2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破01圆中的范围与最值问题(八大题型)(学生版+解析)

重难点突破01圆中的范围与最值问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：斜率型 2题型二：直线型 3题型三：距离型 3题型四：周长面积型 4题型五：数量积型 4题型六：坐标与角度型 5题型七：长度和差型 6题型八：方程中的参数型 703过关测试 8

1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题题型一：斜率型【典例1-1】已知实数，满足方程，则的最大值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】如果实数，满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】若实数、满足条件，则的范围是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】已知为圆上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型二：直线型【典例2-1】（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．5【典例2-2】已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（

）A．4 B． C． D．【变式2-1】点在圆上，则的范围是．【变式2-2】已知，满足，则的范围是．【变式2-3】如果实数满足等式，那么的最大值是；的最大值是．题型三：距离型【典例3-1】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为，最小值为，的范围为．【典例3-2】直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．4 D．2【变式3-1】（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．32【变式3-2】（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．9【变式3-3】已知，且，则的最大值为（

）A．9 B．12 C．36 D．48【变式3-4】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．题型四：周长面积型【典例4-1】（2024·高三·河南·开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（

）A． B． C．1 D．－1【典例4-2】在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为【变式4-1】若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（

）A． B． C． D．【变式4-2】已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（

）A．8 B．5 C．2 D．1题型五：数量积型【典例5-1】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（

）

A．7 B．12 C．14 D．16【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式5-1】已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．8 D．【变式5-2】在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12题型六：坐标与角度型【典例6-1】已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是.【典例6-2】已知，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式6-1】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【变式6-4】已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型七：长度和差型【典例7-1】已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为．【典例7-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（

）A．8 B． C． D．12【变式7-1】设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式7-2】在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则的范围是（

）A． B．C． D．【变式7-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型八：方程中的参数型【典例8-1】（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为；若，则的最大值为.【典例8-2】如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【变式8-1】已知，，，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【变式8-2】已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【变式8-3】已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为．1．（多选题）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的范围是2．（多选题）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．直线的斜率范围为D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为3．（多选题）点是圆上的动点，则下面正确的有（

）A．圆的半径为3B．既没有最大值，也没有最小值C．的范围是D．的最大值为724．（多选题）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则(

)A．关于轴对称 B．的面积的最大值为C．当时， D．直线的斜率的范围为5．（多选题）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（

）A．的范围是 B．的范围是C．的最大值为1 D．的范围是6．（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（

）A．圆M上点到直线的最小距离为B．圆M上点到直线的最大距离为C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个D．圆与圆M有公共点，则a的范围是7．（多选题）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（

）A．的最大值为B．的最小值为C．存在点使D．过点作圆的切线，则切线长为8．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5B．的最大值为C．直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离最大为49．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（

）A．面积的最大值为12 B．的最大值为72C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分10．（多选题）已知点在圆C：上，点，，则（

）A．直线与圆相切B．点到直线的距离小于7C．当最大时，D．的最小值小于15°11．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（

）A．动点的轨迹方程为 B．C．的最小值为 D．的最大角为12．（多选题）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（

）A．的最小值为 B．直线必过定点C．满足的点有两个 D．的最小值为13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是．14．已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为15．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为.16．（2024·江西宜春·一模）已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是.17．已知若圆上存在点P，使得，则m的范围．18．（2024·上海·一模）已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的范围是．19．已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是．20．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为.21．已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为．22．（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为.23．已知满足，则函数的最小值为．重难点突破01圆中的范围与最值问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：斜率型 2题型二：直线型 5题型三：距离型 7题型四：周长面积型 10题型五：数量积型 12题型六：坐标与角度型 15题型七：长度和差型 19题型八：方程中的参数型 2303过关测试 27

1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题题型一：斜率型【典例1-1】已知实数，满足方程，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程化为，表示的图形是一个以为圆心，为半径的半圆，令，即，如图所示，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，解得或（负值不满足条件，舍去），所以的最大值为，故选：C.【典例1-2】如果实数，满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.其中圆心，半径从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；同理，的最小值为－1.则的范围是.故选：B.【变式1-1】若实数、满足条件，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，可得，则直线与圆有公共点，所以，，解得，即的取值范围是.故选：B.【变式1-2】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为，由切线性质有，，解得，故的取值范围为，故选：D【变式1-3】已知为圆上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由于为圆上任意一点，故可看作圆上任意一点到定点的斜率，当直线与圆相切时，此时斜率最大，由于相切时，故，此时斜率,故的最大值为，故选：C题型二：直线型【典例2-1】（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【解析】由，令，则，所以当时，的最大值为.故选：A【典例2-2】已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】因为圆：经过点，．又，所以，可看成是直线在轴上的截距.如图所示，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为.故选：C．【变式2-1】点在圆上，则的范围是．【答案】【解析】设，，即，所以，因为，所以.故答案为：【变式2-2】已知，满足，则的范围是．【答案】【解析】因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，即点为圆上的点，令，即，当直线与圆相切时取得最值，所以，即，解得，所以故答案为：【变式2-3】如果实数满足等式，那么的最大值是；的最大值是．【答案】//【解析】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方．因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为，则的最大值是．令，则是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为．故答案为：；.题型三：距离型【典例3-1】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为，最小值为，的范围为．【答案】644【解析】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，则表示在圆上点到距离的平方，而圆心到的距离为，所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，故的最大值为64，最小值为4；又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，所以的范围为.故答案为：64，4，【典例3-2】直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为2，所以到圆心的距离为，则在圆内，则的最大值为，故选：B【变式3-1】（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．32【答案】B【解析】设，则，当时，取得最大值.故选：C.【变式3-2】（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为.故选：C.【变式3-3】已知，且，则的最大值为（

）A．9 B．12 C．36 D．48【答案】B【解析】设与为圆上一点，则，得，，即为等腰直角三角形，设为的中点，则，得，即点在以为圆心，2为半径的圆上，故，因为点到定点D的距离的最大值为，因此的最大值为36.故选：C【变式3-4】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由题意作出图形如图所示设，，由∽,可得，所以，即，即，所以，所以，所以点，将点的坐标代入直线中，化简可得（不同时为），所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最大值为故选：B.题型四：周长面积型【典例4-1】（2024·高三·河南·开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（

）A． B． C．1 D．－1【答案】B【解析】直线的方程可化为所以直线恒过定点，因为所以点在圆内，由圆的性质可得当时，最小，周长最小，又，所以，此时．故选：C．【典例4-2】在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为【答案】【解析】设点，则由已知得，所以，即故点的轨迹方程为，即，其圆心，半径为．直线AC的方程为，即圆心到直线AC的距离则点到边AC的距离的最小值为，最大值为又则面积的最小值为，最大值为，所以面积的范围为．故答案为：．【变式4-1】若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为圆C的方程为，所以圆C的半径为，所以圆C的最小周长为.故选：D.【变式4-2】已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（

）A．8 B．5 C．2 D．1【答案】D【解析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，又圆心坐标为，则，又半径为，则当最大时，，此时面积也最大，．故选：A．题型五：数量积型【典例5-1】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（

）

A．7 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】如图，连接，作，，易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，，故，故，当反向时等号成立，故C正确.故选：C【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，所以．因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，则MD⊥BC，，可得，，．以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，可得，圆M的方程为，设，则，结合，可得，因为A点在圆M：上运动，所以，可得当时，，达到最大值．综上所述，当时，有最大值．故选：D．【变式5-1】已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．8 D．【答案】D【解析】圆，圆心，半径为3，如图，

为弦的中点，，共线时等号成立，.故选:D.【变式5-2】在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为，因为，，所以,，，，得到，所以，又因为，所以，又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号，所以，故选：B.题型六：坐标与角度型【典例6-1】已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是.【答案】【解析】如图圆，在直线上，若圆存在点，使得，当在直线上运动，极端情况，与圆相切，.在中，，所以.所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点.符合条件的点在线段之间.所以或.故的取值范围为.故答案为：【典例6-2】已知，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】点在圆上，,则，如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点.故选：C【变式6-1】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，，当且仅当时取等号，即，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为故选：C【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，因为，且，当最小时，则最大，可得最大，即最大，又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，此时，所以取得最大值．故选：C．【变式6-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】设过三点的圆的圆心为，且，由于，故最大，则最大，只需要圆与圆相切于点时，最大，则有或（舍去），，所以,易知此时四点共线，此时进而，故，故选：A.【变式6-4】已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆D：的圆心，半径为，圆C：的圆心，半径为，因为圆与圆相外切，所以，所以，且圆与轴交于，不妨记，因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上，由对称性不妨令，当时，则，解得，故，当时，则，解得，此时，故，当时，则，解得，故，综上所述，的最大值为.故选：B.题型七：长度和差型【典例7-1】已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为．【答案】【解析】由，得复数在复平面内对应点，复数在复平面内对应点．

，，，记与夹角为，，所以,，到直线的距离，到直线的距离，即求的最大值．设点D为的三等分点，且，则D到直线的距离，，即求的最大值，设D到直线距离为，即求最大值．由，，可知，点，在圆上运动，，故当时，取得最大值，取得最大值，取得最大值，故答案为：.【典例7-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（

）A．8 B． C． D．12【答案】D【解析】由圆上两点Ax1,y得，设的中点为，则，由，得，所以，所以点的轨迹是以为半径，为原点的圆，，表示两点到直线的距离之和的倍，因为为的中点，故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为，所以的最大值是.故选：D.【变式7-1】设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设关于直线对称的点的坐标为，则，解得，，即，由对称性可知，对于圆，圆心，半径，，当且仅当A，C，三点共线时等号成立，由于，，则.故选A．【变式7-2】在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，当，，，交换位置可得，故，，又，显然能取到，故，由对勾函数性质可知，当或时，，故，故选：D【变式7-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆C：的圆心为，半径为2，直线l的方程可化为，于是l过定点，且，显然，即，又，因此，设，，显然，则，其中，当时等号成立，此时，，符合条件，所以的最大值为．故选：D题型八：方程中的参数型【典例8-1】（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为；若，则的最大值为.【答案】3【解析】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，，圆的方程为，设点的坐标为，则，，故的最大值为，，，，，，，，，故的最大值为3，故答案为：，3【典例8-2】如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，，故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设，则，又，故，则，其中，显然当时，取最大值.故选：D.【变式8-1】已知，，，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点，因为，所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为则面积的最大值为.故选：.【变式8-2】已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点为圆上一动点，故设，则，令，则，即，则，其中为辅助角，，则，整理得，故的最大值为，故选：A【变式8-3】已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为．【答案】【解析】如下图所示，连接、，则、，所以四边形对角互补，则、、、四点在以为直径的圆上.设，则该圆的圆心为，半径为，则该圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，故直线所在的方程为，整理得，又因为点在直线上，故，即点的轨迹为，又因为的坐标为，因为，所以在圆上运动，故的最小值为到直线的距离减去半径，即，即的最小值为.故答案为：1．（多选题）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的范围是【答案】DBD【解析】因为实数x，y满足方程，所以，得圆心为，半径为1，对于AB，设，则两直线与圆有公共点，所以，解得，，所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确，对于C，因为原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离，所以，所以，所以的最大值为，所以C错误，对于D，表示出圆上的点到直线的距离，因为圆心到直线的距离为，所以，即，所以D正确，故选：ABD2．（多选题）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．直线的斜率范围为D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为【答案】DC【解析】圆的圆心，半径，又，所以，即点在圆外，所以，故A正确；，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；设的中点为，则，又，所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，所以公共弦方程为，故D错误．故选：AC．3．（多选题）点是圆上的动点，则下面正确的有（

）A．圆的半径为3B．既没有最大值，也没有最小值C．的范围是D．的最大值为72【答案】AC【解析】圆转化为，则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.设，则直线与圆有交点，即，整理得，解得或.既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.设，，则，其中.则的取值范围为，选项C正确.又，则，因此其中.则的最大值为，选项D错误.故选：BC.4．（多选题）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则(

)A．关于轴对称 B．的面积的最大值为C．当时， D．直线的斜率的范围为【答案】DC【解析】设，由得，，整理得的方程为，其轨迹是以为圆心，半径的圆．由图可知，由于，所以当垂直时，即时，的面积的最大值，所以，选项B错误；因为，所以，所以，又轨迹的轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，选项A正确；当时，，则为等腰直角三角形，，选项C正确；当直线与圆相切时，，此时，所以，所以切线的倾斜角为和，由图可知，可得直线的斜率的取值范围为，选项D错误.故选：AC5．（多选题）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（

）A．的范围是 B．的范围是C．的最大值为1 D．的范围是【答案】AD【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解对于A，，故，化简得，，所以，，A错对于B，，又因为实数、满足条件，故，所以，，B对对于C，由于，所以，，故，化简得，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，C错对于D，即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，即时，直线与圆相切，当过定点的直线的斜率存在时，令，则可看作圆上的动点到定点的连线的斜率，可设过定点的直线为：，该直线与圆相切，圆心到直线的距离设为，可求得，化简得，故，故D对故选：BD6．（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（

）A．圆M上点到直线的最小距离为B．圆M上点到直线的最大距离为C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个D．圆与圆M有公共点，则a的范围是【答案】DD【解析】由题意，可得如下示意图：∵为等腰三角形且AB＝AC，知：外心、重心在的中垂线上，由“欧拉线”定义即为“欧拉线”且B、C中点在直线上，而，∴直线：，而圆M与直线知，∴圆M：，且直线：圆心M到直线的距离，圆上点与直线距离范围为，故A正确，B错误；圆心M到直线BC的距离，故C错误；圆与圆M有公共点，即，所以，故D正确.故选：AD7．（多选题）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（

）A．的最大值为B．的最小值为C．存在点使D．过点作圆的切线，则切线长为【答案】DD【解析】对于A，设，则点到直线的距离，解得，得的最大值为，故A正确；对于B，令，则点到直线的距离，解得，得的最小值为，故B错误；对于C，假设存在点使，设Px,y，则，化简得，因此满足的点在圆上，此圆圆心为，半径为，而，因此与圆外离，所以不存在点使，故C错误；对于D，圆的圆心为，半径为，则过点作圆的切线，则切线长为，故D正确.故选：AD.8．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5B．的最大值为C．直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离最大为4【答案】AC【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，Px0所以的最大值为，A选项错误.如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B选项正确.直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确.圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D选项错误.故选：BC9．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（

）A．面积的最大值为12 B．的最大值为72C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分【答案】DBD【解析】对于A，设点，由，得，化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，所以面积的最大值为，故A正确；对于B，设线段AB的中点为N，，当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；对于D，由，|OB|=2，有，当点M不在x轴上时，由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确．故选：ABD．10．（多选题）已知点在圆C：上，点，，则（

）A．直线与圆相切B．点到直线的距离小于7C．当最大时，D．的最小值小于15°【答案】ACD【解析】对于A：圆：的圆心，半径，直线的方程为，即，圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，A错误；对于B：因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确；对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大，此时，C正确；对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小，由，又得，又，可得，又，因为，所以，又为锐角，所以，D正确.故选：BCD.11．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（

）A．动点的轨迹方程为 B．C．的最小值为 D．的最大角为【答案】DCD【解析】设，依题意有，化简得，所以动点的轨迹方程为，A选项正确；方程表示圆心为B4,0半径为2的圆，圆心B4,0到直线的距离，所以MN的最小值为，B选项错误；，当三点共线时，有最小值，最小值为点到直线的距离，C选项正确；的最大时，与圆相切，此时，，，D选项正确；故选：ACD12．（多选题）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（

）A．的最小值为 B．直线必过定点C．满足的点有两个 D．的最小值为【答案】ACD【解析】圆的圆心为，半径，则到直线的距离，则，故A错误；设，以为直径的圆，又圆，两圆的方程相减得，即，由，解得，因此直线过定点，故B正确；对于直线，令，则，即，令，则，所以，则的中点为，，则以为直径的圆的方程为，又，则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；因为，，设，Mx,y，则，则，即又，，所以，所以，当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确.故选：BCD13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是．【答案】【解析】由题意知，，则圆心，半径，如图，过点P作圆C的两条切线