2025年新高考数学一轮复习第8章第05讲椭圆及其性质(九大题型)(练习)(学生版+解析)

第05讲椭圆及其性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：椭圆的定义与标准方程 2题型二：椭圆方程的充要条件 2题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 3题型四：椭圆上两点距离的最值问题 3题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 4题型六：离心率的值及取值范围 4题型七：椭圆的简单几何性质问题 5题型八：利用第一定义求解轨迹 6题型九：椭圆的实际应用 702重难创新练 803真题实战练 10题型一：椭圆的定义与标准方程1．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为．2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为.3．已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为．题型二：椭圆方程的充要条件4．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．且5．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．6．若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（

）A． B．C． D．或8．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题9．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为．10．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为.11．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则.12．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（

）A．10 B．13 C．14 D．16题型四：椭圆上两点距离的最值问题13．（2024·宁夏银川·二模）已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为．14．已知，点在点，所在的一个平面内运动且，则的最大值是，最小值是．15．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为.16．已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为．题型五：椭圆上两线段的和差最值问题17．设实数满足的最小值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．1119．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．720．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．题型六：离心率的值及取值范围21．已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（

）．A． B． C． D．22．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为．23．（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为.24．（2024·高三·福建·开学考试）已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为.25．（2024·高三·河北沧州·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为.26．已知为椭圆的两个焦点，为上一点，若的三边成等差数列，则的离心率为．27．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，则的离心率为.

题型七：椭圆的简单几何性质问题28．（多选题）连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为，则（

）A． B．椭圆的离心率为C．椭圆的焦距为 D．椭圆上存在点P，使29．（多选题）（2024·福建厦门·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（

）A． B．的离心率为C．可以为 D．可以为直角30．（多选题）若矩形的所有顶点都在椭圆上，且，，点是上与不重合的动点，则（

）A．的长轴长为4 B．存在点，使得C．直线的斜率之积恒为 D．直线的斜率之积恒为31．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（

）A．点在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4C．椭圆E的离心率为 D．使得为直角三角形的点P恰有6个32．（多选题）（2024·高三·河南·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（

）A．椭圆的长轴长是短轴长的倍 B．线段的长度为C．椭圆的离心率为 D．的周长为33．（多选题）（2024·全国·二模）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（

）A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为题型八：利用第一定义求解轨迹34．（2024·安徽·二模）已知定点，，，以为一个焦点作过，两点的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是．35．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为.36．（2024·高三·广东揭阳·期中）设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是.37．若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是．38．圆与的位置关系为；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为．题型九：椭圆的实际应用39．（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（

）

A． B．C． D．40．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（用，，R表示）．41．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为.（用R、r表示）1．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（）A． B． C．6 D．6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（

）.A． B． C． D．7．（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（

）.A． B． C． D．8．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（

）A． B． C． D．9．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（

）A．设是半焦距到的其中一个焦点的距离，那么必然有B．到直线的距离不是定值C．和没有交点D．三角形面积的取值范围是10．（多选题）（2024·四川·一模）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（

）A．B．C．当不共线时，的周长为D．设点到直线的距离为，则11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（

）A．C的方程为 B．面积的最大值为2C．坐标原点O到直线AB的距离为 D．12．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（

）A．的轨迹方程为B．的最小值为1C．若为坐标原点，则面积的最大值为D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍13．（2024·广东佛山·模拟预测）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则.若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则．14．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为.15．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是.16．（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为.1．（2022年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．2．（2022年高考全国甲卷数学真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2021年全国高考乙卷数学试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．65．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．6．（2021年浙江省高考数学试题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．8．（2024年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．9．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．10．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．11．（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程．第05讲椭圆及其性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：椭圆的定义与标准方程 2题型二：椭圆方程的充要条件 4题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 5题型四：椭圆上两点距离的最值问题 7题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 9题型六：离心率的值及取值范围 11题型七：椭圆的简单几何性质问题 15题型八：利用第一定义求解轨迹 19题型九：椭圆的实际应用 2202重难创新练 2403真题实战练 36题型一：椭圆的定义与标准方程1．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为．【答案】【解析】根据题意，如图：，由椭圆的对称性可得：，又，由勾股定理可得：，所以，，又，则，椭圆标准方程为．故答案为：．2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为.【答案】【解析】连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，，又，所以四边形为矩形，设则由题意得，解得，则，则标准方程为，故答案为：.3．已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为．【答案】【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义知，所以．又因为，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.题型二：椭圆方程的充要条件4．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．且【答案】A【解析】方程表示椭圆，，得，得且．故选：D．5．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆则应满足即．故选：D．6．若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】命题等价于，解得.故选：C.7．（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】方程可化为：，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.故选：C8．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.故选：D题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题9．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为．【答案】3【解析】，，①又②①-②得：，的面积为9，，故答案为：3.10．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为.【答案】【解析】由椭圆定义可得，则有，即，，又，由，故，故.故答案为：.11．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则.【答案】/0.5【解析】如图，记，，因为，则，，由椭圆的定义可得，所以，则，又且，有或，解得或，又点在第一象限，所以，得，则.故答案为：.12．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（

）A．10 B．13 C．14 D．16【答案】A【解析】由题意可知：，则，所以的周长为.故选：D.题型四：椭圆上两点距离的最值问题13．（2024·宁夏银川·二模）已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为．【答案】1【解析】由椭圆C：知：，故，所以，所以，的最小值为.故答案为：14．已知，点在点，所在的一个平面内运动且，则的最大值是，最小值是．【答案】51【解析】依题意知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，∴，．∴，．故答案为：5；1．15．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为.【答案】/【解析】法一：将代入椭圆的方程得，所以①，设，，则，两式相减得，又，，所以②，解①②得，所以，所以上的点到焦点的距离的最大值为.法二：将代入椭圆的方程得，所以①，直线的方程是，即，代入椭圆的方程并消去整理得，则，设，，则，即②，解①②得，满足，所以，所以上的点到焦点的距离的最大值为.故答案为：.16．已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为．【答案】【解析】由椭圆的离心率为，可得，解得，所以椭圆的方程为，设，则，因为，当时，可得取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故答案为：.题型五：椭圆上两线段的和差最值问题17．设实数满足的最小值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【答案】A【解析】设，则在椭圆上，又，设，则为椭圆的右焦点，如图，设椭圆的左焦点为，则：，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，而，故的在最小值为，故选：A.18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【解析】设椭圆的半焦距为，则，，如图，连接，则，而，当且仅当共线且在中间时等号成立，故的最大值为.故选：A.19．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.则椭圆的焦点为.又,，，故，当且仅当分别在的延长线上时取等号.此时最大值为.故选：C.20．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】椭圆上的点P满足，当点P为的延长线与C的交点时，达到最大值，最大值为．故选：B题型六：离心率的值及取值范围21．已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，即，，，所以，即，又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．故选：A．22．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，又，所以，又，又，，即，，所以，所以，即，所以，解得或．又因为，所以．故答案为：23．（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为.【答案】【解析】因为，则，所以为直角三角形，又，得，.故答案为：24．（2024·高三·福建·开学考试）已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为.【答案】【解析】设椭圆其右焦点为，椭圆上一点，则，此公式为椭圆的焦半径公式.因为椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，所以，设是椭圆与抛物线的一个公共点，因为，根据抛物线的定义，，即①又由椭圆的焦半径公式有②由①②解得，所以离心率.故答案为：25．（2024·高三·河北沧州·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为.【答案】/0.5【解析】依题意，的周长为，所以面积的最大值为，又，整理得,即,解得，故椭圆的离心率为，故答案为：26．已知为椭圆的两个焦点，为上一点，若的三边成等差数列，则的离心率为．【答案】/0.5【解析】因为成等差数列，所以，所以．故答案为：．27．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，则的离心率为.

【答案】/【解析】设，依题意，，因点在轴上，则，，又因则，化简得，在中，，故,在中由余弦定理，,即，解得：，即，则离心率为.故答案为：.题型七：椭圆的简单几何性质问题28．（多选题）连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为，则（

）A． B．椭圆的离心率为C．椭圆的焦距为 D．椭圆上存在点P，使【答案】AD【解析】椭圆的左顶点为，右顶点为，上顶点为，下顶点为，因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，若为左、右顶点与上（下）顶点时，则，解得，符合题意；若为上、下顶点与左（右）顶点时，则，解得，符合题意；综上可得，故A错误；则椭圆方程为，所以，则椭圆的离心率，故B正确；椭圆的焦距为，故C错误，因为椭圆C的右焦点为，所以，即，所以在椭圆上存在点P，使，故D正确.故选：BD29．（多选题）（2024·福建厦门·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（

）A． B．的离心率为C．可以为 D．可以为直角【答案】AC【解析】由，如下图周长为，故，所以，椭圆离心率为，A对，B错；当轴，即为通径时，且，所以，故可以为，C对；由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，此时，且，故，即不可能为直角，D错.故选：AC30．（多选题）若矩形的所有顶点都在椭圆上，且，，点是上与不重合的动点，则（

）A．的长轴长为4 B．存在点，使得C．直线的斜率之积恒为 D．直线的斜率之积恒为【答案】ABD【解析】因为矩形的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得关于原点对称，关于原点对称，由，，可得，即椭圆焦点在轴上，如图所示，又，，易得，，，.对于A，将点代入椭圆方程可得，解得，椭圆的方程为，所以椭圆的长轴长为4，故A正确；对于B，设点Px,y，且，，则，，所以，又，即当时，，故B正确；对于C，当点是左顶点时，，则，，所以，故C错误；对于D，设点Px,y，且，，则，，所以，故D正确.故选：ABD.

31．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（

）A．点在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4C．椭圆E的离心率为 D．使得为直角三角形的点P恰有6个【答案】AC【解析】由题意的长半轴长，短半轴长，焦半距，椭圆的焦点在y轴上，A错误；椭圆E的长轴长为，B正确；椭圆E的离心率为，C正确；椭圆的右顶点，焦点，所以，则，即为锐角，故根据椭圆的对称性可知，使得为直角三角形的点P恰有4个（以或为直角），D错误．故选：BC．32．（多选题）（2024·高三·河南·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（

）A．椭圆的长轴长是短轴长的倍 B．线段的长度为C．椭圆的离心率为 D．的周长为【答案】AC【解析】由，可设，又，可得，解得，即，将的坐标代入椭圆方程，可得，化为，即，故A错误；，故B正确;椭圆的离心率，故C正确;的周长为，故D错误.故选：BC.33．（多选题）（2024·全国·二模）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（

）A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为【答案】AD【解析】因为圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，所以，又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，则，故，代入圆方程可得，所以，故点P的坐标为，故D正确；将点P的坐标代入椭圆方程可得，又，解得，故椭圆C的长轴长为，短轴长为，故A不正确，B正确；则椭圆C的离心率为，故C不正确.故选：BD.题型八：利用第一定义求解轨迹34．（2024·安徽·二模）已知定点，，，以为一个焦点作过，两点的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是．【答案】【解析】在以为焦点的椭圆上，，，则可得的轨迹为以为焦点的双曲线的下支，设双曲线方程为，则可得，即，，，则焦点的轨迹方程是.故答案为：.35．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为.【答案】【解析】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．∵线段的垂直平分线交于点，如图，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．故答案为：．36．（2024·高三·广东揭阳·期中）设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是.【答案】【解析】设点的坐标为，点的坐标是，所以直线的斜率.同理，直线的斜率.由已知，有，化简，得点的轨迹方程为.所以点的轨迹是除去，两点的椭圆.故答案为：37．若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是．【答案】【解析】因为的两个顶点，，所以，因为三角形周长为，即，所以，由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，所以，，，可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，所以顶点的轨迹方程是：，故答案为：38．圆与的位置关系为；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为．【答案】内含【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含；设动圆的圆心，半径为，则，，依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，又，所以的轨迹方程为.故答案为：内含；.题型九：椭圆的实际应用39．（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】如图可知，，，，A不正确；，，；B不正确；由，可知，C不正确；，可得，故，即，，，即，D正确，故选:D.40．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（用，，R表示）．【答案】【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知，，所以．所以，所以．故答案为：.41．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为.（用R、r表示）【答案】【解析】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.故答案为：1．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

，，，即，整理得，即，等号两边同时除以得，即，求得，，，故选：B.2．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆的短轴长为2，知，，即，，因此，又椭圆的离心率，故选：A.3．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由对称性和椭圆定义可知，其中，故，不妨设，，，则，故当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，故，故当时，取得最小值，最小值为51，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围是.故选：C4．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆E:x2a不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知，因为，可得，即，可得，所以，所以的面积为，可得，解得，又因为，可得，即，将点代入椭圆的方程，可得，整理得，因为，可得，即，解得和（舍去），即椭圆的离心率为.故选：D.5．（2024·浙江·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（）A． B． C．6 D．【答案】A【解析】设，则，，，由，可得，则，有，所以，当且仅当，即时取等号．则椭圆长轴长的最小值是.故选：B．6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，不妨令，由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，BF1+BF则，，又因为，所以，则和都是直角三角形，由勾股定理可得，，即，解得，所以，，又，，所以，解得，所以椭圆的离心率为.故选：B.7．（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，可知，则，，可得，，即，，则，由椭圆定义可得，即，且，则，即，可得，，所以椭圆的方程为.故选：A.8．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由题意可得，则，则，，由，则，由在上，则有，即，即有，整理得，即，故或，由可知，不符，故舍去，即有，则.故选：C.9．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（

）A．设是半焦距到的其中一个焦点的距离，那么必然有B．到直线的距离不是定值C．和没有交点D．三角形面积的取值范围是【答案】B【解析】因为椭圆过点，所以，不妨设，，那么，，A注意到当的时候，但是，从而A错误B直线是，计算，B错误．C，从而有，同理．显然曲线在直线所围成的矩形内，椭圆在直线所围成的矩形内，由，显然椭圆和没有交点．C正确·D因为，所以，从而，D错误故选：C10．（多选题）（2024·四川·一模）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（

）A．B．C．当不共线时，的周长为D．设点到直线的距离为，则【答案】ACD【解析】对于A，由题意知：，，，，A错误；对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确；对于C，，的周长为，C正确；对于D，作垂直于直线，垂足为，设Px0,，，，，D正确.故选：BCD.11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（

）A．C的方程为 B．面积的最大值为2C．坐标原点O到直线AB的距离为 D．【答案】ACD【解析】A项，由椭圆上顶点为得，，由知，由对称性可得，所以，即，则，椭圆方程为，故A错误；B项，由A项可知，为定值，故当点到距离最大时，面积最大，即当为短轴端点时取最大值，最大值为，故B正确；C项，在中，，设为斜边上的高，由，可得点到直线的距离为，故C正确；D项，设，由，所以直线方程为，令，可得，直线方程为，令，.由点在椭圆上，则，，则，故D正确.故选：BCD.12．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（

）A．的轨迹方程为B．的最小值为1C．若为坐标原点，则面积的最大值为D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍【答案】ACD【解析】对于选项A，设Mx,y，因为A−2,0，，所以，化简得，故A错误；对于选项B，因为，则，，则，所以为椭圆的右焦点，则，故B正确；对于选项C，设的方程，代入椭圆方程，得，设，则，，所以，令，则，令，则，在为增函数，，，所以，当且仅当时即等号成立，故C正确；对于选项D，因为，，，所以，则，设，则，则，所以，则点的横坐标是点的横坐标的倍，故D正确.故选：BCD.13．（2024·广东佛山·模拟预测）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则.若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则．【答案】36【解析】椭圆是"西瓜椭圆"，离心率，解得.设，联立消去并整理得，，即，，，易知，以线段AB为直经的圆经过点，，，，，又，代入上式并化简得，解得.故答案为：36，14．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为.【答案】【解析】依题意，不妨设点在第一象限，则点，易知，由椭圆的定义知：，所以，所以.故答案为：15．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是.【答案】【解析】由椭圆方程得，，，设，则：，；由得：

（1）；又点在椭圆上，可得（2）；（1）（2）联立消去得，；即；故点到轴的距离是．故答案为：．16．（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为.【答案】/0.4【解析】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则，由，得，于是，则，，由直线的斜率为，得，即，而，解得，即，，于是，解得，所以的离心率为.故答案为：1．（2022年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.2．（2022年高考全国甲卷数学真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.3．（2021年全国高考乙卷数学试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由，因为，，所以，