所以，化为对任意的恒成立，在上单调递减，当时，取得最大值为，所以，实数的取值范围为.29．已知函数(1)求不等式的解集；(2)求的值域；(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由题意可得：，即.因为，则.因为函数在上单调递增，且，所以.故不等式的解集为（2）由，得：函数定义域为.令则，.因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，，当时，.故的值域为.（3）由题意得：当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立.令，.因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增所以当时，.所以，解得：故当时，不等式恒成立，的取值范围为.30．（2024·河南·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，，且．(1)求函数，的解析式；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由题意易知，，则，即，故为奇函数，故为奇函数，又①，则，故②，由①②解得，；（2）由，可得，所以，即，令，则，解得，所以，即，所以，解得，故不等式的解集为．31．设函数（且）是定义域为的奇函数．（1）若，试求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值及取得最小值时的的值．【解析】（1）由得，则，若，则，所以在上是增函数，不等式可化为，所以有，即，所以或，所以不等式的解集为.（2）若，则，所以，令，则，所以当即时，取最小值-2．1．（2024·广东茂名·模拟预测）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（

）A． B．3 C．1 D．或3【答案】B【解析】，，，（舍）．，．故选：A2．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】命题，即，因为是的充分不必要条件，显然当时满足，所以当时恒成立，则在上恒成立，又函数在上单调递增，且，所以.故选：A3．已知实数满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.令，由于均为单调递增函数，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以.故选：B.4．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，当时，，得，又，所以方程无解；当时，，得，即，解得，所以.故选：D5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，所以，又函数是奇函数，所以，即，.即.故选：C6．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，又，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，因为，所以，故.故选：B7．（2024·福建南平·二模）对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（

）A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919【答案】A【解析】.故选：C.8．（2024·广东广州·二模）若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，，即有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，，则的取值范围为．故选：D．9．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】A【解析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.故选：C10．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数单调递增B．函数值域为C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称【答案】BBD【解析】，函数，，则，又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：ABD11．（多选题）（2024·福建厦门·三模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对A：由，则，故A正确；对B：由，则，故B错误；对C：由在上单调递增，故，故C错误；对D：由，则，故，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：AD.12．（多选题）（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（

）A．若，则与的全部元素之和等于3874B．若表示实数集，表示正实数集，则C．若表示实数集，则D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域【答案】BD【解析】对于选项A：因为，根据所给定义可得，，则与的全部元素之和等于3872，故选项A错误；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，表示幂函数的值域，可知幂函数的值域为，即，故选项C错误；对于选项D：因为，当时，则，可得，故选项D正确.故选：BD.13．（2024·四川·模拟预测）已知实数满足下列等式，则.【答案】1【解析】因为，即，得，而化简得，即，构造函数，由于在都为增函数，所以在为单调递增函数，又知，所以，解得，，所以.故答案为：.14．（2024·全国·模拟预测）已知为均不等于1且不相等的正实数．若函数是奇函数，则．【答案】【解析】因为函数是奇函数，所以，即，即，则．当时，，所以，则，所以；当时，恒成立．故答案为：．15．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是．【答案】（答案不唯一）【解析】由题意，可取，函数是减函数，满足时，都有，因为，所以函数满足题意.故答案为：.（答案不唯一）16．（2024·上海黄浦·二模）设，函数.(1)求的值，使得为奇函数；(2)若，求满足的实数的取值范围.【解析】（1）由为奇函数，可知，即，解得，当时，对一切非零实数恒成立，故时，为奇函数.（2）由，可得，解得，所以解得：，所以满足的实数的取值范围是.17．已知函数，且.(1)求a的值；(2)当时，恒成立，求m的取值范围.【解析】（1）因为，所以,因为，所以，则.（2）由（1）可知，等价于.令，则，原不等式等价于在上恒成立，则，解得，故m的取值范围为.18．已知关于x的不等式的解集为．(1)求集合；(2)若，且，，，求的最小值．【解析】（1）∵，∴，即，即，解之得，∵，当且仅当取得等号，∴，解得，由在R上单调递增可得，故．（2）∵，且，，则，由，两边平方得，，所以，不妨令，则，当且仅当时等号成立，所以，由二次函数的单调性可知，当时取得等号，综上，当时取到最小值．19．已知函数，.(1)若，求的值；(2)若方程在上有实数解，求实数的取值范围.【解析】（1），，∵，∴，∴（2）∵函数在上单调递增，方程在上有解，即，∴在区间上有解，即有解，由于，所以所以，∴的取值范围为1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（