数学自我小测：空间向量的基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则（）A．m,n，p共线B．m与p共线 C．n与p共线D．m，n,p共面2．如图所示,在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点,若eq\o（A1B1，\s\up6(→）)＝a,eq\o（A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A，\s\up6（→）)＝c,则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→））相等的向量是（)A．－eq\f（1，2)a＋eq\f(1，2)b＋cB.eq\f（1，2)a＋eq\f(1,2)b＋c C。eq\f(1,2)a－eq\f（1,2）b＋cD．－eq\f（1，2）a－eq\f(1,2)b＋c3．对于空间一点O和不共线的三点A,B,C，且有6eq\o(OP,\s\up6(→）)＝eq\o（OA，\s\up6(→）)＋2eq\o（OB,\s\up6(→））＋3eq\o(OC,\s\up6（→)）,则()A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B,C四点共面 D．O，P,A,B，C五点共面4．三射线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分，且eq\o(AC1,\s\up6（→）)＝xeq\o(AB,\s\up6（→）)＋2yeq\o(BC,\s\up6（→））＋3zeq\o（CC1，\s\up6（→)),那么x＋y＋z的值为（)A．1B.eq\f（5,6）C。eq\f(2，3）D.eq\f(11，6）5．在△ABC中,已知D是AB边上一点，若eq\o（AD，\s\up6(→)）＝2eq\o（DB,\s\up6（→））,eq\o(CD,\s\up6（→））＝eq\f(1,3)eq\o（CA，\s\up6（→））＋λeq\o(CB，\s\up6（→）)，则λ＝（）A.eq\f(2，3)B.eq\f(1,3）C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3）6．已知G是△ABC的重心，点O是空间任意一点，若eq\o（OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OB,\s\up6(→））＋eq\o（OC,\s\up6（→)）＝λeq\o(OG，\s\up6(→))，则λ＝__________.7．在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，eq\o（AC,\s\up6（→)）＝λeq\o(AE，\s\up6(→))＋μeq\o（AF，\s\up6（→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________。8．在平行六面体ABCD。A1B1C1D1中，若eq\o（AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6（→))＋2y·eq\o（BC，\s\up6(→）)＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→)),则x＋y＋z等于__________．9．已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o（OA，\s\up6（→）)，eq\o（OF，\s\up6（→）)＝keq\o（OB，\s\up6(→）），eq\o(OG,\s\up6（→))＝keq\o（OC，\s\up6（→))，eq\o(OH,\s\up6(→)）＝keq\o（OD，\s\up6(→))。求证：(1）点E，F，G，H共面；（2）AB∥平面EFGH.10．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点,求证：B1C∥平面ODC

参考答案1．解析：p＝2a＝m＋n，即p可由m,n线性表示，所以m，n，p共面．答案：D2．解析：eq\o（B1M,\s\up6(→）)＝eq\o(B1B，\s\up6（→))＋Beq\o(M,\s\up6（→）)＝eq\o(A1A,\s\up6（→)）＋eq\f（1,2)eq\o（BD，\s\up6(→))＝eq\o(A1A，\s\up6(→））＋eq\f(1,2）（eq\o(B1A1,\s\up6(→））＋eq\o（B1C1,\s\up6(→））)＝－eq\f（1,2)a＋eq\f（1，2)b＋c。∴应选A.答案：A3．解析：由6eq\o(OP,\s\up6（→))＝eq\o（OA，\s\up6(→））＋2eq\o（OB,\s\up6(→）)＋3eq\o（OC,\s\up6(→）)，得eq\o(OP,\s\up6（→））－eq\o(OA,\s\up6（→）)＝2(eq\o(OB,\s\up6（→））－eq\o(OP,\s\up6（→))）＋3(eq\o(OC，\s\up6(→))－eq\o(OP，\s\up6(→)）)，即eq\o（AP，\s\up6(→））＝2eq\o（PB，\s\up6（→）)＋3eq\o（PC，\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6（→）），eq\o（PB，\s\up6（→））,eq\o(PC,\s\up6(→)）共面．又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．答案：B4．解析：由题意知AB，BC，BB1不共面，四边形BB1C1C为平行四边形，eq\o(CC1,\s\up6(→)）＝eq\o(BB1，\s\up6（→）），∴{eq\o(AB，\s\up6（→）），eq\o(BC,\s\up6(→）)，eq\o（CC1,\s\up6（→）)}为一个基底．又由向量加法eq\o（AC1，\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o(BC,\s\up6（→））＋eq\o（CC1，\s\up6(→))，∴x＝2y＝3z＝1.∴x＝1，y＝eq\f（1,2），z＝eq\f（1,3），∴x＋y＋z＝eq\f(11，6).答案：D5．解析：如图,eq\o(CD，\s\up6（→）)＝eq\o(CA,\s\up6(→））＋eq\o（AD，\s\up6(→）)＝eq\o(CA,\s\up6(→)）＋eq\f(2,3)eq\o（AB，\s\up6(→）)＝eq\o(CA,\s\up6（→)）＋eq\f（2，3）（eq\o(CB，\s\up6（→)）－eq\o（CA,\s\up6(→)）)＝eq\f(1,3)eq\o(CA，\s\up6(→））＋eq\f(2,3）eq\o（CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f（2，3)。答案:A6．答案：37．解析：设eq\o(AB，\s\up6(→））＝a，eq\o（AD,\s\up6(→）)＝b，则eq\o(AC，\s\up6（→））＝a＋b，eq\o(AE,\s\up6（→））＝eq\f（1,2)a＋b，eq\o（AF,\s\up6（→)）＝a＋eq\f（1,2）b,∴λeq\o（AE,\s\up6(→)）＋μeq\o(AF，\s\up6（→））＝λeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)a＋b））＋μeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1，2）b)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))a＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（λ＋\f(1,2)μ））b，∴a＋b＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)λ＋μ))a＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(λ＋\f（1，2）μ））b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝\f(2，3），,μ＝\f(2,3），)）∴λ＋μ＝eq\f（4,3）。答案：eq\f（4，3）8．解析：如图,eq\o(AC1,\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6(→）)＋eq\o(CC1,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＋(－1）·eq\o（C1C，\s\up6（→））,又已知eq\o(AC1,\s\up6（→）)＝x·eq\o(AB，\s\up6(→）)＋2y·eq\o（BC,\s\up6（→))＋3z·eq\o(C1C，\s\up6(→)），∴x·eq\o（AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C，\s\up6（→)）＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6（→））＋（－1)·eq\o（C1C，\s\up6（→））eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，2y＝1，3z＝－1）)x＝1,y＝eq\f（1,2），z＝－eq\f（1，3）,∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2）－eq\f（1，3）＝eq\f（7,6).答案：eq\f(7，6)9．思路分析:（1)要证E，F，G，H四点共面，可先证向量eq\o（EG，\s\up6(→))，eq\o(EF，\s\up6（→)),eq\o(EH,\s\up6（→））共面，即只需证eq\o（EG,\s\up6（→）)可以用eq\o（EF，\s\up6（→））,eq\o(EH，\s\up6（→)）线性表示；（2)可证明eq\o（AB，\s\up6（→))与平面EFGH中的向量eq\o(EF，\s\up6（→）)或eq\o(EG,\s\up6（→)），eq\o(EH，\s\up6(→））之一共线．证明：（1）∵eq\o（OA，\s\up6(→））＋eq\o(AB，\s\up6（→）)＝eq\o（OB,\s\up6(→）），∴keq\o（OA，\s\up6（→））＋keq\o（AB，\s\up6(→)）＝keq\o（OB,\s\up6(→））.而eq\o（OE，\s\up6(→)）＝keq\o(OA，\s\up6(→）)，eq\o（OF,\s\up6（→）)＝keq\o（OB，\s\up6（→）），∴eq\o（OE，\s\up6（→))＋keq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\o(OF，\s\up6（→)）。又eq\o（OE，\s\up6(→)）＋eq\o(EF,\s\up6(→)）＝eq\o(OF，\s\up6（→）），∴eq\o(EF,\s\up6（→)）＝keq\o(AB，\s\up6（→））。同理：eq\o(EH,\s\up6（→））＝keq\o（AD,\s\up6（→）），eq\o（EG,\s\up6(→))＝keq\o(AC，\s\up6(→)）.∵ABCD是平行四边形，∴eq\o（AC,\s\up6（→）)＝eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o（AD,\s\up6（→)），∴eq\f（E\o(G，\s\up6（→)）,k)＝eq\f（E\o（F,\s\up6（→））,k）＋eq\f(E\o(H,\s\up6(→）)，k),即eq\o(EG，\s\up6（→））＝eq\o(EF,\s\up6(→）)＋eq\o（EH，\s\up6（→））.又它们有同一公共点E，∴点E，F,G,H共面．（2）由(1）知eq\o（EF,\s\up6（→））＝keq\o（AB,\s\up6（→）)，∴AB∥EF。又AB⊄平面EFGH,∴AB与平面EFGH平行，即AB∥平面EFGH。10．证明：eq\o(B1C,\s\up6（→）)＝eq\o（B1O,\s\up6（→))＋eq\o(OC1,\s\up6（→))＋eq\o（C1C，\s\up6(→）)＝eq\o（B1O，\s\up6（→))＋eq\o(OC1，\s\up6(→））＋eq\o（D1D，\s\up6（→))＝eq\o(B1O,\s\up6(→））