2025年新高考数学一轮复习第8章第07讲抛物线及其性质(八大题型)(练习)(学生版+解析)

第07讲抛物线及其性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：抛物线的定义与标准方程 2题型二：抛物线的轨迹方程 2题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 3题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 3题型五：焦半径问题 4题型六：抛物线的几何性质 4题型七：抛物线焦点弦的性质 5题型八：抛物线的实际应用 602重难创新练 703真题实战练 11题型一：抛物线的定义与标准方程1．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（

）A． B．C． D．2．若点满足方程，则点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线3．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．题型二：抛物线的轨迹方程4．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为．5．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．6．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型三：与抛物线有关的距离和最值问题8．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为.9．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为.10．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为．11．已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为.12．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为.13．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为.题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（

）A．4 B． C．5 D．15．（2024·四川乐山·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（

）A．6 B．8 C．12 D．1616．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若，则(为坐标原点)的面积是（

）A． B．1 C．2 D．417．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．18．如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，，若△，△的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．题型五：焦半径问题19．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（

）A．2 B．3 C．4 D．520．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为.21．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则.题型六：抛物线的几何性质22．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为823．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（

）A．的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为424．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（

）A．的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4题型七：抛物线焦点弦的性质25．（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．26．（多选题）已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于点，，点为坐标原点，点，在轴上的射影分别为，，点，在轴上的射影分别为，，则（

）A．B．C．的最小值为7D．27．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的准线方程是B．焦点到准线的距离为4C．若，则的最小值为3D．以线段为直径的圆与轴相切28．（多选题）（2024·高三·江苏南京·开学考试）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为：B．抛物线的准线方程为：C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切29．（多选题）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（

）A．的准线方程为B．线段的长度的最小值为4C．存在唯一直线，使得为线段的中点D．以线段为直径的圆与的准线相切题型八：抛物线的实际应用30．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m31．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（

）A．米 B．米C．米 D．米32．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（

）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m33．（2024·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（

）（结果精确到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.681．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（

）A． B． C． D．2．（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（

）A．4 B． C．2 D．3．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（

）A．4 B．6 C．8 D．104．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（

）A．8 B． C． D．5．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（

）A．的准线方程为B．的面积为1C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2D．存在点，使得为等边三角形6．（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（

）A． B． C． D．8．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（

）A． B．1 C． D．29．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（

）A． B． C． D．10．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（

）A． B．C． D．的面积等于的面积11．（多选题）（2024·陕西·一模）已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（

）A．曲线的焦点坐标为B．曲线过点C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为D．若曲线在的上方，则12．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．为定值D．为钝角三角形13．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点1,0与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（

）A．若，则曲线的图象为一条抛物线B．若，则曲线的方程为C．当时，对于任意的，，都有D．当时，对于任意的，，都有14．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则.15．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为.16．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为．17．（2024·福建泉州·模拟预测）若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为.18．（2024·江西南昌·模拟预测）已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上.(1)求抛物线和直线的方程；(2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程.19．（2024·浙江·二模）已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.(1)求；(2)若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．20．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．(1)求直线的斜率；(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．21．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；②求点A到直线的距离的最大值.1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（

）A．直线的斜率为 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．5．（2024年北京高考数学真题）抛物线的焦点坐标为．6．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．7．（2024年天津高考数学真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为．8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.9．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为；的面积为．10．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．12．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．第07讲抛物线及其性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：抛物线的定义与标准方程 2题型二：抛物线的轨迹方程 3题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 4题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 7题型五：焦半径问题 11题型六：抛物线的几何性质 12题型七：抛物线焦点弦的性质 14题型八：抛物线的实际应用 1902重难创新练 2203真题实战练 39题型一：抛物线的定义与标准方程1．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的，则抛物线方程可求.双曲线的渐近线方程是，即.因为抛物线的焦点到渐近线的距离为2，则，即，所以的标准方程是，故选：D．2．若点满足方程，则点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】A【解析】等式左侧表示点与点间的距离，等式右侧表示到直线的距离，整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以点轨迹为抛物线.故选：D.3．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设抛物线的标准方程为，将点点代入，得，解得，所以抛物线的标准方程是.故选：B题型二：抛物线的轨迹方程4．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为．【答案】【解析】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是．故答案为：.5．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．【答案】【解析】由题意，由得，化简得．故答案为：．6．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得，即圆的圆心的轨迹方程为.故选：C7．（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，故选：B.题型三：与抛物线有关的距离和最值问题8．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为.【答案】【解析】抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，过点作垂直准线交于点，则，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，即平行于轴时取最小值，此时，则，即，所以.故答案为：9．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为.【答案】3【解析】设点，则）根据点是的外心,，而，则所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知因为，，即，所以的最小值为3，故答案为：310．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为．【答案】【解析】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线，由题可知，的周长为，又，易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．故答案为：11．已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为.【答案】8【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，半径为，所以的最小值为.故答案为：8.12．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为.【答案】【解析】抛物线的焦点，准线，设，则，解得，显然，不妨设，关于直线的对称点为，则因此，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故答案为：13．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为.【答案】【解析】由，得，所以，准线为，不妨设点在第一象限，过作于，则，得，则，得，所以，设点关于直线对称点为，则，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为，故答案为：题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【解析】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得，，设，，则，因为面积是面积的两倍，所以，则，解得，则，则，解得，故，则.故选：B15．（2024·四川乐山·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】依题意，由于H，得，即是正三角形，，而，则直线的方程为，由，消去y并整理，得，令，解得，又准线，因此，所以与的面积之比.故选：C.16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若，则(为坐标原点)的面积是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，，所以为坐标原点)的面积是.故选：A.17．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C18．如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，，若△，△的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N，因为C的准线为，所以，，所以，解得，故C为.故选：B.题型五：焦半径问题19．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，过焦点作垂直于于点，由题意可知，根据抛物线的定义在中，，又，所以，解得.故选：C.20．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为.【答案】【解析】因为抛物线，所以，设，由得，所以，由，，所以，所以中点的横坐标为，故答案为：21．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则.【答案】5【解析】抛物线的焦点为，设直线的方程，，由消去得，则，由，得，联立解得或，因此，所以.故答案为：5题型六：抛物线的几何性质22．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8【答案】AC【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误.故选：AC23．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（

）A．的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4【答案】AB【解析】设，则，，又抛物线的焦点为，对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；对D，记抛物线的准线为，准线方程为，过作于，过作于，则，，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．故选：AB．24．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（

）A．的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4【答案】BD【解析】设，则，，又抛物线的焦点为，所以，时，等号成立．所以的最小值是1，A错；抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；易知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；记抛物线的准线为，准线方程为，过作于，过作于，则，，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．故选：CD．题型七：抛物线焦点弦的性质25．（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．【答案】BD【解析】直线过抛物线的焦点，可得，则，所以A选项错误；抛物线方程为，准线的方程为，直线与抛物线交于两点，设Ax1,y直线方程代入抛物线方程消去可得，则，得，所以B选项错误；的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为，则以为直径的圆与相切，所以C选项正确；点到直线的距离，，所以D选项正确．故选：CD．26．（多选题）已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于点，，点为坐标原点，点，在轴上的射影分别为，，点，在轴上的射影分别为，，则（

）A．B．C．的最小值为7D．【答案】ABD【解析】设Ax1,y1，B联立方程组，整理得，可得，由，所以A正确；由，所以，所以B正确；由，当且仅当时取等号，所以C错误；由，所以D正确.故选：ABD.27．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的准线方程是B．焦点到准线的距离为4C．若，则的最小值为3D．以线段为直径的圆与轴相切【答案】ACD【解析】A：抛物线的准线为，故A正确；B：焦点到准线距离为，故B错误；C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部，当直线垂直准线时取最小值，即为，故C正确；D：根据题意，可得抛物线的焦点为F1,0，设的中点为，可得，由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径，因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒故选：ACD28．（多选题）（2024·高三·江苏南京·开学考试）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为：B．抛物线的准线方程为：C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切【答案】ACD【解析】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可知:,解得.抛物线的方程为:,故正确;对于，抛物线的准线方程为，故错误；对于,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,易知抛物线的焦点，设，则,,所以,所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；对于,当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在，假设,设,AB的中点为,则，如图所示，作垂直于准线于点，则,联立，消去并整理可得，所以，所以所以,,,,以AB为直经的圆与准线相切，故D正确.故选：ACD.29．（多选题）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（

）A．的准线方程为B．线段的长度的最小值为4C．存在唯一直线，使得为线段的中点D．以线段为直径的圆与的准线相切【答案】ACD【解析】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误；对于B，，由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，，联立，消得，，则，所以，所以，时取等号，所以线段的长度的最小值为4，故B正确；对于C，由B选项得线段的中点坐标为，若点为线段的中点，则，解得，所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确；对于D，由C选项知线段的中点坐标为，则中点到准线的距离为，所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确.故选：BCD.题型八：抛物线的实际应用30．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】A【解析】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为．易知抛物线过点，则，得，所以，所以．故选：B．31．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，则，所以点到桥面的距离为米．故选：A.32．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（

）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m【答案】A【解析】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为（），由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，设（，），则，则，即可得，所以截面图中水面宽的长度约为，故选：D.33．（2024·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（

）（结果精确到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68【答案】A【解析】如图，设该抛物线的方程为，易知抛物线经过点，所以，解得，故该抛物线的顶点到焦点的距离为，故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：米.故选：A1．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的焦点，圆，其圆心，半径．设点是满足的任意一点，则，化简得，结合，所以是圆与圆的公共弦，将圆与圆的方程相减得，直线的方程为，取线段的中点，连接，则，则，故选：A．2．（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】因为在抛物线上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦点坐标为，故所求距离为，故选：D.3．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，解得或（舍去），则．故选：B．4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（

）A．8 B． C． D．【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，所以，故，不妨设在第一象限，故，所以.故选：C.5．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（

）A．的准线方程为B．的面积为1C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2D．存在点，使得为等边三角形【答案】A【解析】由题意抛物线过点，可得，所以抛物线方程为，所以准线方程为，A错误；可以计算，B正确；当时，点到的焦点的距离为2，C错误；为等边三角形，可知的横坐标为：，当时，纵坐标为：，则，则为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点不存在，所以D错误．故选：B．6．（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由点在抛物线的准线上，可得，即，所以抛物线C的方程为，焦点，准线方程为，设则，由，可得，即，整理得，又，所以，解得或，点B位于第一象限，所以，，且，显然不满足垂直，所以，所以，所以.故选:D.7．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设Ax1,，即，由得，，的方程为，由得，，，，，故.故选：B.8．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由抛物线得，则，，不妨设PQ的倾斜角为，则由，得，，所以，，得，，所以.故选：B.9．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】过的直线斜率为，则，则，依题知，且，则，即，根据，得，代入，得，渐近线方程，设，，由，所以，．故选：A.10．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（

）A． B．C． D．的面积等于的面积【答案】ABD【解析】对于选项A：由几何性质可知，且，可得，所以，故A正确：对于选项B：设直线的方程为，，联立方程，消去y可得，则，即，由条件知同号，所以.则，可得，因为，则，同理可得，则，故B正确；对于选项C：因为，可得，当且仅当时，，故C错误；对于选项D：设，由，可知直线关于直线对称，所以.因为，可得.则，，所以的面积等于的面积，故D正确.故选：ABD.11．（多选题）（2024·陕西·一模）已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（

）A．曲线的焦点坐标为B．曲线过点C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为D．若曲线在的上方，则【答案】ACD【解析】对于A中，由曲线，抛物线的焦点坐标为，所以A错误；对于B中，圆的标准方程为：，点代入圆的方程得，所以圆过点，所以B正确；对于C中，设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，整理得，可得，则，故，所以，代入，可得，解得，所以C正确；对于D中如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点，联立方程组，整理得，由，解得，所以D正确.故选：BCD.12．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．为定值D．为钝角三角形【答案】ACD【解析】由题意可知，，所以，则，其准线方程为.对于A，设过点的动直线的方程为，代入得，，，设Mx1,y1，N则，当且仅当时等号成立，A错误；对于B，由得，，解得，所以，B正确；对于C，为定值，C正确；对于D，，所以为钝角，D正确.故选：BCD.13．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点1,0与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（

）A．若，则曲线的图象为一条抛物线B．若，则曲线的方程为C．当时，对于任意的，，都有D．当时，对于任意的，，都有【答案】AC【解析】对于A，若，设曲线上的点Px,y，由题意可得，化简得，当时，为抛物线，当时，，因为，所以，而，显然不成立，综上，若，则曲线的图象为一条抛物线，故A错误；对于B，若，设曲线上的点Px,y，由题意可得，化简得，当时，为抛物线，当时，为一条射线，故B错误；对于C，若，设曲线上的点Px,y，由题意可得，化简得，因为，当时，，为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，，当时，，为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，，且与关于对称,其图象大致如下，因为，两点的纵坐标相同，根据对称性可得，故C正确；对于D，若，设曲线上的点Px,y，由题意可得，化简得，因为，当时，，为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，当时，，为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，且与关于对称,其图象大致如下，因为，两点的纵坐标相同，根据对称性可得，故D错误.故选：AC.14．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则.【答案】5【解析】抛物线的准线方程为，设点的坐标为，则，因为点到直线的距离为，所以点到准线的距离为，由抛物线定义可得.故答案为：.15．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为.【答案】【解析】抛物线的焦点，设直线l的方程为：，联立方程，消去y得，，设，则，因为，所以，即，得，故答案为：16．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为．【答案】/【解析】如图，由，得，又因为F1,0为，的中点，所以，即N为PF的三等分点，且，又因为，所以，且，所以．不妨设Px0,y0，且在第一象限，，因为点Px所以，所以△AMN的面积．故答案为：.17．（2024·福建泉州·模拟预测）若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为.【答案】/【解析】抛物线C：的焦点为，准线方程为，设直线AB的方程为，由消去得，显然，，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以则的最小值为.故答案为：18．（2024·江西南昌·模拟预测）已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上.(1)求抛物线和直线的方程；(2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程.【解析】（1）因为在抛物线上，所以，解得：所以抛物线为：，又直线的斜率为1，所以直线方程为：，即.（2）由（1）设直线的方程为，由消去x得：，有，解得，设，则，于是线段的中点坐标为，显然点在直线上，即，解得，符合题意，所以直线的方程为.19．（2024·浙江·二模）已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.(1)求；(2)若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．【解析】（1）由题意，，解得．（2）在抛物线与圆的方程中，用替换方程依然成立，这表明这两个图象都关于轴对称，所以它们的交点也关于轴对称，由，知．直线为抛物线的切线，当时，，所以抛物线在点处的切线斜率为，则．代入，得或1，故．则的周长为．20．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．(1)求直线的斜率；(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．【解析】（1）将代入抛物线方程可得，解得，故F1,0．所以．（2）由题意，直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在，则原点O到直线l的距离为1，矛盾），所以设直线的方程为．联立，化简得，显然，设Ax1,y1，B，所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，．因为原点O到直线l的距离为，所以，解得，所以圆心、半径分别为，，所以圆的标准方程为或．21．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；②求点A到直线的距离的最大值.【解析】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，且抛物线过点，所以，解得；若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，且抛物线过点，所以，解得；综上所述：抛物线的方程为或.（2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，且,，①当经过抛物线的焦点时，令，得，在中，令，得，又因为，则，可得直线，由，解得或，即，所以直线，即；②设，，，由，消去整理得，所以，，，且，即，则，令，得，所以直线经过定点，所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为.1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个【答案】ABD【解析】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确；B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B选项正确；C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确.方法二：（设点直接求解）设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形【答案】AC【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（

）A．直线的斜率为 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．【答案】ACD【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD5．（2024年北京高考数学真题）抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.6．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．【答案】【解析】由知抛物线的准线方程为x=−1，设点Px0,y0，由题意得代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．7．（2024年天津高考数学真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为．【答案】45/【解析】圆的圆心为，故即，由可得，故或（舍），故，故直线即或，故原点到直线的距离为，故答案为：8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【答案】【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.9．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为；的面积为．【答案】5【解析】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.10．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.【答案】【解析】抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.设,直线由得：，,同理，.直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.[方法三]：三点共线设，设,若P、M、N三点共线，由所以，化简得，反之，若,可得MN过定点因此，由M、N、F三点共线，得，

由M、D、A三点共线，得，

由N、D、B三点共线，得，则，AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，所以直线.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，