数学自我小测：均值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．函数f（x）＝x＋eq\f（4，x）＋3在（－∞，－2］上（）A．无最大值，有最小值7B．无最大值,有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值－1,无最小值2．设a>0，b〉0，若eq\r(3）是3a与3b的等比中项，则eq\f（1，a）＋eq\f（1，b)的最小值为（）A．8B．4C．1D．eq\f（1，4）3．点P（x，y)是直线x＋3y－2＝0上的动点，则代数式3x＋27y有(）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值64．若a，b，c＞0，且a(a＋b＋c）＋bc＝4－2eq\r（3），则2a＋b＋c的最小值为（）A．eq\r(3)－1B．eq\r（3）＋1C．2eq\r(3）＋2D．2eq\r（3)－25．设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0．则当eq\f(z，xy）取得最小值时，x＋2y－z的最大值为（)A．0B．eq\f(9,8）C．2D．eq\f（9,4）6．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于eq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(v，20)））2千米，那么这批物资全部到达7．设a≥0,b≥0，且a2＋eq\f（b2，2）＝1,则aeq\r(1＋b2)的最大值为________．8．已知直线x＋y＝1经过第一象限内的点Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,a）,\f（1,b)）），则a＋4b的最小值是________．9．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人,每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．(1）若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？（2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图所示),设容器高为h米，盖子边长为a米．（1)求a关于h的解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大?并求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)

参考答案1．解析：∵x≤－2，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x）＋3＝－eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（(－x)＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（4,x))）)）＋3≤－2eq\r（（－x）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(4，x））)）＋3＝－1,当且仅当－x＝－eq\f(4,x），即x＝－2时，等号成立．∴f（x)有最大值－1，无最小值，故选D．答案：D2．解析：eq\r（3）是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a＋b＝3a＋b＝1．∵a〉0，b>0，∴eq\r(ab)≤eq\f（a＋b，2）＝eq\f(1，2)ab≤eq\f（1，4）．∴eq\f（1，a)＋eq\f（1，b)＝eq\f(a＋b，ab)＝eq\f(1，ab）≥eq\f(1,\f(1，4))＝4．当且仅当a＝b＝eq\f(1,2）时，等号成立．答案：B3．解析：∵点P（x，y)在直线x＋3y－2＝0上，∴x＋3y＝2．∴3x＋27y＝3x＋33y≥2eq\r（3x·33y)＝2eq\r（3x＋3y）＝2eq\r（32)＝6．当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝eq\f(1，3)时，等号成立．∴代数式3x＋27y有最小值6．答案：C4．解析：因为a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2eq\r(3）,所以a2＋ab＋ac＋bc＝4－2eq\r（3)，所以4－2eq\r（3）＝a2＋ab＋ac＋bc＝eq\f(1,4）(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋2bc)≤eq\f(1,4)(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋b2＋c2)．当且仅当b＝c时，等号成立．所以(2eq\r(3）－2)2≤(2a＋b＋c）2，则2a＋b＋c≥2eq\r(3）－2．答案:D5．解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，eq\f(z，xy）＝eq\f(x2＋4y2,xy)－3≥eq\f（2\r(x2·4y2）,xy)－3＝eq\f(4xy，xy）－3＝1，当且仅当x2＝4y2即x＝2y时，eq\f（z，xy）有最小值1，将x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y,当y＝1时有最大值2．故选C．答案：C6．解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间y＝eq\f（400,v)＋eq\f(25×\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（v，20)））2，v）＝eq\f（400，v)＋eq\f(25v,400）≥2eq\r(\f（400，v）×\f（25v，400)）＝10．当且仅当v＝80时，等号成立．答案：107．解析：由a2＋eq\f(b2，2）＝1，知2a2＋b2＝2，即2a2＋（1＋b2)＝3．因为2a2＋(1＋b2）≥2eq\r(2a2·(1＋b2)),所以aeq\r(1＋b2）≤eq\f(3，2\r（2)）＝eq\f（3\r(2），4）．当且仅当2a2＝1＋b2,即a＝eq\f(\r（3）,2）,b＝eq\f（\r（2）,2）时,等号成立．答案：eq\f(3，4）eq\r(2）8．答案：99．解：(1）设每批去x名同学，共需去eq\f(48×8,x）批，总开支又分为：①买卡所需费用240x,②包车所需费用eq\f（48×8,x)×40．∴y＝240x＋eq\f（48×8,x)×40（0＜x≤48，x∈Z）．∴y＝240eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x）））≥240×2eq\r(x×\f（64,x））＝3840，当且仅当x＝eq\f（64，x),即x＝8时，等号成立．故每人最少应交eq\f（3840,48)＝80(元）．2)设每批去x名同学，共需去eq\f(48×4，x）批，总开支又分为:①买卡所需费用240x,②包车所需费用eq\f（48×4,x)×40．∴y＝240x＋eq\f（48×4，x）×40（0＜x≤48，x∈Z）．∴y＝240eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(x＋\f(32,x)））≥240×2eq\r(x×\f(32，x）)≈2715，当且仅当x＝eq\f(32,x)，即x≈5．66时，等号成立．但0＜x≤48，x∈Z，当x1＝5时，y1＝240×eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(5＋\f（32,5)））＝2736；当x2＝6时y2＝240×eq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(6＋\f（32,6)）)＝2720．∵y1＞y2，∴当x＝6时，y有最小值，即ymin＝2720．故每人最少应交eq\f（2720,48)≈56．67(元)．10．解：（1)设h′是正四棱锥的斜高,由题设,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＋4·\f(1，2）h′a＝2，,h2＋\f（1，4)a2＝h′2，））)消去h′，解得a＝eq\f（1，\r(h2＋1))（a＞0)．（2）由V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(h,3