2025年新高考数学一轮复习第8章第02讲两条直线的位置关系(八大题型)(练习)(学生版+解析)

第02讲两条直线的位置关系目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：两直线位置关系的判定 2题型二：两直线的交点与距离问题 2题型三：有关距离的最值问题 3题型四：点关于点对称 3题型五：点关于线对称 3题型六：线关于点对称 4题型七：线关于线对称 4题型八：直线系方程 402重难创新练 503真题实战练 8题型一：两直线位置关系的判定1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（

）A． B． C．1 D．22．已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·湖北黄冈·二模）已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（

）A．−2或 B．2或 C． D．−24．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（

）A． B．C． D．题型二：两直线的交点与距离问题5．已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知点、、，且，则.7．若直线与直线平行，则直线与的距离为.8．若点到直线l：的距离为，则实数．题型三：有关距离的最值问题9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．10．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．11．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．612．（多选题）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为313．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．14．已知x，y为实数，代数式的最小值是．题型四：点关于点对称15．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为.16．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为，．17．过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为．题型五：点关于线对称18．点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．19．点关于直线对称点Q的坐标为（）A． B． C． D．20．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（

）A． B．C． D．21．已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为.题型六：线关于点对称22．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝.23．直线关于点对称的直线的方程为．24．直线关于点的对称直线方程是．25．与直线关于点对称的直线的方程为.题型七：线关于线对称26．直线关于直线的对称直线方程为．27．已知直线，它关于直线对称的直线方程为.28．直线关于直线对称的直线方程是．题型八：直线系方程29．过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=030．经过点和两直线；交点的直线方程为.31．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为．1．（2024·高三·陕西西安·期末）已知，，直线：，：，且，则下列选项中错误的一项是（

）A． B． C． D．2．（2024·四川绵阳·二模）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，且直线AB的斜率为，则（

）A． B． C． D．3．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（

）A．12 B． C．15 D．4．在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（

）A．2 B． C．1 D．5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（

）A． B．C． D．6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（

）A． B． C．2 D．7．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2C．点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为248．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．3 C． D．59．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（

）A．， B．当时，C．当时， D．，使得10．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（

）A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是11．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是12．（多选题）（2024·辽宁·一模）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：

①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧；④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．② C．③ D．④13．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式，则实数的取值集合为.15．（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为.16．（2024·四川南充·三模）如图，，且与的距离为1，与的距离为2.若在上，分别在，上，，，.则四边形的面积为.

1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在上，则的边长是（

）A． B． C． D．3．（2003年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（

）A． B． C． D．4．（2003年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））直线关于x轴对称的直线方程为（

）A． B． C． D．5．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（浙江））直线关于直线对称的直线方程是（）A． B．C． D．6．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.第02讲两条直线的位置关系目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：两直线位置关系的判定 2题型二：两直线的交点与距离问题 3题型三：有关距离的最值问题 4题型四：点关于点对称 9题型五：点关于线对称 10题型六：线关于点对称 12题型七：线关于线对称 13题型八：直线系方程 1402重难创新练 1503真题实战练 27题型一：两直线位置关系的判定1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由题意可知若，则，又因为即，故，即.故选：B.2．已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若则且所以或所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．3．（2024·湖北黄冈·二模）已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（

）A．−2或 B．2或 C． D．−2【答案】A【解析】记为坐标原点，因为，所以，所以点，均在以原点为圆心为半径的圆上.连接，取的中点，连接，则，不妨设，则，所以.故选：D.4．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，即且，，所以.故选：D.题型二：两直线的交点与距离问题5．已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】就是到原点距离，到原点距离的最小值为则的最小值为2，故选：B.6．已知点、、，且，则.【答案】【解析】已知点、、，且，则，解得.故答案为：.7．若直线与直线平行，则直线与的距离为.【答案】/【解析】由于与平行，则，即，解得或，当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意；当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意；综上所述：，两直线方程分别为，所以直线与的距离为.故答案为：.8．若点到直线l：的距离为，则实数．【答案】3或．【解析】点到直线l：的距离为，则，解得或．故答案为：3或．题型三：有关距离的最值问题9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【答案】A【解析】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.10．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则.设，则有，解得，所以.设，则，所以，又，所以点到轴的距离为，所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.故选：B．11．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是4，故选：B.12．（多选题）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为3【答案】ACD【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.故选：BCD13．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点为直线上的动点，由可看作与的距离和与的距离之和，设点则点为点关于直线的对称点，故，且，所以，当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为.故选：C14．已知x，y为实数，代数式的最小值是．【答案】5【解析】即，几何意义为点与点的距离；即，几何意义为点与点的距离；即，几何意义为点与点的距离，分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，则，∴，当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立，故答案为：5.题型四：点关于点对称15．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为.【答案】【解析】设，则AC边的中点为，BC边的中点为，因为点M在y轴上，所以，解得.因为点N在x轴上，所以，解得，即.故答案为:.16．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为，．【答案】，【解析】设，，因为AB中点，所以，即，，所以，，所以，故答案为：，；.17．过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为．【答案】【解析】设中点为，因为，所以在直线上，由在直线上，联立可得，解得，即中点为，所以直线的斜率，所以的方程为，即．故答案为：．题型五：点关于线对称18．点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.19．点关于直线对称点Q的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点关于直线的对称点Q，则，解得：．所以.故选：A．20．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，则，即点A坐标为.故选：C21．已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为.【答案】【解析】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得，当时代入得；当时代入得，即得关于的对称点；入射光线所在直线方程为：；化简得：.故答案为：.题型六：线关于点对称22．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝.【答案】2【解析】因为直线与直线关于点对称，所以，解得，又，解得，或（重合，舍），所以．23．直线关于点对称的直线的方程为．【答案】【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线l上，所以，即直线的方程为．故答案为：24．直线关于点的对称直线方程是．【答案】【解析】设对称直线为，则有，即解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中.故答案为：.25．与直线关于点对称的直线的方程为.【答案】【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中又点到直线与到直线的距离相等所以，即，所以或（舍）.故所求直线方程为：.故答案为：.题型七：线关于线对称26．直线关于直线的对称直线方程为．【答案】【解析】设直线关于直线对称的直线为，由得：，则点在直线上；在直线上取一点，设其关于直线对称的点为，则，解得：，即；直线的方程为：，即.故答案为：.27．已知直线，它关于直线对称的直线方程为.【答案】【解析】设对称的直线方程的点为，对称点为，直线斜率为1，则有，消去得，故答案为：28．直线关于直线对称的直线方程是．【答案】【解析】联立，解得，即两直线的交点为．在直线上取一点，设点P关于直线的对称点为，则，解得，即．所以直线MQ的方程为，即.故答案为:．题型八：直线系方程29．过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】A【解析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.30．经过点和两直线；交点的直线方程为.【答案】【解析】设所求直线方程为，点在直线上，，解得，所求直线方程为，即．故答案为：.31．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为．【答案】x－y＝0.【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，因为它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，即λ＝－，故所求直线为x－y＝0.故答案为：x－y＝0.1．（2024·高三·陕西西安·期末）已知，，直线：，：，且，则下列选项中错误的一项是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，A选项正确；，B选项正确；，C选项错误；，D选项正确.故选：C.2．（2024·四川绵阳·二模）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，且直线AB的斜率为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设且，C为AB的中点，直线AB与轴相交于点D，

，，，.故选：C3．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（

）A．12 B． C．15 D．【答案】A【解析】由题意知直线：与直线，，则，即，故，当且仅当，结合，即时等号成立。故的最小值为，故选：B4．在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】集合可以看作是表示直线上的点的集合，由变形可得，，由可得，，所以直线过定点.集合可看作是直线上的点的集合，由变形可得，，由可得，，所以，直线过定点.显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值.故选：D.5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，设点关于直线的对称点为，则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．故，故选：B.6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】，，则，即，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，故点到直线距离的最大值为．故选：．7．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2C．点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24【答案】A【解析】设点的坐标为，因为，动点满足，所以，得，因为，所以，即点的轨迹方程为，当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，所以点对应的轨迹如图所示，且，,所以点的轨迹为菱形，所以AC错误，原点到直线的距离为，所以B错误，点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确.故选：D8．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】设点关于直线对称的点为，则有，所以“将军饮马”的最短总路程为，故选：C9．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（

）A．， B．当时，C．当时， D．，使得【答案】AB【解析】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，可知表示直线上所有的点，所以，故A正确；对于选项B：当时，则，，联立方程，解得，所以，B正确；对于选项C：当时，则有：若，则；若，可知直线与直线平行，且，可得，解得；综上所述：或，故C错误；对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．故选：AB．10．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（

）A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是【答案】ABD【解析】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为，由解得，所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误；对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为，将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误；对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，；点关于直线的对称点为，所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确；对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为，由解得；点关于直线的对称点为，将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.故选：ABD.11．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AC【解析】设，易知点的轨迹是抛物线的上半部分，抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，对于AB，，所以的最小值为，故A错误，B正确；对于CD，，所以的最小值是，故C正确，D错误.故选：BC.12．（多选题）（2024·辽宁·一模）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：

①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧；④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】由图象知：，，，，，，，当直线为分类直线时，，当直线为分类直线时，其过，由图可知，到直线距离最小，到直线的距离为，到直线的距离为，所以，所以直线分类效果好，故①错误；由图知的位置由，，确定，所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．可知点，，直到线的距离相等，所以直线过点，的中点，而的中点为,的中点为，故直线的斜率为，故②正确；又直线的方程为，此时点在的右侧，故③正确；去掉点后，，到直线的距离相等，此时直线为线段，的垂直平分线，故④正确；故答案为：BCD13．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为.【答案】【解析】联立与可得，故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，故直线方程为，即，故答案为：14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式，则实数的取值集合为.【答案】【解析】平面直角坐标系中,，，,，，，，∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为故答案为:.15．（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直